Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Spis treści 1 Wartości własne macierzy współczynników 1.1 Zespolone wartości własne 2 Rozwiązanie ogólne układu jednorodnego 3 Wyznacznik macierzy Wrońskiego

Dany jest układ równań:

W zapisie macierzowym powyższy układ wygląda następująco:

Jest to układ równań liniowych jednorodny z dwiema niewiadomymi funkcjami x(t) oraz y(t), zależnymi od jednej zmiennej niezależnej t.

[edytuj] Wartości własne macierzy współczynników

Rozwiązanie tego układu zaczniemy od znalezienia wartości własnych λ macierzy współczynników :

= ( − 5 − λ)( − 7 − λ) − ( − 2) =

= 35 + 5λ + 7λ + λ² + 2 =

szukany wyznacznik macierzy ma postać:

= λ² + 12λ + 37

Zatem rozwiązaniem równania kwadratowego

λ² + 12λ + 37 = 0

jest sprzężona para liczb zespolonych λ₁ = − 6 + i oraz λ₂ = − 6 − i

[edytuj] Zespolone wartości własne

Szukamy wektorów własnych odpowiadających zespolonej 1-krotnej wartości własnej λ₁ = − 6 + i wraz z wartością sprzężoną do niej λ₂ = − 6 − i.

W poniższych obliczeniach możemy pominąć sprzężoną wartość własną λ₂ = − 6 − i bez żadnych negatywnych skutków dla wyniku ostatecznego.

zatem

co ostatecznie daje układ równań:

Bliżej zajmiemy się pierwszym równaniem. Niech v₂ = s będzie dowolnym parametrem. Wyznaczymy zatem wartość v₁ w zależności od parametru s.

(2 − 2i)v₁ − 4s = 0

Mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika otrzymujemy:

Ostatecznie otrzymujemy:

Znając wektor własny odpowiadający wartościom własnym λ₁,λ₂

możemy wyznaczyć rozwiązanie ogólne układu jednorodnego:

Korzystając ze wzoru Eulera otrzymamy:

W pierwszym wierszu grupujemy części rzeczywiste oraz urojone

[edytuj] Rozwiązanie ogólne układu jednorodnego

Ostateczny wynik otrzymujemy rozkładając w/w wektor na sumę dwóch wektorów zawierających odpowiednio części rzeczywiste oraz urojone (jednostka urojona i została włączona do stałej C₂).

W postaci macierzy Wrońskiego otrzymujemy następujące rozwiązanie:

[edytuj] Wyznacznik macierzy Wrońskiego

Dla pewności możemy sprawdzić, czy  ?