Astrofizyka/Kosmologia Newtonowska

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Wyobraźmy sobie dowolne dwie galaktyki oddalone w chwili obecnej t0 o odległość dl0. Jeżeli Wszechświat jest dynamiczny i rozszerza się, to ich odległość w chwili t będzie równa

dl = a(t)dl0

a(t) nazywamy czynnikiem skali. Wygodnie jest tak wybrać parametryzacje by w chwili obecnej t0 czynnik skali a(t0) = 1.

Prawo Hubble'a 1.svg

Obserwator na jednej z galaktyk będzie widział pozorny ruch z prędkością

v=\frac{dl}{dt}=\frac{da(t)}{dt}dl_0=\dot{a}dl_0=\frac{\dot{a}}{a}dl=H dl

Jest to słynna zależność Hubble'a a H jest stałą Hubble'a

H=\frac{\dot{a}}{a}=\frac{1}{t_H}

tH nazywamy wiekiem Hubble'a. W chili obecnej stała Hubble'a może byc wyrażona przez bezwymiarową wielkość h:

H_0=H(t_0)= 100 h \frac{km}{s}\frac{1}{Mpc}

czas Hubble'a

t_H=H_{0}^{-1}=9.773 h^{-1} Gyr

Przez lata pomiary h dawały 0.4<h<1.0. Obecne pomiary dają

h = 0.7
Prawo Hubble'a 2.svg

U podstaw kosmologii leży zasada kosmologiczna. Wyobraźmy sobie dowolną galaktykę o masie m umieszczoną na powierzchni kuli o dowolnym promieniu l umieszczonej w dowolnym punkcie O. Całkowita energia tej galaktyki jest równa

E=\frac{1}{2}mv^2+U(l)=\frac{1}{2}mv^2-G\frac{M m}{l}

M jest masą zawartą w kuli o promieniu l

M=\frac{4\pi}{3}l^3 \rho

Przypadek z E=0 (realizowany w ogólnej teorii względności) daje

v^2=H^2 l^2 = \frac{8 \pi }{3}G \rho l^2

Wynik nie zależy od rozmiaru kuli l (można uprościć przez l2). Ostatecznie otrzymujemy

H^2 = \frac{8 \pi }{3}G \rho

Wartość stałej Hubble'a w chwili obecnej wyznacza gęstość krytyczną

H_0^2 = \frac{8 \pi }{3}G \rho_c

Wartość ta oraz stała Newtona G dają

\rho_{c} = 1.88 h^2 10^{-29}\ g \ cm^{-3}= 2.77 \ 10^{11} \ h^2 \ M_S \ Mpc^{-3} = 11.26 h^2 \ protons \ m^{-3}
Newcos.png

W kosmologii ważnym parametrem jest Ω

\Omega = \frac{\rho}{\rho_c}

określającym względną gęstość materii w stosunku do gęstości krytycznej. Zakładając zachowanie masy w rozszerzającej się objętości otrzymujemy

\rho=\frac{M}{V}=\frac{M}{V_0 a^3}=\frac{\rho_0}{a^3}
Townt.png

Pamiętając, że

H=\frac{\dot{a}}{a}

otrzymujemy równanie różniczkowe na czynnik skali

\frac{da}{dt}=H_0 \sqrt{\frac{\Omega}{a}}

Rozwiązaniem tego równania jest

a(t)=( \frac{t}{t_0} )^{\frac{2}{3}}

gdzie

t_0=\frac{2}{3}\frac{1}{\sqrt{\Omega}}t_H

jest wiekiem Wszechświata.



Spis treści
Źródło „http://pl.wikibooks.org/wiki/Astrofizyka/Kosmologia_Newtonowska”