Astrofizyka/Mechanika relatywistyczna

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Ruch w czasprzestrzeni Minkowskiego opisuje trajektoria xμ(τ) gdzie τ jest parametrem niezminniczym ( nie czasem). Np. można zdefiniowć c dτ= ds gdzie s jest interwałem czasoprzestrzennym , τ nazywamy czasem własnym.

d \tau =dt \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.

Analogicznie do wektora prędkości w przestrzeni 3 wymiarowej zdefiniować można czterowektor prędkości

u^{\mu}=\frac{dx^{\mu}}{d\tau}=\{ \frac{c}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \frac{dx^i}{dt}\}

i czterowektor pędu

pμ = muμ.

Wektor pędu (μ=i={1,2,3}) w fizyce relatywistycznej ma postać

p^i=m u^i=\frac{m}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \frac{dx^i}{dt}=m(v)\frac{dx^i}{dt}

identyczną jak fizyce nierelatywistycznej jeżeli zamienimy masę spoczynkową m na masę retatywistyczną

m(v)=\frac{m}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.

Wielkości te nie są niezależne

uμuμ = gμνuμuν = c2

i podobnie

pμpμ = gμνpμpν = m2c2

Stąd otrzymujemy związek

p_0=\frac{E_p}{c}=\pm \sqrt{\vec{p}^2+m^2 c^2}

Równanie ruchu cząstki swobodnej wynika z ekstremum całki działania (funkcjonału)

S[x(s)]=mc\int ds =mc \int d\tau \sqrt{g_{\mu \nu}\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\frac{dx^{\nu}}{d\tau}}=\int d\tau L

który jest proporcjonalny do długości łuku wzdłuż linii ( linia geodezyjnej). L można interpretować jako funkcję Lagrange'a

L(u(\tau),x(\tau))=mc \sqrt{g_{\mu \nu}\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\frac{dx^{\nu}}{d\tau}}=mc \sqrt{g_{\mu \nu} u^{\mu} u^{\nu}}

Równania Eulera-Lagranga

\frac{d}{d\tau}\frac{\partial L}{\partial u^{\mu}}=\frac{\partial L}{\partial x^{\mu}}

można uważać, za uogólnienie równania Newtona

\frac{dp_{\mu}}{d\tau}=F_{\mu}

z pędem uogólnionym

p_{\mu}=\frac{\partial L}{\partial u^{\mu}}=m u_{\mu}

i siłą uogólnioną

F_{\mu}=\frac{\partial L}{\partial x^{\mu}}

Gdy przestrzeń jest płaska, np. jest to przestrzeń Minkowskiego z

gμν = diag(1, − 1, − 1, − 1)

równanie linii geodezyjnej daje równanie prostej

\frac{du^{\lambda}}{d\tau}=\frac{d^2 x^{\lambda}}{d\tau^2}=0


Spis treści
Źródło „http://pl.wikibooks.org/wiki/Astrofizyka/Mechanika_relatywistyczna”