Astrofizyka/Kwantowy rozkład kanoniczny

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Średnią kwantową (stan kwantowy) operatora A definiujemy jako

<A>=Tr(ρA)

gdzie stan układu fizycznego opisuje opreator gęstości spełniający warunek

Tr(ρ)=1.

Entropię definiujemy jako

S= - kT Tr(ρln(ρ))

Gdy entropia S=0 stan kwantowy nazywamy stanem czystym a gdy S≠0 stanem mieszanym. Kombinacja liniowa operatorów rzutowych Pn=|n><n|

ρ =	∑	wnPn
	n

z warunkiem

Tr(ρ) =	∑	wn = 1
	n

realizuje stan mieszany o entropii

S =	∑	wnln(wn).
	n

Gdy stan określony jest więc przez pojedynczy operator rzutowy (n=n0, |n0>=|ψ>) Pψ=|ψ><ψ| to jest to stan czysty (S=0) i

<A>=Tr(ρψA)=<ψ|A|ψ>

Ogólnie, operator rzutowy powinien być funkcją niezmienników ( energii H, liczbny cząstek N).

Rozkład Gibbsa jest tak zdefiniowany, by entropia dwóch podukładów była liczbą addytywną

a Z = Tr(e ^{- βH}) = e ^{- βF} jest sumą statystyczną (konsekwencja warunku Tr(ρ)=1). Suma statystyczna definiuje energię swobodną Hermloltza

F = fV = - kTln(Z) = - kTln(Tr(e ^{- β(H - μN})).

W przypadku gdy w układzie zachowana jest liczba cząstek (<N>) dadajemy warunek dodatkowy który oznacza zamianę w rozkładzie

H→H - μ(N - <N>)

gdzie formalnie μ jest czynnikiem Lagrange'a. Rozkład (wielki rozkład kanoniczny) jest terez w pełni określony przez

a Z = Tr(e ^{- β(H - μN}) = e ^{- βΩ} jest wielką sumą statystyczną (konsekwencja warunku Tr(ρ)=1). Średnia liczba cząstek

Suma statystyczna definiuje nowy potencjał termodynamiczny

Ω = - kTln(Z) = - kTln(Tr(e ^{- β(H - μN})).

Jest prosty związek z enregią swobodną

F=μ<N> + Ω

Stąd potencjał chemiczny to

Ciśnienie definiujemy jako

a entropie jako

S= - k Tr(ρlnρ).

Energia wewnętrzna

U=εV=<H>.

Stąd mamy związek termodynamiczny

T s=P + ε

Zmiana ciśnienia z gęstością energii wyznacza prędkość propagacji fali dzwiękowej

a zmiana z gęstością cząstek współczynnik sciśliwości

określający prędkość dzwięku.