Astrofizyka/Wielki rozkład kanoniczny

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Mechanika statystyczna (lub fizyka statystyczna) to gałąź fizyki, zajmująca się układami wielu oddziałujących ciał. Specyfiką tej teorii jest jej metoda. Fizyczną podstawą mechaniki statystycznej jest termodynamika fenomenologiczna.

Z mechaniki statystycznej można wydzielić teorię stanów równowagi termodynamicznej. Ta teoria jest daleko bardziej rozwinięta, niż teoria nierównowagowa. Powszechnie używa się tu tzw. formalizmu sumy statystycznej.

[edytuj] Entropia mikroskopowa, czynnik Boltzmanna i suma statystyczna

Podstawą mechaniki statystycznej (fizyki statystycznej) jest definicja entropii pochodząca od Boltzmannna:

Entropia mikroskopowa układu jest proporcjonalna do logarytmu liczby mikroskopowych stanów układu.

Współczynnik proporcjonalności oznaczany przez k nazywany jest stałą Boltzmanna. Z tej definicji wynika, że gdy układ w stanie mikroskopowym o energii E jest w równowadze termicznej z termostatem o temperaturze T (β=1/kT) to prawdopodobieństwo tego stanu jest proporcjonalne do

$\exp\left(-\beta E\right)$

tą wielkość nazywmy czynnikiem Bolzmanna. Te wszystkie prawdopodobieństwa dla różnych stanów mikroskopowych muszą dać jedność. Definiuje to sumę statystyczną:

$Z = \sum_i \exp\left(-\beta E_i\right)$

gdzie $E i$ jest energią i-tego stanu mikroskopowego. Suma statystyczna jest miarą liczby stanów dostępnych dla układu fizycznego. Prawdopodobieństwo znalezienia się układu w poszczególnym stanie (i) w temperaturze T z energią E_i jest równe

$p_i = \frac{\exp(-\beta E_i)}{Z}$

[edytuj] Związki z termodynamiką

Suma statystyczna może posłużyć do wyliczenia wartości oczekiwanej (średniej) dowolnej mikroskopowej wielkosci. Tak dla przykładu, średnia mikroskopowa energia E jest interpretowana jako energia wewnętrzna (U) z termodynamiki. Tak więc,

$\langle E\rangle={\sum_i E_i e^{-\beta E_i}\over Z}=-{dZ\over d\beta}/Z$

wraz z interpretacją <E> jako U, daje następującą definicję energii wewnętrznej:

$U\colon = -{d\ln Z\over d \beta}.$

Entropię określamy z wzoru (entropia)

${S\over k} = - \sum_i p_i \ln p_i = \sum_i {e^{-\beta E_i}\over Z}(\beta E_i+\ln Z) = \ln Z + \beta U$

który daje

$-\frac{\ln(Z)}{\beta} = U - TS = F$

gdzie F jest energią swobodną układu fizycznego, stąd

$Z=e^{-\beta F}\,$

Mając zdefiniowane podstawowe potencjały termodynamiczne U (energia wewnętrzna), S (entropia) i F (energia swobodna) można otrzymać wszystkie wielkości termodynamiczne opisujące układ fizyczny.

[edytuj] Zmienna liczba cząstek

W przypadku gdy liczba cząstek nie jest zachowana, należy wprowadzić potencjał chemiczny, μ_j, j=1,...,n i zamienić sumę statystyczną na

$Z = \sum_i \exp\left(\beta \left[\sum_{j=1}^n \mu_j N_{ij}-E_i\right ]\right)$

gdzie N_ij jest liczbą cząstek rodzaju j^th w i-tym stanie mikroskopowym.

energia swobodna Helmholtza:	$F = - {\ln Z\over \beta}$
energia wewnętrzna:	$U = -\left( \frac{\partial\ln Z}{\partial\beta} \right)_{N,V}$
ciśnienie:	$P = -\left({\partial F\over \partial V}\right)_{N,T}= {1\over \beta} \left( \frac{\partial \ln Z}{\partial V} \right)_{N,T}$
entropia:	$S = k (\ln Z + \beta U)\,$
energia swobodna Gibbsa:	$G = F+PV=-{\ln Z\over \beta} + {V\over \beta} \left( \frac{\partial \ln Z}{\partial V}\right)_{N,T}$
entalpia:	$H = U + PV\,$
ciepło właściwe (stała objętość):	$C_V = \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_{N,V}$
ciepło właściwe (stałe ciśnienie):	$C_P = \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_{N,P}$
potencjał chemiczny:	$\mu_i = -{1\over \beta} \left( \frac{\partial \ln Z}{\partial N_i} \right)_{T,V,N}$

To samo z użyciem wielkiego zespołu kanonicznego:

$U = \sum_i E_i \frac{\exp(-\beta (E_i-\sum_j \mu_j N_{ij}))}{Z}$

$N_j = \sum_i N_{ij} \frac{\exp(-\beta (E_i-\sum_i \mu_j N_{ij}))}{Z}$

energia swobodna Gibbsa:	$G = - {\ln Z\over \beta}$
energia wewnętrzna:	$U = -\left( \frac{\partial\ln Z}{\partial\beta} \right)_{\mu}+\sum_i{\mu_i\over\beta}\left({\partial \ln Z\over \partial \mu_i}\right )_{\beta}$
liczba cząstek:	$N_i={1\over\beta}\left({\partial \ln Z\over \partial \mu_i}\right)_\beta$
entropia:	$S = k (\ln Z + \beta U- \beta \sum_i \mu_i N_i)\,$
energia wewnętrzna Helmholtza:	$F = G+\sum_i \mu_i N_i=-{\ln Z\over \beta} +\sum_i{\mu_i\over \beta} \left( \frac{\partial \ln Z}{\partial \mu_i}\right)_{\beta}$