Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Spis treści

1 Rzuty

[edytuj] Rzuty

[edytuj] Wstęp

Przyspieszenie ziemskie
Siła grawitacji powoduje, że każde rzucone ciało (takie tu będziemy rozpatrywać) posiada przyspieszenie, zwane przyspieszeniem ziemskim g, skierowane pionowo w dół. Jego wartość jest umowna, ponieważ w różnych miejscach Ziemi jest ona inna - grawitacja planety nie jest jednorodna.

Jeśli jednak wszystkie ciała spadają z tym samym przyspieszeniem, interesujące może być pytanie, dlaczego człowiek ze spadochronem spada wolniej od osoby bez spadochronu? Przyspieszenie jest stałe, jednak na prędkość wpływają również opory powietrza. Duża powierzchnia ciała skutkuje większym oporem, a ciało 'opada' wolniej. Fakt ten nie był dostrzegany przez ludzi aż do odkrywczych doświadczeń Galileusza w XVII wieku.

g = 9,81 m/s²

Spadek swobodny
Spadek ciała możemy opisać jak ruch przyspieszony. Wartość przyspieszenia jest równa przyspieszeniu ziemskiemu: a = g. Drogę przebytą przez ciało, dla ułatwienia, możemy nazywać wysokością, z której ciało spadło: s = h. Prędkość obliczamy wg wzoru z ruchu przyspieszonego.

Aby obliczyć, z jakiej wysokości spadło ciało, wystarczy zmierzyć czas jego upadku - lub postąpić na odwrót, w celu obliczenia czasu upadku. Pamiętając jedynie wzór na drogę, po zamianie symboli otrzymujemy wzór na wysokość.

(przypominamy wzór na drogę) $s= \frac{at^2}{2}$

wysokość początkowa $H= \frac{gt^2}{2}$

Wysokość w danej chwili liczymy inaczej. Słownie, jest to przebyta droga odjęta od wysokości początkowej, po przełożeniu na wzór:

położenie w danej chwili: $h= H - \frac{gt^2}{2}$

Prędkość ciała w danej chwili znajdujemy tak jak w ruchu przyspieszonym, v = at.

[edytuj] Rzut pionowy

[edytuj] Rzut w dół

Rzut pionowy w dół można kojarzyć ze spadkiem swobodnym, jednak różni się od niego, ponieważ ciało rzucone ma swoją prędkość początkową. Podobnie jak w ruchu przyspieszonym, prędkość początkowa wpływała na drogę, w ten sam sposób dodajemy ją do wzoru na wysokość. Wzór na wysokość:

wysokość początkowa $H= v_0t+\frac{gt^2}{2}$

(v₀ -prędkość z jaką rzucono ciało, t - czas spadania)

Wysokość w danej chwili - analogicznie jak przy opisie spadku swobodnego, "h = wysokość - przebyta droga".

Prędkość ciała - przypomnijmy ruch przyspieszony - v = v₀ + at.

[edytuj] Rzut w górę

Prześledźmy, jak zachowuje się ciało rzucone pionowe w górę. Z początkową prędkością leci ku górze, jednak wyhamowuje, z powodu przyspieszenia ziemskiego (skierowanego w dół). Osiąga pewien punkt i zatrzymuje się -na maksymalnej wysokości h_max. Przyspieszenie nadal wpływa na ciało, więc zaczyna nabierać prędkości lecąc w dół - jak w ruchu przyspieszonym.

Ruch pionowo w górę przebiega jak ruch opóźniony, który dobrze znamy i potrafimy opisać, obliczymy dzięki temu wysokość - bo jest ona równa drodze, którą ciało przebywa podczas ruchu (w czasie t lotu ku górze).

(droga w ruchu opóźnionym) $s=v_0t+\frac{-at^2}{2}$

wysokość początkowa $H=v_0t+\frac{-gt^2}{2}$

Zauważmy, że musi być minus przy przyspieszeniu g, ponieważ jest przeciwnie skierowane (w dół) niż kierunek lotu ciała (w górę!). Gdybyśmy go pominęli, byłby to wzór dla ruchu przyspieszonego (ciało przyspieszałoby lecąc do góry).

Początkowo, ciało porusza się, aż zatrzyma się na swojej maksymalnej wysokości h_max, oznaczmy ten czas jako czas wznoczenia t_w.

Przypomnijmy, jak obliczamy prędkość w danej chwili w ruchu opóźnionym: $v = v_0 - at\,$

Jak znajdziemy czas wznoszenia ciała? Podobnie, jak liczyliśmy czas końca ruchu opóźnionego, kiedy v=0, policzymy czas wznoszenia, czyli z przekształconego wzoru na prędkość.

$t_w= \frac{v_0}{g} \qquad -$ z: wzór na prędkość, gdy v=0, bo ciało się zatrzymało

Wysokość maksymalną, osiągniętą po czasie wznoszenia, można więc obliczyć nie mając czasu wznoszenia - podstawiająć za niego powyższy wzór otrzymamy inną wersję wzoru na wysokość, wysokość maksymalną:

$h_{max} = \frac{v_{0}^{\,2}}{2g}$

Ciało po osiągnięciu maksymalnej wysokości zaczyna lecieć w dół, co przebiega jak w upadku swobodnym. Całkowity czas t_c jest więc sumą obu ruchów, opóźnionego (wznoszenia się) i przyspieszonego (upadku swobodnego).

$t_c = t_w + t_k = \frac{v_0}{g} + \frac{v_0}{g}$

czas całkowity $t_c= \frac{2v_0}{g}$

Weźmy pod uwagę początek pewnego ruchu, jego środek (gdy osiąga maksymalną wysokość) oraz koniec (upadek). Prześledźmy po kolei te etapy, sprawdzając, czy wyniki ze wzorów zgadzają się z rzeczywistością.
Wzór na prędkość: $v\,=v_0-gt$

1. Początek, t=0: $v\,=v_0-0 \quad \rightarrow\; v=v_0$

zgadza się, ciało porusza się z prędkością początkową

2. Zatrzymanie się, t=t _w: $v\,=v_0-gt_w \qquad t_w\,=\frac{v_0}{g}$

$v\,=v_0-g \frac{v_0}{g} \quad \rightarrow \; v=0$

ciało osiąga maksymalną wysokość, zatrzymuje się i zaczyna upadać

3. Upadek, t=t _c: $v_k= v_0 - g\cdot t_c \quad \rightarrow \; v_k = v_0-g\cdot 2t_w \qquad t_w\,=\frac{v_0}{g}$

$\; \rightarrow\; v_k=v_0-2v_0 \quad \rightarrow\; v_k=-v_0$

Okazuje się, że ciało w czasie upadku porusza się z prędkością v_k= -v₀. Oznacza to, że wartość prędkości końcowej jest równa wartości prędkości początkowej, a ich zwroty są przeciwne (prędkość końcowa jest skierowana w dół). Oznacza to jednak, że zwrot prędkości końcowej jest już zgodny z przyspieszeniem ziemskim - ruch w dół jest przyspieszony (tak, jak zakładaliśmy).

Obok rysunek przedstawiający przykładową sytuację. Ciało zostaje rzucone z prędkością v=8. Porusza się w górę, z każdą sekundą tracąc prędkość, aż do zatrzymania (na 'ułamek sekundy'), po czym zaczyna swobodnie spadać w dół (prędkości o przeciwnym zwrocie są ujemne). Oczywiście, torem ruchu jest pionowa linia w górę (rysunek dla przejrzystości jest trochę zakłamany).

[edytuj] Rzut w górę - podsumowanie

Ciało otrzymuje prędkość początkową. Ruch odbywa się w górę (wznoszenie) oraz w dół (opadanie), oba są przy udziale przyspieszenia ziemskiego.

Prędkość ciała w dowolnej chwili wynosi $\vec v= \vec v_0 + \vec g t$ . Prędkość początkowa jest skierowana w górę, natomiast przyspieszenie jest skierowane odwrotnie - jak wiemy, dodawanie przeciwnego wektora g prowadzi do tego, że musimy postawić przy nim minus, $v= v_0 + (-g) t\,$ .

W pewnym momencie ruch będzie tak 'spowolniony', że v zacznie przyjmować wartości ujemne. Jest to jak najbardziej prawidłowe, ponieważ gdy prędkość v przyjmie wartość ujemną, będzie to oznaczać, że jest skierowana przeciwnie. Przeciwnie niż prędkość początkowa, bo do niej odnosimy cały ruch, czyli w dół. Ujemne v oznacza, że jest to moment upadku swobodnego, gdy ciało spada w dół.

Wysokość maksymalna: jak przebyta droga w ruchu opóźnionym, czyli $h_{max}=v_0t+\frac{(-g)t^2}{2}\,$ .

[edytuj] Rzut poziomy

Załóżmy, że mamy ciało na pewnej wysokości. Nadajemy mu prędkość w kierunku poziomym. Jednocześnie, przyspieszenie ziemskie powoduje ruch ciała w dół. Musimy więc złożyć oba ruchy, aby znaleźć, jak ostatecznie będzie się poruszało.

Ciało posiada prędkość v₀ w pewnym kierunku poziomym oraz przyspieszenie g skierowane w dół, które jest przyczyną ruchu przyspieszonego w dół z rosnącą prędkością v_y. Użyliśmy oznaczeń: prędkość pionowa v_y, prędkość pozioma początkowa v₀. Prędkość wypadkowa jest sumą obu tych wektorów prędkości, ona nadaje ostateczny kształt ruchu.

Jak będzie poruszać się ciało? Wydawałoby się, że po ukosie - jednak tor będzie zbliżony do łuku, który coraz bardziej wędruje ku dołowi. Będzie tak, ponieważ prędkość v_y spadania rośnie w każdej sekundzie o g (ruch przyspieszony), przez co ciało coraz silniej opada w dół; natomiast prędkość pozioma v₀ nie zmienia się.

Co ciekawe, prędkość średnia nie jest nam potrzebna. Na wysokość wpływa tylko prędkość v_y, natomiast na zasięg (odległość) wpływa prędkość v₀.

Drogę przebytą przez ciało rozpatrzymy w obu wymiarach osobno - przebyta wysokość oraz zasięg rzutu.

Poslugując się równaniem drogi dla ruchu przyspieszonego, obliczmy, na jakiej wysokości znajduje się ciało w chwili t:

(ruch przyspieszony) $s= \frac{at^2}{2}$

wysokość: $h = H - \frac{gt^2}{2}$

(odległość od ziemi = wysokość początkowa - przebyta droga)

Zasięg obliczymy z równania na drogę w ruchu jednostajnym, ponieważ ciało w kierunku poziomym porusza się ze stałą prędkością v₀ (żadne przyspieszenie poziome nie działa przecież...).

$z\,=v_0t$

Jeśli nie mamy podanego czasu upadku, możemy obliczyć zasięg po przekształceniu wzorów:

mniej przydatny wzór na zasięg $z=v_0 \sqrt{\frac{2h}{g}}$

[edytuj] Rzut ukośny

Ciało porusza się z prędkością, której wektor skierowany jest ukośnie - pod kątem alfa do poziomu. Prędkość możemy rozłożyć na dwie składowe - pionową i poziomą (analogia do dodawania wektorów -patrz rysunek). Tak więc prędkość 'ukośna' v₀ to inaczej prędkości składowe: v_0x oraz v_0y (rzuty v₀ na osie układu współrzędnych, x poziomo, y pionowo w górę).

Wartości wektorów składowych można obliczyć z funkcji trygonometrycznych. Jeżeli znamy kąt, jaki tworzy nasz wektor, umiemy wyznaczyć składowe v_x i v_y:

$v_{0 x}\, = v_0 \,\cos {\alpha}$

$v_{0 y}\, = v_0 \,\sin {\alpha}$

Możemy już mówić o dwóch ruchach ciała. Ruch poziomy, jednostajny - bez przyspieszenia, z nadaną prędkością v_0x. Położenie, odległość ciała w danej chwili, możemy kojarzyć z drogą w ruchu jednostajnym (oznaczmy je x). Wzór na drogę s=vt.

$x\,=v_{0 x} \, t$

Ruch w kierunku pionowym to ruch opóźniony, z przyspieszeniem ziemskim zwróconym ku Ziemi. Prędkość v_0y skierowana w górę, 'spowalniana' przez przyspieszenie - sytuacja jak w rzucie pionowym. Położenie w linii pionowej, czyli wysokość, obliczymy jak drogę w ruchu opóźnionym.

$y\,=v_{0 y} \, t - \frac{g t^2}{2}$

Równanie toru
Jeśli podstawimy w powyższych równania wzory na odpowiednie prędkości, uzyskamy
$x\,=v_0 \,\cos {\alpha} \cdot t \qquad y\,=v_0 \,\sin {\alpha} \cdot t - \frac{g t^2}{2}$
Wyznaczając czas t z równania x i podstawiając do równania y, otrzymamy równanie toru:

$y\,=\mbox{tg} \alpha \, x - \frac{gx^{2}}{2v_{0}^{\,2}\cos \alpha}$

Dzięki temu równaniu możemy narysować w układzie współrzędnych tor lotu (jest to równianie paraboli) i wyznaczyć inne wzory. Równanie to pokazuje zależność pomiędzy wysokością a odległością od punktu wyrzutu (o ile znamy prędkość początkową i kąt wyrzutu).

Aby wyznaczyć zasięg rzutu (maksymalną odległość), należy sobie uświadomić, że ciało znajdzie się najdalej, gdy będzie na wysokości 0. W równaniu toru za y podstawimy 0; po przekształceniach otrzymamy:

$z\,=\frac{v_{0}^{\,2} \sin {2 \alpha}}{g}$

Czas całkowity, czyli czas wznoszenia i opadania razem wzięte:

$t_c = \frac{2 \cdot v_y}{g}$

Co można rozwinąć do:

$t_c\,=\frac{2v_{0}\sin\alpha}{g}$

Maksymalną wysokość otrzymamy, gdy do równania na y podstawimy połowę czasu całkowitego $t_c\,$ (czyli $t_w\,$ , czas wzlatywania, wtedy wysokość jest największa). Po przekształceniach otrzymamy:

$H_{max}\,=\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\alpha}{2g}$

Tabelka podsumowująca

[edytuj] Zadania

Zad. 1 (rzut ukośny) Strzelamy pociskiem tak, aby trafić przedmiot znajdujący się na wysokości h₀ i w odległości d. Przedmiot w momencie wystrzału spada swobodnie w dół. Pod jakim kątem należy strzelić, aby pocisk trafił przedmiot?

(W rozważaniach pomijamy opór powietrza. Dlatego też w rzeczywistości sytuacja może wyglądać trochę inaczej)

Warunkiem zadania jest, aby pocisk trafił spadający przedmiot, wnioskujemy stąd, że ich wysokości muszą być równe (w momencie zderzenia), zapiszmy:

w momencie t mamy:

położenie Y pocisku $y=v_0 t \sin {\alpha} - \frac{gt^2}{2} \qquad -$ z podstawieniem v_0y

położenie Y przedmiotu $y= h_0 - \frac{gt^2}{2} \qquad -$ upadek swobodny

z powyższych mamy: $v_0 t \sin {\alpha} - \frac{gt^2}{2} = h_0 - \frac{gt^2}{2}$

Opiszemy jeszcze równanie położenia poziomego:

położenie X pocisku $x\,=v_0 t \cos {\alpha}$

W obu równaniach mamy nieznany czas t, pozbędziemy się go z równań poprzez podstawienie. Wyznaczymy t z równania na Y i podstawimy do równania na X.

wyznaczamy czas $t = \frac{h_0}{v_0 \sin {\alpha}}$

podstawiamy $x\,= v_0 \frac{h_0 \cos {\alpha}}{v_0 \sin {\alpha}} \quad \rightarrow \quad tg\, \alpha \,= \frac{h_0}{x}$

Wzór ten skojarzmy z wzorem na tangens w trójkącie prostokątnym. Jeśli narysujemy ten trójkat z kątem alfa, bokami h₀ oraz x w odpowiednich miejscach, będzie to rysunek przedstawiający sytuację z zadania - pocisk jest wystrzelony w 'kierunku przedmiotu'. Innymi słowami, strzelamy dokładnie pod kątem, pod jakim cel jest widoczny (bez żadnego "zapasu")- taka również jest odpowiedź.

Dodatkową, ciekawą obserwacją jest, że przyspieszenie ziemskie, fakt spadania kuli, czy nawet prędkość pocisku, nie wpływa na zmianę kąta, pod którym strzelamy. Jak to jest, że nie trzeba brać żadnych poprawek na kąta wystrzału, mimo że kula swobodnie spada? Spowodowane to jest tym, że pocisk i kula spadają w dół takim samym ruchem (przyspieszonym). Każdy ruch kuli w dół jest "równoważony" przez wyhamowywanie pocisku (który też jest przyciągany w dół). Można powiedzieć, że tor obu przedmiotów jest w identyczny sposób zmieniany, więc względnie się nic nie zmienia. W rzeczywistości jednak dochodzą inne siły, których tu nie braliśmy pod uwagę, np. opór powietrza, powierzchnia przedmiotów itd.

« Ruch przyspieszony

Spis treści

Ruch po okręgu »

Fizyka dla liceum/Rzuty

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Spis treści

[edytuj] Rzuty

[edytuj] Wstęp

[edytuj] Rzut pionowy

[edytuj] Rzut w dół

[edytuj] Rzut w górę

[edytuj] Rzut w górę - podsumowanie

[edytuj] Rzut poziomy

[edytuj] Rzut ukośny

[edytuj] Zadania

Widok

Osobiste

Nawigacja

Drukuj lub eksportuj

Szukaj

Narzędzia