Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

< Matematyka dla liceum

Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Spis treści

1 Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

[edytuj] Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

[edytuj] Przypomnienie działań na potęgach

Przypomnijmy sobie podstawowe działania na potęgach:

$a 1 = a$
$a n = a a n - 1$
$\begin{matrix} a^n= & \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a} \\ & n \mbox{ razy} \\ \end{matrix}$
$a 0 = 1$
$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n}$
$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$
$a^{\frac{m}{n}}=(a^{\frac{1}{n}})^m$
${a^p} \sdot {a^q} = a^{p+q}$
$a p : a q = a p - q$
$(a p) q = a p q$
${(a \sdot b)}^p = {a^p} \sdot {b^p}$
$\left(\frac{a}{b}\right)^p = \frac{a^p}{b^p}$

[edytuj] Kilka podstawowych przykładów

Przykład 1.

Sprowadźmy do jednej potęgi wyrażenie:

a) $10 \cdot 2^2 + 2^3 + 2^4$

Rozwiązanie:

$10 \cdot 2^2 + 2^3 + 2^4 = 5 \cdot 2 \cdot 2^2 + 2^3 + 2^4 =$

$= 5 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^3 + 2^4 = (5+1) \cdot 2^3 + 2^4 =$

$= 6 \cdot 2^3 + 2^4 = 3 \cdot 2^4 + 2^4 =$

$= 4 \cdot 2^4 = 2^2 \cdot 2^4 = 2^6$

b) $5^2\sqrt{125} - 5^3 + \frac{500}{\sqrt{5}-1} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5}$

Rozwiązanie:

$5^2\sqrt{125} - 5^3 + \frac{500}{\sqrt{5}-1} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =$

$= 5^2\sqrt{5^3} - 5^3 + \frac{5^3 \cdot 4}{\sqrt{5}-1} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =$

$= 5^3\sqrt{5} - 5^3 + \frac{5^3 \cdot 4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =$

$= 5^3\sqrt{5} - 5^3 + \frac{5^3 \cdot 4(\sqrt{5}+1)}{4} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =$

$= 5^3\sqrt{5} - 5^3 + 5^3\sqrt{5} + 5^3 + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =$

$= 2 \cdot 5^3\sqrt{5} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} = (2 + 3) \cdot 5^3 \sqrt{5} = 5^4 \sqrt{5} = 5^{9 \over 2}$

Przykład 2.

Zapiszmy w postaci potęgi:

a) $\sqrt{8\sqrt{32\sqrt{16\sqrt{128\sqrt{2}}}}}$

$\sqrt{8\sqrt{32\sqrt{16\sqrt{128\sqrt{2}}}}} = \sqrt{2^3\sqrt{2^5\sqrt{2^4\sqrt{2^7 \cdot 2^{1 \over 2}}}}} = \sqrt{2^3\sqrt{2^5\sqrt{2^4\sqrt{2^{15 \over 2}}}}} =$

$\sqrt{2^3\sqrt{2^5\sqrt{2^4 \cdot 2^{15 \over 4}}}} = \sqrt{2^3\sqrt{2^5\sqrt{2^{31 \over 4}}}} = \sqrt{2^3\sqrt{2^5 \cdot 2^{31 \over 8}}} =$

$\sqrt{2^3\sqrt{2^{51 \over 8}}} = \sqrt{2^3 \cdot 2^{51 \over 16}} = \sqrt{2^{63 \over 16}} = 2^{63 \over 32}$

b) $\sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot \sqrt[4]{9 \cdot \sqrt[5]{9}}}}$

$\sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot \sqrt[4]{9 \cdot \sqrt[5]{9}}}} = \sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot \sqrt[4]{9 \cdot 9^{1 \over 5}}}} = \sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot \sqrt[4]{9^{6 \over 5}}}} =$

$= \sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot 9^{3 \over 10}}} = \sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9^{13 \over 10}}} = \sqrt{9 \cdot 9^{13 \over 30}} =$

$= \sqrt{9^{43 \over 30}} = 9^{43 \over 60}$

Przykład 3.

Udowodnijmy równość:

a) $\frac{12}{\sqrt{7}-2} - 4 \sqrt{7} = 8$

$L = \frac{12}{\sqrt{7}-2} - 4 \sqrt{7} = \frac{12 - 4 \sqrt{7}(\sqrt{7} - 2)}{\sqrt{7}-2} = \frac{12 - 28 + 2 \cdot 4\sqrt{7}}{\sqrt{7}-2} =$

$= \frac{8\sqrt{7} - 16}{\sqrt{7}-2} = \frac{8(\sqrt{7} - 2)}{\sqrt{7}-2} = 8$

P = 8

czyli

L = P

b) $\frac{24}{\sqrt{10} - 2} = 4\sqrt{10} + 8$

$L = \frac{24}{\sqrt{10} - 2} = \frac{24(\sqrt{10}+2)}{(\sqrt{10}-2)(\sqrt{10}+2)} = \frac{24(\sqrt{10}+2)}{6} = 4(\sqrt{10}+2) = 4\sqrt{10} + 8$

$P = 4\sqrt{10} + 8$

zatem

L = P

c) $\sqrt{31-12\sqrt{3}} - 3\sqrt{4+2\sqrt{3}} = -5$

$L = \sqrt{27-12\sqrt{3}+4} - 3\sqrt{3+2\sqrt{3}+1} = \sqrt{(3\sqrt{3}-2)^2} - 3\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} =$

$= |3\sqrt{3}-2| - 3|\sqrt{3}+1| = (3\sqrt{3}-2) - 3(\sqrt{3}+1) = 3\sqrt{3} - 2 - 3\sqrt{3} - 3 = -5$

P = 5

L = P

Przykład 4.

Udowodnijmy teraz, że liczba $\sqrt{101-36\sqrt{5}} + \sqrt{29+12\sqrt{5}}$ jest wymierna:

$\sqrt{101-36\sqrt{5}} + \sqrt{29+12\sqrt{5}} = \sqrt{(2\sqrt{5}-9)^2} + \sqrt{(3+2\sqrt{5})^2} =$

$= |2\sqrt{5}-9| + |3+2\sqrt{5}| = 9-2\sqrt{5} + 3+2\sqrt{5} =$

$= 12 \in \mathbb{Q}$

Przykład 5.

Teraz odwrotnie, udowodnijmy, że liczba $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{13 - 4\sqrt{3}}$ jest niewymierna:

$\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{13 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}+2)^2} + \sqrt{(1-2\sqrt{3})^2} =$

$= |\sqrt{3}+2| + |1-2\sqrt{3}| = \sqrt{3}+2 + 2\sqrt{3} -1 =$

$= 3\sqrt{3} + 1 \not\in \mathbb{Q}$

[edytuj] Funkcja potęgowa

DEFINICJA

Funkcja potęgowa jest to funkcja określona wzorem $f (x) = x p$ .

Dziedzina funkcji potęgowej:

Jeśli $p \in \mathbb{N}_+$ , to $D_f=\mathbb{R}$
Jeśli $p \in \mathbb{Z}$ , to $D_f = R \backslash \{0\}$
Jeśli :
- dla $p > 0$ , to $D_f=\mathbb{R}_+\cup\{0\}$
- dla $p < 0$ , to $D_f=\mathbb{R}_+$

[edytuj] Wykres

[edytuj] O wykładniku równym zero

W tym przypadku wykres jest dość prosty - wykresem funkcji jest prosta. Jedynym faktem do zaznaczenia jest to, że $D=\mathbb{R} \backslash \{0\}$ . Dziedzina jest bez zera, ponieważ wartość wyrażenia $00$ jest nieokreślona.

[edytuj] O wykładniku dodatnim parzystym

Wszystkie te wykresy przecinają się w trzech punktach o współrzędnych (0;0), (-1;1), a także (1;1).

Własności:

$D_f = \mathbb{R}$
$ZW_f = \mathbb{R}_+ \cup \{0\}$
Miejsce zerowe funkcji: $x 0 = 0$
Wartości dodatnie: $f(x)>0 \iff x \in \mathbb{R} \backslash \{0\}$
Wartości ujemne: $f(x)<0 \iff x \in \varnothing$ , funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych
Ekstrema:

Minimum: dla $x = 0$ $f (x) = 0$

Maksimum: nie przyjmuje wartości największej
Monotoniczność:

Rośnie dla $x \in (0,+\infty)$

Maleje dla $x \in (-\infty,0)$
Funkcja nie jest różnowartościowa
Funkcja jest parzysta
Funkcja nie jest nieparzysta

[edytuj] O wykładniku dodatnim nieparzystym

Łatwo zauważyć, że wykresy te przecinają się w trzech punktach o współrzędnych (0;0), (-1;-1), a także (1;1).

Własności:

$D_f = \mathbb{R}$
$ZW_f = \mathbb{R}$
Miejsce zerowe funkcji: $x 0 = 0$
Wartości dodatnie: $f(x)>0 \iff x \in \mathbb{R}_+ \backslash \{0\}$
Wartości ujemne: $f(x)<0 \iff x \in \mathbb{R}_- \backslash \{0\}$
Ekstrema:

Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej

Maksimum: nie przyjmuje wartości największej
Monotoniczność:

Rośnie dla $x \in \mathbb{R}$
Funkcja jest różnowartościowa
Funkcja nie jest parzysta
Funkcja jest nieparzysta

[edytuj] O wykładniku ujemnym parzystym

Wszystkie te wykresy przecinają się w dwóch punktach o współrzędnych (-1;1), a także (1;1). Ponadto zachodzi:

$y>1 \iff x \in (-1;0) \cup (0;1)$

Własności:

$D_f = \mathbb{R} \backslash \{0\}$
$ZW_f = \mathbb{R}_+$
Miejsce zerowe funkcji: brak
Wartości dodatnie: $f(x)>0 \iff x \in D_f$
Wartości ujemne: $f(x)<0 \iff x \in \varnothing$
Ekstrema:

Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej

Maksimum: nie przyjmuje wartości największej
Monotoniczność:

Rośnie dla $x \in (-\infty;0)$

Maleje dla $x \in (0;+\infty)$
Funkcja nie jest różnowartościowa
Funkcja jest parzysta
Funkcja nie jest nieparzysta
Asymptoty: $x = 0$ i $y = 0$

[edytuj] O wykładniku ujemnym nieparzystym

Wykresy te przecinają się w dwóch punktach o współrzędnych (-1;-1), a także (1;1). Można zauważyć, że zachodzi także:

$y>1 \iff x \in (0;1)$

Własności:

$D_f = \mathbb{R} \backslash \{0\}$
$ZW_f = \mathbb{R} \backslash \{0\}$
Miejsce zerowe funkcji: brak
Wartości dodatnie: $f(x)>0 \iff x \in (0;+\infty)$
Wartości ujemne: $f(x)<0 \iff x \in (-\infty;0)$
Ekstrema:

Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej

Maksimum: nie przyjmuje wartości największej
Monotoniczność:

Maleje w przedziale $x \in (-\infty;0)$ i przedziale $x \in (0;+\infty)$
Funkcja jest różnowartościowa
Funkcja nie jest parzysta
Funkcja jest nieparzysta
Asymptoty: $x = 0$ i $y = 0$

[edytuj] Rozwiązywanie równań potęgowych

Przykładami równań potęgowych może być:

$x^{\frac{2}{3}}=9$ ,

$7x^{4}=2\sqrt{7}$ ,

$x+x^{\frac{1}{2}}=12$ .

W celu rozwiązania danego równania oczywiście najpierw należy wyznaczyć dziedzinę. Następnie rozwiązujemy je i sprawdzamy, które rozwiązania należą do dziedziny równania. Załóżmy, że mamy równanie $x^{\frac{3}{2}}=\sqrt{3}$ i chcemy je rozwiązać. Możemy to zrobić w ten sposób:

Ustalamy dziedzinę:

$x^{\frac{3}{2}}= \sqrt{3}, D=\mathbb{R}_+ \cup \{0\}$
Przekształcamy pierwiastek na potęgę:

$x^{\frac{3}{2}}= 3^\frac{1}{2}$
Ponieważ obydwie strony równania są dodatnie, możemy je podnieść do potęgi $\frac{2}{3}$ :

$\left(x^\frac{3}{2}\right)^\frac{2}{3} = \left(3^\frac{1}{2}\right)^\frac{2}{3}$
Czyli:

$x=3^\frac{1}{3}$

Niektóre równania możemy sprowadzić do postaci równania kwadratowego, na przykład równanie $x^\frac{2}{5}+3x^\frac{1}{5}=28$ :

Ustalamy dziedzinę:

$x^\frac{2}{5}+3x^\frac{1}{5}=28,~D=\mathbb{R}_+ \cup \{0\}$
Podstawmy: $x^\frac{1}{5}=t,~t \geq 0$ i otrzymujemy równanie kwadratowe:

$t 2 + 3 t - 28 = 0$
Czyli:

$t_1=-7,~\notin D$

$t_2=4,~\in D$
Otrzymujemy:

$x^\frac{1}{5}=t_2=4$

$x = 4 5 = 1024$

Spójrzmy na jeszcze inny przykład: $\sqrt{4x+5}-\sqrt{2x-6}=3$ .

Ustalamy dziedzinę:

$4x+5 \geq 0 \and 2x-6 \geq 0 \iff x \geq -\frac{5}{4} \and x \geq \frac{6}{2} \iff x \geq 3$

Czyli: $D=\left[3;+\infty\right)$
Wyrażenie to możemy podnieść do kwadratu, ponieważ lewa i prawa strona jest dodatnia:

$\begin{align} (\sqrt{4x+5}-\sqrt{2x-6})^2&=9\\ 4x+5-2\sqrt{(4x+5)(2x-6)}+2x-6&=9\\ -2\sqrt{8x^2-14x-30}&=-6x+10\quad\Big/:(-2)\\ \sqrt{8x^2-14x-30}&=3x-5 \end{align}$
Żeby równanie to miało sens muszą zachodzić warunki:

$x \in \left[3;+\infty\right) \and 8x^2-14x-30 \geq 0 \and 3x-5 \geq 0$

$\iff x \in \left[3;+\infty\right) \and x \in \left(-\infty;-\frac{4}{5}\right] \cup \left[\frac{1}{3};+\infty;\right) \and x \geq \frac{5}{3}$

$\iff x \in \left[3;+\infty\right)$
I możemy ponownie podnieść to wyrażenie do kwadratu:

$8 x 2 - 14 x - 30 = (3 x - 5) 2$

$8 x 2 - 14 x - 30 = 9 x 2 - 30 x + 25$

$- x 2 + 16 x - 55 = 0$
Czyli:

$x_1=5,~\in \left[3;+\infty\right)$

$x_1=11,~\in \left[3;+\infty\right)$
Zatem rozwiązaniami tego równania jest 5 i 11.

[edytuj] Rozwiązywanie nierówności potęgowych

Przykładem nierówności potęgowej może być:

x 2 > x - 3

$x^\frac{1}{2}-3x^\frac{1}{4}+1>0$

$3x^\frac{1}{6}>x^\frac{1}{4}$

Aby rozwiązać nierówność potęgową możemy wykonać poniższe czynności:

Ustalamy dziedzinę.
Przenosimy wszystkie składniki nierówności na lewą stronę.
Rozwiązujemy nierówność, pamiętając o dziedzinie. Często okazuje się przydatne wykorzystanie własności:
1. $\frac{a}{b}>0 \iff ab>0$
2. $\frac{a}{b}<0 \iff ab<0$
Udzielamy odpowiedzi.

Czasami może okazać się pomocne obustronne pomnożenie nierówności przez $x k$ , gdzie k jest liczbą parzystą. Nie spowoduje to problemów, ponieważ $x k$ zawsze będzie nieujemne, a w związku z tym znak wyrażeń po obu stronach nierówności nie może ulec zmianie.

Przykład 1

Chcemy rozwiązać nierówność $x - 4 > x - 3$ .

Możemy to zrobić w standardowy sposób:

Ustalamy dziedzinę, wykonując pewne przekształcenia, które nam to ułatwią:

$x^{-4}>x^{-3},~D=\mathbb{R} \backslash \{0\}$

$\frac{1}{x^4}>\frac{1}{x^3}$
Przenosimy wszystko na lewą stronę:

$\frac{1}{x^4}-\frac{1}{x^3}>0$
Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

$\frac{1}{x^4}-\frac{x}{x^4}>0$

$\frac{1-x}{x^4}>0 \iff x^4(1-x)>0$

$- x 4 (x - 1) > 0$
Otrzymujemy dwa miejsca zerowe:

$x 1 = 0$ o krotności 4

$x 2 = 1$ o krotności 1
Rozwiązaniem nierówności jest $x \in (-\infty;0) \cup (0;1)$

Nierówność $x - 4 > x - 3$ możemy także rozwiązać (po uprzednim ustaleniu dziedziny $D=\mathbb{R} \backslash \{0\}$ ) wymnażając obie strony przez $x 4$ , ponieważ $x 4 > 0$ dla każdego x różnego od 0. Otrzymalibyśmy wtedy:

$\frac{1}{x^4}>\frac{1}{x^3}$ $/ \sdot x^4$

1 > x

Uwzględniając dziedzinę $D = \mathbb{R} \backslash \{0\}$ otrzymujemy, że $x \in (-\infty;0) \cup (0;1)$ . Jak widać w tym przypadku drugi sposób okazał się o wiele łatwiejszy.

Trzeba dodać, że nie moglibyśmy wymnożyć przez np. $x 5$ (wykładnik nieparzysty), ponieważ $x 5$ może przyjąć wartość ujemną. A pamiętamy, że jeśli nierówność wymnażamy przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak na przeciwny. Wymnażając przez $x 5$ nie jesteśmy w stanie stwierdzić, czy liczba ta jest ujemna, dodatnia, czy może jest zerem, zatem nie jesteśmy w stanie stwierdzić, czy musimy zmienić znak na przeciwny bez tworzenia dodatkowych założeń.

Dodajmy także, że jeśli wymnażamy obustronnie nierówność (czy nawet równanie) przez $x 4$ (czy inne potęgi) musimy sprawdzić jeden przypadek zdegenerowany -- co będzie gdy $x 4 = 0$ , czyli gdy $x = 0$ . Musimy to zrobić, ponieważ jeśli dowolną nierówność wymnożymy obustronnie przez 0 obie strony nierówności się zerują np. $x+5 \geq 10$ przechodzi na $0 \geq 0$ (zawsze prawdziwe). Zatem musimy sprawdzić dwa przypadki -- czy liczba x = 0 spełnia niewymnożoną nierówność (w ten sposób pomijamy sytuację, gdy $x 4 = 0$ ), a także która z liczb $x \neq 0$ spełnia wymnożoną nierówność (wtedy $x^4 \neq 0$ ). Następnie sumujemy oba zbiory rozwiązań.

Na szczęście w powyższym przykładzie $D = \mathbb{R} \backslash \{0\}$ , czyli x nigdy nie będzie równy 0 i ten zdegenerowany przypadek nas nie dotyczy.

[edytuj] Funkcja wykładnicza

DEFINICJA

Funkcja wykładnicza jest to funkcja określona wzorem $f (x) = a x$ dla $a > 0$ i $a \neq 1$ .

Przykładem funkcji wykładniczej może być:

$y = 2 x$
$y=\left(2\frac{1}{2}\right)^x$
$y = 10 2 x$ , co jest równoznaczne $y = (10 2) x = 100 x$

[edytuj] Wykres i własności

Patrząc na funkcję $y = 2 x$ i $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ (kolor czerwony) wydaje nam się, że są one symetryczne względem osi OY. Podobnie jest z funkcjami $y = 3 x$ i $y=\left(\frac{1}{3}\right)^x$ (kolor granatowy), a także $y=\left(\frac{3}{2}\right)^x$ i $y=\left(\frac{2}{3}\right)^x$ (kolor zielony). Możemy przypuszczać, że wykresy $f (x) = a x$ , a także $g(x)=\left(\frac{1}{a}\right)^x$ są symetryczne względem osi OY i rzeczywiście tak jest: $f(x)=a^x=(a^{-1})^{-x}=\left(\frac{1}{a}\right)^{-x}=g(-x)$ .

Własności:

$D = R$
$Z W = R +$ , czyli $a x > 0$
Wykres funkcji $y = a x$ jest symetryczny względem osi OY do wykresu funkcji $y=\left(\frac{1}{a}\right)^x$
Funkcja nie posiada miejsc zerowych
Funkcja przecina oś OY w punkcie $(0;1)$ , ponieważ $\forall_{a \neq 0}\ a^0 = 1$
Funkcja jest różnowartościowa
Dla $a \in (1; +\infty)$ funkcja jest rosnąca
Dla $a \in (0; 1)$ funkcja jest malejąca

[edytuj] Rozwiązywanie równań wykładniczych

Przykładami równań wykładniczych mogą być:

$3^x=27 \$

$\left(2\frac{1}{5}\right)^{x-2}=15$

$\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}x}=2^{x+2}$

$2^{2x}-5 \sdot 2^x-10=0$

Schemat rozwiązywania równań wygląda tak:

Ustalamy dziedzinę.
Sprowadzamy równanie, aby miało takie same podstawy lub sprowadzamy je do równania kwadratowego albo jeszcze do innego równania, tworząc przy tym odpowiednie założenia. Z równości podstaw wynika równość wykładników.
Rozwiązujemy równanie.
Sprawdzamy, czy rozwiązania przekształconych równań spełniają nasze założenie.
Podajemy odpowiedź.

Przykład 1

Chcemy rozwiązać równanie $\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}x-1}=16^{x+3}$ , możemy to zrobić w ten sposób:

Ustalamy dziedzinę:

$\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}x-1}=16^{x+3},~D=\mathbb{R}$
Sprowadzamy do tej samej podstawy:

$\begin{align} (4^{-1})^{\frac{1}{2}x-1}&=(4^2)^{x+3}\\ 4^{-\frac{1}{2}x+1}&=4^{2x+6} \end{align}$
Z równości potęg wynika równość wykładników:

$\begin{align} -\frac{1}{2}x+1&=2x+6\\ -2\frac{1}{2}x&=5\quad\Big/:(-2\frac{1}{2})\\ x&=-2,~\in D \end{align}$
Zatem rozwiązaniem równania jest -2.
Możemy sprawdzić rozwiązanie:

$L=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}x-1}=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}(-2)-1}= \left(\frac{1}{4}\right)^{-2}=16$

$P=16^{x+3}=16^{-2+3}=16 \$

Zatem $L=P \$

Przykład 2

Jeśli chcemy rozwiązać równanie $2^x+2^{7-x}=24 \!$ , możemy to zrobić w ten sposób:

Ustalamy dziedzinę i przekształcamy równanie:

$2^x+2^{7-x}=24 ,~D=\mathbb{R}$

$2^x+\frac{2^7}{2^x}=24$
Podstawiamy $2^x=t, t \in \mathbb{R}_+$

$t+\frac{128}{t}=24$ $/ \sdot t$

$t^2-24t+128=0 \$
Otrzymujemy:

$t_1=8=2^3,~\in \mathbb{R}_+$

$t_2=16=2^4,~\in \mathbb{R}_+$
Ponieważ $2^x=t \$ :

$2^x=t_1\$ lub $2^x=t_2\$

$2^x=2^3\$ lub $2^x=2^4\$

$x=3\$ lub $x=4\$
Liczby 3 i 4 są rozwiązaniami tego równania.

[edytuj] Rozwiązywanie nierówności wykładniczych

Przykładami nierówności wykładniczych są:

$2^x > \left(\frac{1}{2}\right)^{2-x\frac{1}{2}}$

$3^{x^2-2}<3\sqrt{3}$

$\left(\frac{1}{9}\right)^x>3^{4-\frac{1}{2}x}$

W celu rozwiązania nierówności wykładniczej należy:

Ustalić dziedzinę
Sprowadzić obie strony do tych samych podstaw albo przekształcić do innego równania, które potrafimy rozwiązać.
Wykorzystujemy własności funkcji wykładniczej, przekształcając odpowiednio równanie:

dla $a \in (1;+\infty)$

$a^n>a^m \iff n>m$

$a^n<a^m \iff n<m$

analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy”

dla $a \in (0;1)$

$a^n>a^m \iff n<m$

$a^n<a^m \iff n>m$

analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy”
Rozwiązujemy otrzymane równanie.
Udzielamy odpowiedzi.

Popatrzmy jeszcze raz na punkt trzeci. Wynika z niego, że jeśli mamy równanie $2^{2x-1} \geq 2^{3-x}$ , możemy je przekształcić na równanie $2x-1 > 3-x\$ , ponieważ $a=2 \in (1;+\infty)$ . Natomiast $\left(\frac{1}{2}\right)^{2x-1} > \left(\frac{1}{2}\right)^{3-x} \iff 2x-1 < 3-x$ , ponieważ $a=\frac{1}{2} \in (0;1)$ .

Przykład 1

Chcemy rozwiązać nierówność $\left(\frac{1}{4}\right)^x>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1}$ . W tym celu:

Ustalamy dziedzinę:

$\left(\frac{1}{4}\right)^x>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1},~D=\mathbb{R} \backslash \{-1\}$
Sprowadzamy do tych samych podstaw:

$\left[\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]^x>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1}$

$\left(\frac{1}{2}\right)^{2x}>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1}$
Ponieważ $a=\frac{1}{2}$ , wykorzystujemy prawo $a^n>a^m \iff n<m$ :

$2x<\frac{2x}{x+1}$
Przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:

$2x-\frac{2x}{x+1}<0$

$\frac{2x^2}{x+1}<0$
Z własności $\frac{a}{b}<0 \iff ab<0$ , wynika że:

$2x^2(x+1)<0 \Rightarrow x_1=0$ , krotność 2 i $x_2=-1 \!$ o krotności 1.
Czyli $x \in (-\infty;-1)$

</noinclude>

[edytuj] Logarytm

[edytuj] Pojęcie i własności logarytmu

DEFINICJA

Logarytmem liczby dodatniej b przy podstawie a, gdzie $a \in \mathbb{R}_+ \backslash \{1\}$ , nazywamy wykładnik potęgi c, do której należy podnieść a, aby otrzymać b.

$\log_a b=c \iff a^c=b$ , dla

a > 0

i $a \neq 1$ i

b > 0

a jest podstawą logarytmu

b jest liczbą logarytmowaną

c jest wartością logarytmu

Własności logarytmu:

$a^{\log_a b} = b$
$log a 1 = 0$
$log a a = 1$
$log a (m n) = log a m + log a n$
$\log_a{m \over n} = \log_a m - log_a n$
$log a n b = b log a n$
$\log_a b = \frac{ \log_c b}{ \log_c a }$
$a > 1 \and \log_a b > \log_a c \iff b > c$
$a < 1 \and \log_a b > \log_a c \iff b < c$
warto dodać, że logarytm jest funkcją ciągłą

Przykłady

log 10 100 = 2

log 10 10000 = 4

$100 < 1000 \quad 2 < 4$

log 0.1 0.01 = 2

log 0.1 0.0001 = 4

$0.01 > 0.001 \quad 2 < 4$

log 10 0.1 = - 1

log 10 0.01 = - 2

$0.1 > 0.01 \quad -1 > -2$

[edytuj] Logarytm naturalny i dziesiętny

W praktyce najczęściej stosuje się logarytmy o podstawie 2, $e$ oraz 10, stąd zapis:

$log 10 a = log a$ - logarytm dziesiętny (alternatywnie Briggsa lub zwyczajny)
$log e a = ln a$ - logarytm naturalny (którego podstawa $e = \lim_{n\to\infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n = 2.71828...$ )
$log 2 a = lg a$

Uwaga!
Oznaczenia

log

,

lg

oraz

ln

mogą mieć inne niż powyższe znaczenie w literaturze obcojęzycznej, programach komputerowych i językach programowania!

[edytuj] Przybliżenia

W obliczeniach chemicznych często przybliża się:

$\log_{10} 2 \approx 0.3$

[edytuj] Funkcja logarytmiczna

DEFINICJA

Funkcję $f (x) = log a x$ , gdzie $a > 0$ , $a \neq 1$ i $x > 0$ nazywamy funkcją logarytmiczną.

Ponadto funkcja logarytmiczna przesunięta o wektor $\vec{v} = [p; q]$ , także jest funkcją logarytmiczną. Funkcja ta będzie wówczas postaci $f (x) = log a (x - p) + q$ .

Przykłady funkcji logarytmicznej:

$f (x) = log 0,5 x$
$g (x) = log 3 (x + 2)$
$h (x) = log(x - 5) + 20$
$i (x) = log 0,2 x - 2$

Najważniejsze własności funkcji $y = log a x$ dla $a \in (1;+\infty)$ :

$x \in \mathbb{R}_+$
$y \in \mathbb{R}$
funkcja jest rosnąca
funkcja jest różnowartościowa

Najważniejsze własności funkcji $y = log a x$ dla $a \in (0;1)$ :

$x \in \mathbb{R}_+$
$y \in \mathbb{R}$
funkcja jest malejąca
funkcja jest różnowartościowa

[edytuj] Rozwiązywanie równań logarytmicznych

DEFINICJA

Równaniem logarytmicznym nazywamy równanie, w którym niewiadoma występuje jedynie w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu. Przykładami równań logarytmicznych są:

$log 4 x = - 2$
$log x + 3 27 = - 2$
$\log_{\frac{1}{2}} 3-x = 1$

Wyznaczając rozwiązania równania logarytmicznego powinno się:

Ustalić dziedzinę
Rozwiązać równanie. Mogą się okazać przydatne poniższe własności logarytmów:
- $\log_n b=x \iff b=n^x$ np. $\log_{\frac{1}{2}} (3-x) = 2 \iff 3-x=\left(\frac{1}{2}\right)^2$
- Z równości logarytmów o tych samych podstawach wynika równość liczb logarytmowanych np. $\log_3 (x+3)=\log_3 (x^2+1) \iff x+3=x^2+1$ , ze względu na to, że funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa.
Podać odpowiedź.

Przykład 1

Rozwiążmy równanie $log 2 x = 5$ .

Ustalamy dziedzinę: $x \in \mathbb{R}_+$
Własność $\log_n b=x \iff b=n^x$ sprawdzi się w tym przypadku. Otrzymamy

$\log_2 x = 5 \iff x = 2^5 = 32$
Odp. $x = 32$

Przykład 2

Chcemy rozwiązać równanie $\log_3(4-\frac{1}{5}x)=2$ . Możemy to zrobić w ten sposób:

Ustalamy dziedzinę:

$4-\frac{1}{5}x>0 \iff -\frac{1}{5}x>-4 \iff x<20$

Zatem mamy równanie $\log_3(4-\frac{1}{5}x)=2,~D=(-\infty;20)$
Z własności $\log_n b=x \iff b=n^x$ i przekształcając odrobinę to równanie otrzymujemy:

$\log_3(4-\frac{1}{5}x)=2 \iff 4-\frac{1}{5}x=3^2$

$-\frac{1}{5}x=5$

$x=-25,~\in D$
Czyli rozwiązaniem tego równania jest -25.

Przykład 3

Rozwiążemy równanie $log 5 x 2 = 3$ .

Ustalamy dziedzinę:

Liczba logarytmowana musi być większa od 0, dlatego zakładamy, że $x^2 > 0 \iff x \neq 0$ . Zatem $D = \mathbb{R} \backslash \{0\}$ .
$\log_5 {x^2} = 3 \iff x^2 = 5^3 = 125$
I znajdujemy pierwiastki równania:

$x 2 - 125 = 0$

$(x - 5\sqrt{5})(x + 5\sqrt{5}) = 0$

czyli $x_1 = 5\sqrt{5} \in D$ i $x_2 = -5\sqrt{5} \in D$
Odp. $x \in \{-5\sqrt{5}; 5\sqrt{5}\}$

Przykład 4

Rozwiążmy równanie $\log^2_2 x - 10 \log_2 x +16 = 0$ . (Pamiętamy, że $\log^2_2 x = (\log_2 x)^2$ , a nie $log 2 (x 2)$ .)

Ustalamy dziedzinę: $D = \mathbb{R}_+$
Podstawiamy zmienną pomocniczą $t = log 2 x$ do równania $\log^2_2 x - 10 \log_2 x + 16$ i otrzymujemy:

$t 2 - 10 t + 16$
$\Delta = 10^2 - 4 \cdot 16 = 36$ , $\sqrt{\Delta} = 6$ .
$t_1 = \frac{10-6}{2} = 2$ , $t_2 = \frac{10+6}{2} = 8$
Ponieważ $t = log 2 x$ , więc:

$log 2 x = t 1 = 2$

$x = 2^2 = 4 \in D$

lub $log 2 x = t 2 = 8$

$x = 2^8 = 256 \in D$
Odp. $x \in \{4;256\}$

Przykład 5

Spróbujmy rozwiązać równanie $log 2 x - log 4 x = 3$ .

Ustalamy dziedzinę: $D = \mathbb{R}_+$
Obydwa logarytmy musimy sprowadzić do wspólnej podstawy. W tym celu wykorzystujemy wzór $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ . $log 4 x$ możemy zapisać jako $\frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}$ . Zatem nasze równanie przybierze postać:

$\log_2 x - \frac{\log_2 x}{2} = 3$

$\frac{\log_2 x}{2} = 3$

Obustronnie mnożymy przez 2:

$log 2 x = 6$

$x = 2 6 = 64$
Odp. $x = 64$

Przykład 6

Rozwiążmy równanie $2\log_3 (x-3) - \log_\frac{1}{9} (x-3) = 5$

Ustalamy dziedzinę: $D = (3; +\infty)$
Obydwa logarytmy podobnie jak w poprzednim przykładzie sprowadzamy do wspólnej podstawy otrzymując:

$2\log_3 (x-3) - \frac{\log_3 (x-3)}{\log_3 \frac{1}{9}} = 5$

$2\log_3 (x-3) - \frac{\log_3 (x-3)}{-2} = 5$

$\frac{5}{2}\log_3 (x-3) = 5$
Teraz obustronnie dzielimy przez $\frac{5}{2}$ i mamy:

$log 3 (x - 3) = 2$
$x-3 = 3^2 = 9 \implies x = 12$
Odp. $x = 12$

Przykład 7

Rozwiążmy równanie $2log x - 3 3 = 2$ .

Ustalamy dziedzinę pamiętając, że podstawa logarytmu musi należeć do sumy przedziałów $(0;1) \cup (1;+\infty)$ :

$x-3 \in (0;1) \cup (1;+\infty)$

czyli $D = (3;4) \cup (4;+\infty)$
Skorzystamy z własności $k log a x = log a x k$ :

$2\log_{x-3} 3 = 2 \iff \log_{x-3} 3^2 = 2$

zatem $log x - 3 9 = 2$
Ostatecznie otrzymujemy równanie kwadratowe:

$9 = (x - 3) 2$

$9 = x 2 - 6 x + 9$

$x (x - 6) = 0$

Otrzymujemy: $x_1 = 0 \not\in D$ i $x_2 = 6 \in D$
Odp. $x = 6$

[edytuj] Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych

DEFINICJA

Nierównością logarytmiczną nazywamy nierówność, w której niewiadoma występuje jedynie w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu. Przykładami nierówności logarytmicznych są:

$log x > 5$
$\log_2 (x^2+1) \leq 3$
$log x + 1 4 = 4$

Ze względu na to, że funkcja logarytmiczna jest malejąca dla podstawy należącej do przedziału $(0;1)$ , dlatego przy pozbywaniu się logarytmu z nierówności należy zmienić znak na przeciwny. Natomiast dla podstawy zawierającej się w $(1;+\infty)$ zostawiamy znak taki, jaki był. Zresztą zaraz zobaczymy to na przykładach.

Przykład 1

Rozwiążmy nierówność $log 3 x > 4$ .

Ustalamy dziedzinę: $x \in \mathbb{R}_+$
Ponieważ podstawa logarytmu jest większa od 1, więc nie zmieniamy znaku na przeciwny, zatem:

$\log_3 x >4 \iff x > 3^4$

$x > 81$
Znajdujemy cześć wspólną rozwiązania z dziedziną, czyli:

$(x \in (81;+\infty) \and x \in (0;+\infty)) \iff x \in (81;+\infty)$
Odp. $x \in (81;+\infty)$

Przykład 2

Rozwiążmy nierówność $log 0,5 (x 2) < 4$

Ustalamy dziedzinę:

$x^2 > 0 \iff x \neq 0$ , czyli:

$D = \mathbb{R} \backslash \{0\}$
Podstawa logarytmu (czyli $0,5$ )zawiera się w przedziale $(0;1)$ , więc musimy zmienić znak nierówności na przeciwny:

$\log_{0{,}5} (x^2) < 4 \iff x^2 > (0{,}5)^4$ i otrzymujemy, że:

$x^2 - (0{,}5)^4 > 0 \iff x^2 - (0{,}25)^2 > 0 \iff (x - 0{,}25)(x + 0{,}25) > 0$

czyli $x \in (-\infty;-0{,}25) \cup (0{,}25, +\infty)$
Teraz znajdujemy część wspólną tego rozwiązania z dziedziną, czyli:

$x \in ((-\infty;-0{,}25) \cup (0{,}25, +\infty)) \cap (\mathbb{R} \backslash \{0\}) \iff x \in (-\infty;-0{,}25) \cup (0{,}25, +\infty)$

Odp. $x \in (-\infty;-0{,}25) \cup (0{,}25, +\infty)$

Przykład 3

Zajmijmy się teraz taką nierównością $\log_\frac{1}{3} x^2 \leq 4$ :

$D = R \backslash \{0\}$
$\log_\frac{1}{3} x^2 \leq 4 \iff x^2 \geq \left(\frac{1}{3}\right)^4$ , ponieważ podstawa jest mniejsza od 1
$x^2 - \left(\frac{1}{3}\right)^4 \geq 0$
$\left(x - \frac{1}{9}\right)\left(x + \frac{1}{9}\right) \geq 0$
Czyli $x \in \left(-\infty;-\frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac{1}{9};+\infty\right)$
Biorąc część wspólną z dziedziną otrzymujemy, że $x \in \left(-\infty;-\frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac{1}{9};+\infty\right)$
Odp. $x \in \left(-\infty;-\frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac{1}{9};+\infty\right)$

Przykład 4

Rozwiążmy nierówność $log 3 x - 3 16 < 2$ :

Ustalamy dziedzinę:

Ponieważ podstawa logarytmu musi należeć do zbioru $(0;1) \cup (1;+\infty)$ , więc będzie także w tym przypadku. Mamy:

$(3x-3) \in (0;1) \cup (1;+\infty)$

czyli $D = \left(1;\frac{4}{3}\right) \cup \left(\frac{4}{3};+\infty\right)$
Teraz musimy rozważyć dwa przypadki, co będzie, gdy i gdy , ponieważ w pierwszym przypadku będziemy musimy zmienić znak nierówności na przeciwny, a w drugim nie.
- dla $x \in \left(1;\frac{4}{3}\right)$
  
  $\log_{3x-3} 16 < 2 \iff 16 > (3x-3)^2 \iff (3x-3)^2-16 < 0$ , tu możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:
  
  $(3x-3-4)(3x-3+4) < 0 \iff 3\left(x-\frac{7}{3}\right) \cdot 3\left(x+\frac{1}{3}\right) < 0$
  
  czyli $x \in \left(-\frac{1}{3};\frac{7}{3}\right)$ , a także $x \in \left(1;\frac{4}{3}\right)$ (z założenia)
  
  czyli $x \in \left(1;\frac{4}{3}\right)$
- dla $x \in \left(\frac{4}{3};+\infty\right)$
  
  $\log_{3x-3} 16 < 2 \iff 16 < (3x-3)^2 \iff 3\left(x-\frac{7}{3}\right) \cdot 3\left(x+\frac{1}{3}\right) > 0$
  
  czyli $x \in \left(-\infty;-\frac{1}{3}\right) \cup \left(\frac{7}{3}; +\infty\right)$ i $x \in \left(\frac{4}{3};+\infty\right)$
  
  czyli $x \in \left(\frac{7}{3}; +\infty\right)$
Ostatecznie podsumowując te dwa przypadki otrzymujemy, że $x \in \left(1;\frac{4}{3}\right) \cup \left(\frac{7}{3}; +\infty\right)$
Odp. $x \in \left(1;\frac{4}{3}\right) \cup \left(\frac{7}{3}; +\infty\right)$

[edytuj] Podsumowanie

Po zapoznaniu się z tym rozdziałem, powinieneś umieć na poziomie rozszerzonym:

Porównywać potęgi o wykładnikach rzeczywistych i stosować ich własności do przekształcania wyrażeń.
Posługiwać się własnościami funkcji wykładniczych i logarytmicznych, a także szkicować ich wykres.
Rozwiązywać proste równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne, a także rozwiązywać układy takich równań i nierówności.

Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Ćwiczenia

Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Spis treści

[edytuj] Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

[edytuj] Przypomnienie działań na potęgach

[edytuj] Kilka podstawowych przykładów

[edytuj] Funkcja potęgowa

[edytuj] Wykres

[edytuj] O wykładniku równym zero

[edytuj] O wykładniku dodatnim parzystym

[edytuj] O wykładniku dodatnim nieparzystym

[edytuj] O wykładniku ujemnym parzystym

[edytuj] O wykładniku ujemnym nieparzystym

[edytuj] Rozwiązywanie równań potęgowych

[edytuj] Rozwiązywanie nierówności potęgowych

[edytuj] Funkcja wykładnicza

[edytuj] Wykres i własności

[edytuj] Rozwiązywanie równań wykładniczych

[edytuj] Rozwiązywanie nierówności wykładniczych

[edytuj] Logarytm

[edytuj] Pojęcie i własności logarytmu

[edytuj] Logarytm naturalny i dziesiętny

[edytuj] Przybliżenia

[edytuj] Funkcja logarytmiczna

[edytuj] Rozwiązywanie równań logarytmicznych

[edytuj] Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych

[edytuj] Podsumowanie

Widok

Osobiste

Nawigacja

Drukuj lub eksportuj

Szukaj

Narzędzia