Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna[edytuj]

Przypomnienie działań na potęgach[edytuj]

Przypomnijmy sobie podstawowe działania na potęgach:

  •  a^1=a
  •  a^n=aa^{n-1}
  •  \begin{matrix}
a^n= & \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a} \\
 & n \mbox{ razy} \\
\end{matrix}
  •  a^0=1
  •  a^{-n}=\frac{1}{a^n}
  •  \left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n}
  •  a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}
  •  a^{\frac{m}{n}}=(a^{\frac{1}{n}})^m
  •  {a^p} \sdot {a^q} = a^{p+q}
  •  {a^p}:{a^q} = a^{p-q}
  •  (a^p)^q = a^{pq}
  •  {(a \sdot b)}^p = {a^p} \sdot {b^p}
  •  \left(\frac{a}{b}\right)^p = \frac{a^p}{b^p}

Kilka podstawowych przykładów[edytuj]

Przykład 1.

Sprowadźmy do jednej potęgi wyrażenie:

a)  10 \cdot 2^2 + 2^3 + 2^4
Rozwiązanie:
 10 \cdot 2^2 + 2^3 + 2^4 = 5 \cdot 2 \cdot 2^2 + 2^3 + 2^4 =
 = 5 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^3 + 2^4 = (5+1) \cdot 2^3 + 2^4 =
 = 6 \cdot 2^3 + 2^4 = 3 \cdot 2^4 + 2^4 =
 = 4 \cdot 2^4 = 2^2 \cdot 2^4 = 2^6
b)  5^2\sqrt{125} - 5^3 + \frac{500}{\sqrt{5}-1} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5}
Rozwiązanie:
 5^2\sqrt{125} - 5^3 + \frac{500}{\sqrt{5}-1} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =
 = 5^2\sqrt{5^3} - 5^3 + \frac{5^3 \cdot 4}{\sqrt{5}-1} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =
 = 5^3\sqrt{5} - 5^3 + \frac{5^3 \cdot 4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =
 = 5^3\sqrt{5} - 5^3 + \frac{5^3 \cdot 4(\sqrt{5}+1)}{4} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =
 = 5^3\sqrt{5} - 5^3 + 5^3\sqrt{5} + 5^3 + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =
 = 2 \cdot 5^3\sqrt{5} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} = (2 + 3) \cdot 5^3 \sqrt{5} = 5^4 \sqrt{5} = 5^{9 \over 2}


Przykład 2.

Zapiszmy w postaci potęgi:

a)  \sqrt{8\sqrt{32\sqrt{16\sqrt{128\sqrt{2}}}}}
 \sqrt{8\sqrt{32\sqrt{16\sqrt{128\sqrt{2}}}}} = 
\sqrt{2^3\sqrt{2^5\sqrt{2^4\sqrt{2^7 \cdot 2^{1 \over 2}}}}} = 
\sqrt{2^3\sqrt{2^5\sqrt{2^4\sqrt{2^{15 \over 2}}}}} =
\sqrt{2^3\sqrt{2^5\sqrt{2^4 \cdot 2^{15 \over 4}}}} =  \sqrt{2^3\sqrt{2^5\sqrt{2^{31 \over 4}}}} = 
\sqrt{2^3\sqrt{2^5 \cdot 2^{31 \over 8}}} =
\sqrt{2^3\sqrt{2^{51 \over 8}}} =
\sqrt{2^3 \cdot 2^{51 \over 16}} = \sqrt{2^{63 \over 16}} = 2^{63 \over 32}
b)  \sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot \sqrt[4]{9 \cdot \sqrt[5]{9}}}}
 \sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot \sqrt[4]{9 \cdot \sqrt[5]{9}}}} =
\sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot \sqrt[4]{9 \cdot 9^{1 \over 5}}}} = 
\sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot \sqrt[4]{9^{6 \over 5}}}} =
 = \sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot 9^{3 \over 10}}} =
\sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9^{13 \over 10}}} =
\sqrt{9 \cdot 9^{13 \over 30}} =
 = \sqrt{9^{43 \over 30}} = 9^{43 \over 60}

Przykład 3.

Udowodnijmy równość:

a)  \frac{12}{\sqrt{7}-2} - 4 \sqrt{7} = 8
 L = \frac{12}{\sqrt{7}-2} - 4 \sqrt{7} =
\frac{12 - 4 \sqrt{7}(\sqrt{7} - 2)}{\sqrt{7}-2} =
\frac{12 - 28 + 2 \cdot 4\sqrt{7}}{\sqrt{7}-2} =
 = \frac{8\sqrt{7} - 16}{\sqrt{7}-2} = 
\frac{8(\sqrt{7} - 2)}{\sqrt{7}-2} = 8
 P = 8
czyli  L = P
b)  \frac{24}{\sqrt{10} - 2} = 4\sqrt{10} + 8
 L = \frac{24}{\sqrt{10} - 2} = 
\frac{24(\sqrt{10}+2)}{(\sqrt{10}-2)(\sqrt{10}+2)} = 
\frac{24(\sqrt{10}+2)}{6} = 
4(\sqrt{10}+2) = 4\sqrt{10} + 8
 P = 4\sqrt{10} + 8
zatem  L = P
c)  \sqrt{31-12\sqrt{3}} - 3\sqrt{4+2\sqrt{3}} = -5
 L = \sqrt{27-12\sqrt{3}+4} - 3\sqrt{3+2\sqrt{3}+1} =
\sqrt{(3\sqrt{3}-2)^2} - 3\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} =
 = |3\sqrt{3}-2| - 3|\sqrt{3}+1| =
(3\sqrt{3}-2) - 3(\sqrt{3}+1) =
3\sqrt{3} - 2 - 3\sqrt{3} - 3 = -5
 P = 5
 L = P

Przykład 4.

Udowodnijmy teraz, że liczba  \sqrt{101-36\sqrt{5}} + \sqrt{29+12\sqrt{5}} jest wymierna:

 \sqrt{101-36\sqrt{5}} + \sqrt{29+12\sqrt{5}} = \sqrt{(2\sqrt{5}-9)^2} + \sqrt{(3+2\sqrt{5})^2} =
 = |2\sqrt{5}-9| + |3+2\sqrt{5}| = 9-2\sqrt{5} + 3+2\sqrt{5} =
 = 12 \in \mathbb{Q}

Przykład 5.

Teraz odwrotnie, udowodnijmy, że liczba  \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{13 - 4\sqrt{3}} jest niewymierna:

 \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{13 - 4\sqrt{3}} =
\sqrt{(\sqrt{3}+2)^2} + \sqrt{(1-2\sqrt{3})^2} =
 = |\sqrt{3}+2| + |1-2\sqrt{3}| =
\sqrt{3}+2 + 2\sqrt{3} -1 =
 = 3\sqrt{3} + 1 \not\in \mathbb{Q}


Funkcja potęgowa[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Funkcja potęgowa jest to funkcja określona wzorem  f(x)=x^p .


Dziedzina funkcji potęgowej:

  1. Jeśli p \in \mathbb{N}_+, to D_f=\mathbb{R}
  2. Jeśli p \in \mathbb{C}, to D_f = \mathbb{R} \backslash \{0\}
  3. Jeśli p \in \mathbb{W}:
    • dla  p>0 , to  D_f=\mathbb{R}_+\cup\{0\}
    • dla  p<0 , to  D_f=\mathbb{R}_+
Informacja Bardziej formalne oznaczenie zbioru C (liczb całkowitych) to \mathbb{Z}, natomiast W (liczb wymiernych) to \mathbb{Q}.

Wykres[edytuj]

O wykładniku równym zero[edytuj]

Funpot-wykr0.png

W tym przypadku wykres jest dość prosty - wykresem funkcji jest prosta. Jedynym faktem do zaznaczenia jest to, że  D=\mathbb{R} \backslash \{0\} . Dziedzina jest bez zera, ponieważ wartość wyrażenia  0^0 jest nieokreślona.

O wykładniku dodatnim parzystym[edytuj]

Funpot-wykr1.png

Wszystkie te wykresy przecinają się w trzech punktach o współrzędnych (0;0), (-1;1), a także (1;1).

Własności:

  1.  D_f = \mathbb{R}
  2.  ZW_f = \mathbb{R}_+ \cup \{0\}
  3. Miejsce zerowe funkcji:  x_0=0
  4. Wartości dodatnie:  f(x)>0 \iff x \in \mathbb{R} \backslash \{0\}
  5. Wartości ujemne:  f(x)<0 \iff x \in \varnothing , funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych
  6. Ekstrema:
    Minimum: dla  x=0  f(x)=0
    Maksimum: nie przyjmuje wartości największej
  7. Monotoniczność:
    Rośnie dla  x \in (0,+\infty)
    Maleje dla  x \in (-\infty,0)
  8. Funkcja nie jest różnowartościowa
  9. Funkcja jest parzysta
  10. Funkcja nie jest nieparzysta


O wykładniku dodatnim nieparzystym[edytuj]

Funpot-wykr2.png

Łatwo zauważyć, że wykresy te przecinają się w trzech punktach o współrzędnych (0;0), (-1;-1), a także (1;1).

Własności:

  1.  D_f = \mathbb{R}
  2.  ZW_f = \mathbb{R}
  3. Miejsce zerowe funkcji:  x_0=0
  4. Wartości dodatnie:  f(x)>0 \iff x \in \mathbb{R}_+ \backslash \{0\}
  5. Wartości ujemne:  f(x)<0 \iff x \in \mathbb{R}_- \backslash \{0\}
  6. Ekstrema:
    Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej
    Maksimum: nie przyjmuje wartości największej
  7. Monotoniczność:
    Rośnie dla  x \in \mathbb{R}
  8. Funkcja jest różnowartościowa
  9. Funkcja nie jest parzysta
  10. Funkcja jest nieparzysta

O wykładniku ujemnym parzystym[edytuj]

Funpot-wykr3.png

Wszystkie te wykresy przecinają się w dwóch punktach o współrzędnych (-1;1), a także (1;1). Ponadto zachodzi:

 y>1 \iff x \in (-1;0) \cup (0;1)

Własności:

  1.  D_f = \mathbb{R} \backslash \{0\}
  2.  ZW_f = \mathbb{R}_+
  3. Miejsce zerowe funkcji: brak
  4. Wartości dodatnie:  f(x)>0 \iff x \in D_f
  5. Wartości ujemne:  f(x)<0 \iff x \in \varnothing
  6. Ekstrema:
    Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej
    Maksimum: nie przyjmuje wartości największej
  7. Monotoniczność:
    Rośnie dla  x \in (-\infty;0)
    Maleje dla  x \in (0;+\infty)
  8. Funkcja nie jest różnowartościowa
  9. Funkcja jest parzysta
  10. Funkcja nie jest nieparzysta
  11. Asymptoty:  x=0 i  y=0

O wykładniku ujemnym nieparzystym[edytuj]

Funpot-wykr4.png

Wykresy te przecinają się w dwóch punktach o współrzędnych (-1;-1), a także (1;1). Można zauważyć, że zachodzi także:

 y>1 \iff x \in (0;1)

Własności:

  1.  D_f = \mathbb{R} \backslash \{0\}
  2.  ZW_f = \mathbb{R} \backslash \{0\}
  3. Miejsce zerowe funkcji: brak
  4. Wartości dodatnie:  f(x)>0 \iff x \in (0;+\infty)
  5. Wartości ujemne:  f(x)<0 \iff x \in (-\infty;0)
  6. Ekstrema:
    Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej
    Maksimum: nie przyjmuje wartości największej
  7. Monotoniczność:
    Maleje w przedziale  x \in (-\infty;0) i przedziale  x \in (0;+\infty)
  8. Funkcja jest różnowartościowa
  9. Funkcja nie jest parzysta
  10. Funkcja jest nieparzysta
  11. Asymptoty:  x=0 i  y=0


Rozwiązywanie równań potęgowych[edytuj]


Przykładami równań potęgowych może być:

x^{\frac{2}{3}}=9,
7x^{4}=2\sqrt{7},
x+x^{\frac{1}{2}}=12.

W celu rozwiązania danego równania oczywiście najpierw należy wyznaczyć dziedzinę. Następnie rozwiązujemy je i sprawdzamy, które rozwiązania należą do dziedziny równania. Załóżmy, że mamy równanie  x^{\frac{3}{2}}=\sqrt{3} i chcemy je rozwiązać. Możemy to zrobić w ten sposób:

  1. Ustalamy dziedzinę:
     x^{\frac{3}{2}}= \sqrt{3}, D=\mathbb{R}_+ \cup \{0\}
  2. Przekształcamy pierwiastek na potęgę:
     x^{\frac{3}{2}}= 3^\frac{1}{2}
  3. Ponieważ obydwie strony równania są dodatnie, możemy je podnieść do potęgi  \frac{2}{3} :
     \left(x^\frac{3}{2}\right)^\frac{2}{3} = \left(3^\frac{1}{2}\right)^\frac{2}{3}
  4. Czyli:
     x=3^\frac{1}{3}

Niektóre równania możemy sprowadzić do postaci równania kwadratowego, na przykład równanie  x^\frac{2}{5}+3x^\frac{1}{5}=28 :

  1. Ustalamy dziedzinę:
     x^\frac{2}{5}+3x^\frac{1}{5}=28,~D=\mathbb{R}_+ \cup \{0\}
  2. Podstawmy:  x^\frac{1}{5}=t,~t \geq 0 i otrzymujemy równanie kwadratowe:
     t^2+3t-28=0
  3. Czyli:
     t_1=-7,~\notin D
     t_2=4,~\in D
  4. Otrzymujemy:
     x^\frac{1}{5}=t_2=4
     x=4^5=1024

Spójrzmy na jeszcze inny przykład:  \sqrt{4x+5}-\sqrt{2x-6}=3 .

  1. Ustalamy dziedzinę:
     4x+5 \geq 0 \and 2x-6 \geq 0 \iff x \geq -\frac{5}{4} \and x \geq \frac{6}{2} \iff x \geq 3
    Czyli:  D=\left[3;+\infty\right)
  2. Wyrażenie to możemy podnieść do kwadratu, ponieważ lewa i prawa strona jest dodatnia:
     
\begin{align}
    (\sqrt{4x+5}-\sqrt{2x-6})^2&=9\\
    4x+5-2\sqrt{(4x+5)(2x-6)}+2x-6&=9\\
    -2\sqrt{8x^2-14x-30}&=-6x+10\quad\Big/:(-2)\\
    \sqrt{8x^2-14x-30}&=3x-5
\end{align}
  3. Żeby równanie to miało sens muszą zachodzić warunki:
     x \in \left[3;+\infty\right) \and 8x^2-14x-30 \geq 0 \and 3x-5 \geq 0
     \iff x \in \left[3;+\infty\right)
              \and x \in \left(-\infty;-\frac{4}{5}\right] \cup \left[\frac{1}{3};+\infty;\right) \and x \geq \frac{5}{3}
     \iff x \in \left[3;+\infty\right)
  4. I możemy ponownie podnieść to wyrażenie do kwadratu:
     8x^2-14x-30=(3x-5)^2
     8x^2-14x-30=9x^2-30x+25
     -x^2+16x-55=0
  5. Czyli:
     x_1=5,~\in \left[3;+\infty\right)
     x_1=11,~\in \left[3;+\infty\right)
  6. Zatem rozwiązaniami tego równania jest 5 i 11.

Rozwiązywanie nierówności potęgowych[edytuj]

Przykładem nierówności potęgowej może być:

 x^2>x^{-3}
 x^\frac{1}{2}-3x^\frac{1}{4}+1>0
 3x^\frac{1}{6}>x^\frac{1}{4}

Aby rozwiązać nierówność potęgową możemy wykonać poniższe czynności:

  1. Ustalamy dziedzinę.
  2. Przenosimy wszystkie składniki nierówności na lewą stronę.
  3. Rozwiązujemy nierówność, pamiętając o dziedzinie. Często okazuje się przydatne wykorzystanie własności:
    1.  \frac{a}{b}>0 \iff ab>0
    2.  \frac{a}{b}<0 \iff ab<0
  4. Udzielamy odpowiedzi.

Czasami może okazać się pomocne obustronne pomnożenie nierówności przez  x^k , gdzie k jest liczbą parzystą. Nie spowoduje to problemów, ponieważ  x^k zawsze będzie nieujemne, a w związku z tym znak wyrażeń po obu stronach nierówności nie może ulec zmianie.

Przykład 1

Chcemy rozwiązać nierówność  x^{-4}>x^{-3} .

Możemy to zrobić w standardowy sposób:

  1. Ustalamy dziedzinę, wykonując pewne przekształcenia, które nam to ułatwią:
     x^{-4}>x^{-3},~D=\mathbb{R} \backslash \{0\}
     \frac{1}{x^4}>\frac{1}{x^3}
  2. Przenosimy wszystko na lewą stronę:
     \frac{1}{x^4}-\frac{1}{x^3}>0
  3. Sprowadzamy do wspólnego mianownika:
     \frac{1}{x^4}-\frac{x}{x^4}>0
     \frac{1-x}{x^4}>0 \iff x^4(1-x)>0
     -x^4(x-1)>0
  4. Otrzymujemy dwa miejsca zerowe:
     x_1=0 o krotności 4
     x_2=1 o krotności 1
    Matematyka dla liceum-nierpot-wykr1.png
  5. Rozwiązaniem nierówności jest  x \in (-\infty;0) \cup (0;1)

Nierówność  x^{-4}>x^{-3} możemy także rozwiązać (po uprzednim ustaleniu dziedziny  D=\mathbb{R} \backslash \{0\}) wymnażając obie strony przez  x^4 , ponieważ x^4 > 0 dla każdego x różnego od 0. Otrzymalibyśmy wtedy:

 \frac{1}{x^4}>\frac{1}{x^3}  / \sdot x^4
 1>x

Uwzględniając dziedzinę  D = \mathbb{R} \backslash \{0\} otrzymujemy, że  x \in (-\infty;0) \cup (0;1) . Jak widać w tym przypadku drugi sposób okazał się o wiele łatwiejszy.

Trzeba dodać, że nie moglibyśmy wymnożyć przez np. x^5 (wykładnik nieparzysty), ponieważ  x^5 może przyjąć wartość ujemną. A pamiętamy, że jeśli nierówność wymnażamy przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak na przeciwny. Wymnażając przez  x^5 nie jesteśmy w stanie stwierdzić, czy liczba ta jest ujemna, dodatnia, czy może jest zerem, zatem nie jesteśmy w stanie stwierdzić, czy musimy zmienić znak na przeciwny bez tworzenia dodatkowych założeń.

Dodajmy także, że jeśli wymnażamy obustronnie nierówność (czy nawet równanie) przez  x^4 (czy inne potęgi) musimy sprawdzić jeden przypadek zdegenerowany -- co będzie gdy x^4 = 0, czyli gdy x = 0. Musimy to zrobić, ponieważ jeśli dowolną nierówność wymnożymy obustronnie przez 0 obie strony nierówności się zerują np.  x+5 \geq 10 przechodzi na  0 \geq 0 (zawsze prawdziwe). Zatem musimy sprawdzić dwa przypadki -- czy liczba x = 0 spełnia niewymnożoną nierówność (w ten sposób pomijamy sytuację, gdy x^4=0), a także która z liczb  x \neq 0 spełnia wymnożoną nierówność (wtedy  x^4 \neq 0). Następnie sumujemy oba zbiory rozwiązań.

Na szczęście w powyższym przykładzie  D = \mathbb{R} \backslash \{0\} , czyli x nigdy nie będzie równy 0 i ten zdegenerowany przypadek nas nie dotyczy.


Funkcja wykładnicza[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Funkcja wykładnicza jest to funkcja określona wzorem  f(x)=a^x dla  a>0 i  a \neq 1 .


Przykładem funkcji wykładniczej może być:

  •  y=2^x
  •  y=\left(2\frac{1}{2}\right)^x
  •  y=10^{2x} , co jest równoznaczne  y=(10^2)^x=100^x

Wykres i własności[edytuj]

Matematyka dla liceum-Funwyk-wykr.png Matematyka dla liceum-Funwyk-wykr2.png

Patrząc na funkcję  y=2^x i  y=\left(\frac{1}{2}\right)^x (kolor czerwony) wydaje nam się, że są one symetryczne względem osi OY. Podobnie jest z funkcjami  y=3^x i  y=\left(\frac{1}{3}\right)^x (kolor granatowy), a także  y=\left(\frac{3}{2}\right)^x i  y=\left(\frac{2}{3}\right)^x (kolor zielony). Możemy przypuszczać, że wykresy  f(x)=a^x , a także g(x)=\left(\frac{1}{a}\right)^x są symetryczne względem osi OY i rzeczywiście tak jest:  f(x)=a^x=(a^{-1})^{-x}=\left(\frac{1}{a}\right)^{-x}=g(-x) .

Własności:

  1.  D = R
  2.  ZW = R_+ , czyli  a^x > 0
  3. Wykres funkcji  y=a^x  jest symetryczny względem osi OY do wykresu funkcji  y=\left(\frac{1}{a}\right)^x
  4. Funkcja nie posiada miejsc zerowych
  5. Funkcja przecina oś OY w punkcie  (0;1) , ponieważ  \forall_{a \neq 0}\ a^0 = 1
  6. Funkcja jest różnowartościowa
  7. Dla  a \in (1; +\infty) funkcja jest rosnąca
  8. Dla  a \in (0; 1) funkcja jest malejąca


Rozwiązywanie równań wykładniczych[edytuj]


Przykładami równań wykładniczych mogą być:  3^x=27
 \left(2\frac{1}{5}\right)^{x-2}=15
 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}x}=2^{x+2}
 2^{2x}-5 \sdot 2^x-10=0

Schemat rozwiązywania równań wygląda tak:

  1. Ustalamy dziedzinę.
  2. Sprowadzamy równanie, aby miało takie same podstawy lub sprowadzamy je do równania kwadratowego albo jeszcze do innego równania, tworząc przy tym odpowiednie założenia. Z równości podstaw wynika równość wykładników.
  3. Rozwiązujemy równanie.
  4. Sprawdzamy, czy rozwiązania przekształconych równań spełniają nasze założenie.
  5. Podajemy odpowiedź.


Przykład 1

Chcemy rozwiązać równanie  \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}x-1}=16^{x+3} , możemy to zrobić w ten sposób:

  1. Ustalamy dziedzinę:
     \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}x-1}=16^{x+3},~D=\mathbb{R}
  2. Sprowadzamy do tej samej podstawy:
  3.  
\begin{align}
    (4^{-1})^{\frac{1}{2}x-1}&=(4^2)^{x+3}\\
    4^{-\frac{1}{2}x+1}&=4^{2x+6} 
\end{align}
  4. Z równości potęg wynika równość wykładników:
  5. 
\begin{align}
-\frac{1}{2}x+1&=2x+6\\
-2\frac{1}{2}x&=5\quad\Big/:(-2\frac{1}{2})\\
x&=-2,~\in D 
\end{align}
  6. Zatem rozwiązaniem równania jest -2.
  7. Możemy sprawdzić rozwiązanie:
  8.  L=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}x-1}=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}(-2)-1}=
\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}=16
     P=16^{x+3}=16^{-2+3}=16 \
    Zatem  L=P \

Przykład 2

Jeśli chcemy rozwiązać równanie  2^x+2^{7-x}=24 \!, możemy to zrobić w ten sposób:

  1. Ustalamy dziedzinę i przekształcamy równanie:
  2.  2^x+2^{7-x}=24 ,~D=\mathbb{R}
  3.  2^x+\frac{2^7}{2^x}=24
  4. Podstawiamy  2^x=t, t \in \mathbb{R}_+
  5.  t+\frac{128}{t}=24  / \sdot t
  6.  t^2-24t+128=0 \
  7. Otrzymujemy:
  8. t_1=8=2^3,~\in \mathbb{R}_+
  9. t_2=16=2^4,~\in \mathbb{R}_+
  10. Ponieważ  2^x=t \ :
  11. 2^x=t_1\ lub 2^x=t_2\
  12. 2^x=2^3\ lub 2^x=2^4\
  13. x=3\ lub x=4\
  14. Liczby 3 i 4 są rozwiązaniami tego równania.

Rozwiązywanie nierówności wykładniczych[edytuj]

Przykładami nierówności wykładniczych są:

 2^x > \left(\frac{1}{2}\right)^{2-x\frac{1}{2}}
 3^{x^2-2}<3\sqrt{3}
 \left(\frac{1}{9}\right)^x>3^{4-\frac{1}{2}x}

W celu rozwiązania nierówności wykładniczej należy:

  1. Ustalić dziedzinę
  2. Sprowadzić obie strony do tych samych podstaw albo przekształcić do innego równania, które potrafimy rozwiązać.
  3. Wykorzystujemy własności funkcji wykładniczej, przekształcając odpowiednio równanie:
    dla  a \in (1;+\infty)
     a^n>a^m \iff n>m
     a^n<a^m \iff n<m
    analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy”
    W skrócie: kiedy funkcja jest rosnąca znak nierówności pozostaje bez zmian.
    dla  a \in (0;1)
     a^n>a^m \iff n<m
     a^n<a^m \iff n>m
    analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy”
    W skrócie: kiedy funkcja jest malejąca znak nierówności zamieniamy na przeciwny.
  4. Rozwiązujemy otrzymane równanie.
  5. Udzielamy odpowiedzi.

Popatrzmy jeszcze raz na punkt trzeci. Wynika z niego, że jeśli mamy równanie  2^{2x-1} \geq 2^{3-x} , możemy je przekształcić na równanie  2x-1 \geq 3-x\ , ponieważ  a=2 \in (1;+\infty) . Natomiast  \left(\frac{1}{2}\right)^{2x-1} > \left(\frac{1}{2}\right)^{3-x} \iff 2x-1 < 3-x, ponieważ  a=\frac{1}{2} \in (0;1) .


Przykład 1

Chcemy rozwiązać nierówność  \left(\frac{1}{4}\right)^x>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1} . W tym celu:

  1. Ustalamy dziedzinę:
     \left(\frac{1}{4}\right)^x>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1},~D=\mathbb{R} \backslash \{-1\}
  2. Sprowadzamy do tych samych podstaw:
     \left[\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]^x>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1}
     \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1}
  3. Ponieważ  a=\frac{1}{2} , wykorzystujemy prawo  a^n>a^m \iff n<m :
     2x<\frac{2x}{x+1}
  4. Przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:
     2x-\frac{2x}{x+1}<0
     \frac{2x^2}{x+1}<0
  5. Z własności  \frac{a}{b}<0 \iff ab<0 , wynika że:
     2x^2(x+1)<0 \Rightarrow x_1=0 , krotność 2 i  x_2=-1 \! o krotności 1.
    Matematyka dla liceum-nierwyk-wykr1.png
  6. Czyli  x \in (-\infty;-1)


Logarytm[edytuj]

Pojęcie i własności logarytmu[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Logarytmem liczby dodatniej b przy podstawie a, gdzie  a \in \mathbb{R}_+ \backslash \{1\} , nazywamy wykładnik potęgi c, do której należy podnieść a, aby otrzymać b.

 \log_a b=c \iff a^c=b , dla a>0 i a \neq 1 i b > 0
a jest podstawą logarytmu
b jest liczbą logarytmowaną
c jest wartością logarytmu

Własności logarytmu:

  •  a^{\log_a b} = b
  •  \log_a 1 = 0
  •  \log_a a = 1
  •  \log_a (mn) = \log_a m + \log_a n
  •  \log_a{m \over n} = \log_a m - log_a n
  •  \log_a{n^b} = b \log_a{n}
  •  \log_a b = \frac{ \log_c b}{ \log_c a }
  • a > 1 \and \log_a b > \log_a c \iff b > c
  • a < 1 \and \log_a b > \log_a c \iff b < c
  • warto dodać, że logarytm jest funkcją ciągłą


Przykłady

\log_{10} 100 = 2
\log_{10} 10000 = 4
 100 < 1000 \quad 2 < 4
 \log_{0.1}{0.01} = 2
 \log_{0.1}{0.0001} = 4
 0.01 > 0.001 \quad 2 < 4
 \log_{10} 0.1 = -1
 \log_{10} 0.01 = -2
 0.1 > 0.01 \quad -1 > -2

Logarytm naturalny i dziesiętny[edytuj]

W praktyce najczęściej stosuje się logarytmy o podstawie 2, e oraz 10, stąd zapis:

  •  \log_{10} a = \log a - logarytm dziesiętny (alternatywnie Briggsa lub zwyczajny)
  •  \log_e a = \ln a - logarytm naturalny (którego podstawa e = \lim_{n\to\infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n = 2.71828... )
  •  \log_{2} a = \lg a
Uwaga! Uwaga!
Oznaczenia \log, \lg oraz \ln mogą mieć inne niż powyższe znaczenie w literaturze obcojęzycznej, programach komputerowych i językach programowania!

Przybliżenia[edytuj]

W obliczeniach chemicznych często przybliża się:

  •  \log_{10} 2 \approx 0.3


Funkcja logarytmiczna[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Funkcję  f(x) = \log_a x , gdzie a>0, a \neq 1 i  x>0 nazywamy funkcją logarytmiczną.

Ponadto funkcja logarytmiczna przesunięta o wektor  \vec{v} = [p; q] , także jest funkcją logarytmiczną. Funkcja ta będzie wówczas postaci  f(x) = \log_a (x-p) + q .

Przykłady funkcji logarytmicznej:

  •  f(x) = \log_{0,5} x
  •  g(x) = \log_{3} (x+2)
  •  h(x) = \log (x-5) + 20
  •  i(x) = \log_{0,2} x - 2

Wykres y=log2(x), y=log3(x).png

Najważniejsze własności funkcji  y = \log_a{x} dla  a \in (1;+\infty) :

  •  x \in \mathbb{R}_+
  •  y \in \mathbb{R}
  • funkcja jest rosnąca
  • funkcja jest różnowartościowa

Wykres y=log2^-1(x), y=log3^-1(x).png

Najważniejsze własności funkcji  y = \log_a{x} dla  a \in (0;1) :

  •  x \in \mathbb{R}_+
  •  y \in \mathbb{R}
  • funkcja jest malejąca
  • funkcja jest różnowartościowa


Rozwiązywanie równań logarytmicznych[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Równaniem logarytmicznym nazywamy równanie, w którym niewiadoma występuje jedynie w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu. Przykładami równań logarytmicznych są:

  •  \log_4 x= -2
  •  \log_{x+3} 27 = -2
  •  \log_{\frac{1}{2}} 3-x = 1

Wyznaczając rozwiązania równania logarytmicznego powinno się:

  1. Ustalić dziedzinę
  2. Rozwiązać równanie. Mogą się okazać przydatne poniższe własności logarytmów:
    •  \log_n b=x \iff b=n^x np.  \log_{\frac{1}{2}} (3-x) = 2 \iff 3-x=\left(\frac{1}{2}\right)^2
    • Z równości logarytmów o tych samych podstawach wynika równość liczb logarytmowanych np.  \log_3 (x+3)=\log_3 (x^2+1) \iff x+3=x^2+1 , ze względu na to, że funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa.
  3. Podać odpowiedź.

Przykład 1

Rozwiążmy równanie  \log_2 x = 5 .

  1. Ustalamy dziedzinę:  x \in \mathbb{R}_+
  2. Własność  \log_n b=x \iff b=n^x sprawdzi się w tym przypadku. Otrzymamy
     \log_2 x = 5 \iff x = 2^5 = 32
  3. Odp.  x = 32


Przykład 2

Chcemy rozwiązać równanie  \log_3(4-\frac{1}{5}x)=2 . Możemy to zrobić w ten sposób:

  1. Ustalamy dziedzinę:
     4-\frac{1}{5}x>0 \iff -\frac{1}{5}x>-4 \iff x<20
    Zatem mamy równanie  \log_3(4-\frac{1}{5}x)=2,~D=(-\infty;20)
  2. Z własności  \log_n b=x \iff b=n^x i przekształcając odrobinę to równanie otrzymujemy:
     \log_3(4-\frac{1}{5}x)=2 \iff 4-\frac{1}{5}x=3^2
     -\frac{1}{5}x=5
     x=-25,~\in D
  3. Czyli rozwiązaniem tego równania jest -25.

Przykład 3

Rozwiążemy równanie  \log_5 {x^2} = 3 .

  1. Ustalamy dziedzinę:
    Liczba logarytmowana musi być większa od 0, dlatego zakładamy, że  x^2 > 0 \iff x \neq 0 . Zatem  D = \mathbb{R} \backslash \{0\} .
  2.  \log_5 {x^2} = 3 \iff x^2 = 5^3 = 125
  3. I znajdujemy pierwiastki równania:
     x^2 - 125 = 0
     (x - 5\sqrt{5})(x + 5\sqrt{5}) = 0
    czyli  x_1 = 5\sqrt{5} \in D i  x_2 = -5\sqrt{5} \in D
  4. Odp.  x \in \{-5\sqrt{5}; 5\sqrt{5}\}

Przykład 4

Rozwiążmy równanie  \log^2_2 x  - 10 \log_2 x +16 = 0 . (Pamiętamy, że  \log^2_2 x = (\log_2 x)^2 , a nie  \log_2 (x^2) .)

  1. Ustalamy dziedzinę:  D = \mathbb{R}_+
  2. Podstawiamy zmienną pomocniczą  t = \log_2 x do równania  \log^2_2 x  - 10 \log_2 x + 16 i otrzymujemy:
     t^2 - 10t + 16
  3.  \Delta = 10^2 - 4 \cdot 16 = 36 ,  \sqrt{\Delta} = 6 .
  4.  t_1 = \frac{10-6}{2} = 2 ,  t_2 = \frac{10+6}{2} = 8
  5. Ponieważ  t = \log_2 x , więc:
     \log_2 x = t_1 = 2
     x = 2^2 = 4 \in D
    lub  \log_2 x = t_2 = 8
     x = 2^8 = 256 \in D
  6. Odp.  x \in \{4;256\}

Przykład 5

Spróbujmy rozwiązać równanie  \log_2 x - \log_4 x = 3 .

  1. Ustalamy dziedzinę:  D = \mathbb{R}_+
  2. Obydwa logarytmy musimy sprowadzić do wspólnej podstawy. W tym celu wykorzystujemy wzór 
\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} .  \log_4 x możemy zapisać jako 
\frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2} . Zatem nasze równanie przybierze postać:
     \log_2 x - \frac{\log_2 x}{2} = 3
     \frac{\log_2 x}{2} = 3
    Obustronnie mnożymy przez 2:
     \log_2 x = 6
     x = 2^6 = 64
  3. Odp.  x = 64

Przykład 6

Rozwiążmy równanie  2\log_3 (x-3) - \log_\frac{1}{9} (x-3) = 5

  1. Ustalamy dziedzinę:  D = (3; +\infty)
  2. Obydwa logarytmy podobnie jak w poprzednim przykładzie sprowadzamy do wspólnej podstawy otrzymując:
     2\log_3 (x-3) - \frac{\log_3 (x-3)}{\log_3 \frac{1}{9}} = 5
     2\log_3 (x-3) - \frac{\log_3 (x-3)}{-2} = 5
     \frac{5}{2}\log_3 (x-3) = 5
  3. Teraz obustronnie dzielimy przez  \frac{5}{2} i mamy:
     \log_3 (x-3) = 2
  4.  x-3 = 3^2 = 9 \implies x = 12
  5. Odp.  x = 12

Przykład 7

Rozwiążmy równanie  2\log_{x-3} 3 = 2 .

  1. Ustalamy dziedzinę pamiętając, że podstawa logarytmu musi należeć do sumy przedziałów (0;1) \cup (1;+\infty):
     x-3 \in (0;1) \cup (1;+\infty)
    czyli  D = (3;4) \cup (4;+\infty)
  2. Skorzystamy z własności  k\log_a x = \log_a x^k :
     2\log_{x-3} 3 = 2 \iff \log_{x-3} 3^2 = 2
    zatem  \log_{x-3} 9 = 2
  3. Ostatecznie otrzymujemy równanie kwadratowe:
     9 = (x-3)^2
     9 = x^2-6x+9
     x(x-6) = 0
    Otrzymujemy:  x_1 = 0 \not\in D i  x_2 = 6 \in D
  4. Odp.  x = 6


Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Nierównością logarytmiczną nazywamy nierówność, w której niewiadoma występuje jedynie w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu. Przykładami nierówności logarytmicznych są:

  •  \log x > 5
  •  \log_2 (x^2+1) \leq 3
  •  \log_{x+1} 4 < 4

Ze względu na to, że funkcja logarytmiczna jest malejąca dla podstawy należącej do przedziału (0;1), dlatego przy pozbywaniu się logarytmu z nierówności należy zmienić znak na przeciwny. Natomiast dla podstawy zawierającej się w (1;+\infty) zostawiamy znak taki, jaki był. Zresztą zaraz zobaczymy to na przykładach.

Przykład 1

Rozwiążmy nierówność  \log_3 x >4 .

  1. Ustalamy dziedzinę:  x \in \mathbb{R}_+
  2. Ponieważ podstawa logarytmu jest większa od 1, więc nie zmieniamy znaku na przeciwny, zatem:
     \log_3 x >4 \iff x > 3^4
     x > 81
  3. Znajdujemy cześć wspólną rozwiązania z dziedziną, czyli:
     (x \in (81;+\infty) \and x \in (0;+\infty)) \iff x \in (81;+\infty)
  4. Odp.  x \in (81;+\infty)

Przykład 2

Rozwiążmy nierówność  \log_{0{,}5} (x^2) < 4

  1. Ustalamy dziedzinę:
     x^2 > 0 \iff x \neq 0 , czyli:
     D = \mathbb{R} \backslash \{0\}
  2. Podstawa logarytmu (czyli 0{,}5)zawiera się w przedziale (0;1), więc musimy zmienić znak nierówności na przeciwny:
     \log_{0{,}5} (x^2) < 4 \iff x^2 > (0{,}5)^4 i otrzymujemy, że:
     x^2 - (0{,}5)^4 > 0 \iff x^2 - (0{,}25)^2 > 0 \iff (x - 0{,}25)(x + 0{,}25) > 0
    czyli  x \in (-\infty;-0{,}25) \cup (0{,}25, +\infty)
  3. Teraz znajdujemy część wspólną tego rozwiązania z dziedziną, czyli:
     x \in ((-\infty;-0{,}25) \cup (0{,}25, +\infty)) \cap (\mathbb{R} \backslash \{0\}) \iff x \in (-\infty;-0{,}25) \cup (0{,}25, +\infty)
    Odp.  x \in (-\infty;-0{,}25) \cup (0{,}25, +\infty)

Przykład 3

Zajmijmy się teraz taką nierównością  \log_\frac{1}{3} x^2 \leq 4 :

  1.  D = R \backslash \{0\}
  2.  \log_\frac{1}{3} x^2 \leq 4 \iff x^2 \geq \left(\frac{1}{3}\right)^4 , ponieważ podstawa jest mniejsza od 1
  3.  x^2 - \left(\frac{1}{3}\right)^4 \geq 0
  4.  \left(x - \frac{1}{9}\right)\left(x + \frac{1}{9}\right) \geq 0
  5. Czyli  x \in \left(-\infty;-\frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac{1}{9};+\infty\right)
  6. Biorąc część wspólną z dziedziną otrzymujemy, że  x \in \left(-\infty;-\frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac{1}{9};+\infty\right)
  7. Odp.  x \in \left(-\infty;-\frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac{1}{9};+\infty\right)

Przykład 4

Rozwiążmy nierówność \log_{3x-3} 16 < 2:

  1. Ustalamy dziedzinę:
    Ponieważ podstawa logarytmu musi należeć do zbioru (0;1) \cup (1;+\infty), więc będzie także w tym przypadku. Mamy:
    (3x-3) \in (0;1) \cup (1;+\infty)
    czyli  D = \left(1;\frac{4}{3}\right) \cup \left(\frac{4}{3};+\infty\right)
  2. Teraz musimy rozważyć dwa przypadki, co będzie, gdy  
x \in \left(1;\frac{4}{3}\right)
i gdy 
x \in \left(\frac{4}{3};+\infty\right)
, ponieważ w pierwszym przypadku będziemy musimy zmienić znak nierówności na przeciwny, a w drugim nie.
    • dla  x \in \left(1;\frac{4}{3}\right)
      \log_{3x-3} 16 < 2 \iff 16 > (3x-3)^2 \iff (3x-3)^2-16 < 0 , tu możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:
       (3x-3-4)(3x-3+4) < 0 \iff 3\left(x-\frac{7}{3}\right) \cdot 3\left(x+\frac{1}{3}\right) < 0
      czyli  x \in \left(-\frac{1}{3};\frac{7}{3}\right) , a także  
x \in \left(1;\frac{4}{3}\right) (z założenia)
      czyli  x \in \left(1;\frac{4}{3}\right)
    • dla  x \in \left(\frac{4}{3};+\infty\right)
      \log_{3x-3} 16 < 2 \iff 16 < (3x-3)^2 \iff 3\left(x-\frac{7}{3}\right) \cdot 3\left(x+\frac{1}{3}\right) > 0
      czyli  x \in \left(-\infty;-\frac{1}{3}\right) \cup \left(\frac{7}{3}; +\infty\right) i  x \in \left(\frac{4}{3};+\infty\right)
      czyli  x \in \left(\frac{7}{3}; +\infty\right)
  3. Ostatecznie podsumowując te dwa przypadki otrzymujemy, że 
x \in \left(1;\frac{4}{3}\right) \cup \left(\frac{7}{3}; +\infty\right)
  4. Odp. 
x \in \left(1;\frac{4}{3}\right) \cup \left(\frac{7}{3}; +\infty\right)


Podsumowanie[edytuj]

Po zapoznaniu się z tym rozdziałem, powinieneś umieć na poziomie rozszerzonym:

  • Porównywać potęgi o wykładnikach rzeczywistych i stosować ich własności do przekształcania wyrażeń.
  • Posługiwać się własnościami funkcji wykładniczych i logarytmicznych, a także szkicować ich wykres.
  • Rozwiązywać proste równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne, a także rozwiązywać układy takich równań i nierówności.


Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Zadania z rozwiązaniami Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Ćwiczenia