Metody matematyczne fizyki

Książka wymaga poprawek językowych i stylistycznych.

Metody matematyczne fizyki

Mirosław Makowiecki

---

SPIS RZECZY

Działania na wektorach 

 1

Rachunek tensorowy 

 2

Układ współrzędnych 

 3

Obrót układu współrzędnych 

 4

Całki i funkcje Eulera 

 5

Kula zanurzona w przestrzeni n-wymiarowej 

 6

Operatory różniczkowe 

 7

Wprowadzenie do funkcji zespolonej 

 8

Wprowadzenie do wielomianów ortogonalnych 

 9

Funkcje sferyczne w matematyce 

 10

Funkcje Bessela 

 11

Dystrybucje jako funkcje uogólnione 

 12

Szeregi Fouriera 

 13

Wstęp do transformacji Fouriera 

 14

Wprowadzenie do teorii operatorów liniowych 

 15

Grupy i ich reprezentacje 

 16

Rachunek wariacyjny 

 17

Transformacja Laplace'a 

 18

Równania różnicowe liniowe 

 19

Funkcje Greena 

 20

Metody matematyczne fizyki jest to dział matematyki zajmujący się rozwiązywaniem problemów fizycznych fizyki teoretycznej. Jest to teoria o polach wektorowych i skalarnych, na które działamy pewnymi operacjami różniczkowymi. Zajmuje się funkcjami zespolonymi, funkcjami Eulera, funkcjami sferycznymi, funkcjami Bessela, dystrybucjami, transformatami Fouriera i na samym końcu szeregami Fouriera i operatorami różniczkowymi.

Spis treści

Działania na wektorach

• 1Układ współrzędnych
• 2Definicja wektora
• 3Dodawanie i odejmowanie wektorów
• 4Norma wektora
• 5Iloczyn skalarny
• 6Iloczyn wektorowy
  • 6.1Długość wyniku iloczynu wektorowego
• 7Iloczyn mieszany
• 8Właściwości podwójnego iloczynu wektorowego
• 9Symbole Leviego-Civity w iloczynie wektorowym
• 10Zależność symbolu Leviego-Civity z deltami Kroneckera

Rachunek tensorowy

• 1Konwencja Einsteina
• 2Tensor kowariantny
• 3Tensor kontrawariantny
• 4Definicja prostego tensora metrycznego
• 5Definicja odwrotnego tensora metrycznego
• 6Wykorzystanie tensora metrycznego prostego lub odwrotnego w działaniach na zwykłych tensorach
• 7Właściwości tensora metrycznego kowariantno-kontrwariantnego
• 8Baza krzywoliniowa, a tensor metryczny
• 9Definicja symboli Christoffela
• 10Pochodna kowariantna współrzędnej kontrawariantnej
• 11Pochodna kowariantna wielkości współrzędnej kontrawariantnej
• 12Pochodna tensorowa iloczynu tensorów
• 13Właściwości przemienne kolejności wskaźników symboli Christoffela
• 14Uogólnienie tensora absolutnego
• 15Pochodna kowariantna wielkości o współrzędnych kowariantnych i kontrawariantnych
• 16Własności tensora metrycznego
• 17Wyznaczanie symboli Christoffela
• 18Tensor Riemanna-Christoffela dla tensorów kontrawariantnych
• 19Tensor Riemanna-Christoffela dla tensorów kowariantnych
• 20Tensor Riemanna-Christoffela (tensor krzywizny) zdefiniowany przy pomocy tensorów metrycznych
• 21Tensorowy charakter tensora krzywizny
• 22Właściwości tensora krzywizny
• 23Tożsamość Bianchiego
• 24Tensor Ricciego
• 25Skalar Ricciego

Układ współrzędnych

• 1Układ kartezjański
  • 1.1Współrzędne
  • 1.2Podział płaszczyzny
  • 1.3Skrętność trójwymiarowego układu współrzędnych
• 2Układ cylindryczny
  • 2.1Przejście do układu współrzędnych kartezjańskiego
    • 2.1.1Jakobian przejścia
• 3Układ sferyczny
  • 3.1Przejście do układu współrzędnych kartezjańskich trójwymiarowej
  • 3.2Jakobian przejścia

Obrót układu współrzędnych

• 1Obrót punktu wokół osi z
• 2Obrót układu współrzędnych wokół osi z
• 3Kąty Eulera
  • 3.1Definicja

Całki i funkcje Eulera

• 1Całka Eulera pierwszego rodzaju
• 2Inne przestawienie analityczne całki Eulera B(a,b)
• 3Całka Eulera drugiego rodzaju
• 4Ciągłość funkcji Γ'(a) jako pochodnej całki Eulera drugiego rodzaju
• 5Postać rekurencyjna funkcji Γ(x)
• 6Granica górna funkcji Γ(a) dla a nieskończonego
• 7Związek pomiędzy funkcjami B(a,b) i Γ(a)
• 8Wzór na dopełnienie w tożsamości pomiędzy Γ(a) i Γ(1-a), a B(a,1-a)
• 9Wzór Stirlinga

Kula zanurzona w przestrzeni n-wymiarowej

• 1Równanie kuli
• 2Objętość kuli w n-wymiarowej przestrzeni
  • 2.1Zestawienie wzorów na objętość dla kuli s-wymiarowej
  • 2.2Pole powierzchni sfery w n-wymiarowej przestrzeni

Operatory różniczkowe

• 1Operator Nabla
• 2Baza ortogonalna we współrzędnych uogólnionych
• 3Operator Nabla we współrzędnych uogólnionych
• 4Operator ∇ we współrzędnych cylindrycznych i kulistych
  • 4.1Operator Nabla we współrzędnych cylindrycznych
  • 4.2Operator Nabla we współrzędnych kulistych
• 5Operator Δ
• 6Operator Δ we współrzędnych uogólnionych
• 7Operator Δ w układzie cylindrycznym i kulistym
  • 7.1Operator Δ we współrzędnych cylindrycznych
  • 7.2Operator Δ we współrzędnych kulistych
• 8Rotacja we współrzędnych kartezjańskich, cylindrycznych i kulistych
  • 8.1Rotacja we współrzędnych kartezjańskiej
  • 8.2Rotacja we współrzędnych cylindrycznych
  • 8.3Rotacja we współrzędnych kulistej
• 9Pochodne iloczynów
  • 9.1Tożsamość pierwsza
  • 9.2Tożsamość druga
  • 9.3Tożsamość trzecia
  • 9.4Tożsamości czwarta
  • 9.5Tożsamość piąta
• 10Twierdzenia całkowe
  • 10.1Twierdzenie dla gradientów
  • 10.2Twierdzenie Gaussa (tzn. twierdzenie dywergencji)
  • 10.3Twierdzenie Stokesa (tj. dla rotacji)

Wprowadzenie do funkcji zespolonej

• 1Przestawienie algebraiczne liczb zespolonych
• 2Płaszczyzna zespolona
• 3Przestawienie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej i eksponencjalnej
  • 3.1Przestawienie trygonometryczne
  • 3.2Przestawienie eksponencjalne liczby zespolonej
• 4Operacje różniczkowania na funkcjach zespolonych a funkcje holomorficzne
• 5Całkowanie we przestrzeni funkcji zespolonych
• 6Wyprowadzenie wzoru całkowego Cauchy'ego
• 7Definicja szeregu Laurenta i wyznaczenie czynników w tym szeregu
• 8Zastosowanie definicji residuum funkcji
• 9Wyznaczanie residuum funkcji
• 10Dalszy ciąg badania funkcji holomorficznych

Wprowadzenie do wielomianów ortogonalnych

• 1Definicje ortogonalności wielomianów Q_n
• 2Wstęp do własności wielomianów ortogonalnych
• 3Wielomiany ortogonalne jako rozwiązania pewnych równań różniczkowych
• 4Wzór Rodrigues'a
• 5Wielomiany Legendre'a
• 6Wielomiany Hermite'a
• 7Wielomiany Laguerre'a
• 8Wielomian Czebyszewa
• 9Definicja normy wielomianów ortogonalnych
  • 9.1Norma dla wielomianu Legendre'a
  • 9.2Norma dla wielomianu Hermite'a
  • 9.3Norma dla wielomianu Laguerre'a
  • 9.4Norma dla wielomianu Czebyszewa
• 10Związki rekurencyjne dla wielomianów ortogonalnych
• 11Wielomiany ortogonalne, a jego funkcje tworzące
  • 11.1Funkcje tworzące dla wielomianów Legendre'a
  • 11.2Funkcje tworzące dla wielomianów Hermite'a
  • 11.3Funkcje tworzące dla wielomianu Laguerre'a

Funkcje sferyczne w matematyce

• 1Równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem są funkcje sferyczne
• 2Funkcje sferyczne, a jego ortogonalność
• 3Normowanie funkcji sferycznych

Funkcje Bessela

• 1Równanie różniczkowe Bessela i jego rozwiązania
• 2Funkcje Bessela o indeksie całkowitym i jego funkcja tworząca
• 3Funkcje Bessela z indeksem i jego przestawienie całkowe
• 4Funkcje Bessela o wskaźniku równym 1/2
• 5Funkcje Bessela jako rozwiązania wzorów rekurencyjnych
• 6Jak się zachowuje funkcja Bessela w pobliżu punktu x=0
• 7Asymptotyczne zachowania się funkcji Bessela ze wskaźnikiem ułamkowym
• 8Funkcje Neumanna i Hankela a ich powiązanie z funkcjami Bessela
• 9Wprowadzenie do sferycznych funkcji Bessela
• 10Wzór Rayleigha, czyli rozwinięcie funkcji fali płaskiej w funkcjach kulistych
• 11Wprowadzenie specyficznego wzoru na ortogonalizację funkcji Bessela

Dystrybucje jako funkcje uogólnione

• 1Wprowadzenie do teorii funkcji próbnych w teorii dystrybucji
• 2Ciągłość funkcji próbnych w teorii dystrybucji
• 3Matematyczna definicja funkcji próbnej w teorii dystrybucji
• 4Przykłady dystrybucji
• 5Ciągi zależne od delty ε i zbieżne do pewnej funkcji f(x) przy ε dążącej do zera
• 6Mnożenie dystrybucji przez dowolną funkcję o ograniczonym nośniku
• 7Różniczkowanie funkcji uogólnionych
• 8Pochodna uogólniona trzech zmiennych i wykorzystanie w tym celu definicji Laplasjanu
• 9Sploty funkcji uogólnionych
• 10Iloczyn funkcyjny delty Diraca z pewną ściśle określoną funkcją
• 11Przykład funkcji (delty) Diraca
• 12Funkcja Heaviside'a

Szeregi Fouriera

• 1Funkcje uogólnione periodyczne i funkcje próbne w teorii dystrybucji
• 2Określenie współczynników Fouriera względem dystrybuanty T
• 3Definicja szeregu Fouriera
• 4Twierdzenie Bessela-Parsevala
• 5Rozwinięcie dowolnej funkcji w szereg sinusów i cosinusów
  • 5.1Ostateczny wzór na szereg Fouriera i jego współczynniki Fouriera
• 6Policzalny postęp Fouriera

Wstęp do transformacji Fouriera

• 1Definicja prostej i odwrotnej transformaty Fouriera dla dowolnej funkcji
• 2n-te pochodne transformaty Fouriera
• 3Transformaty pochodnej i jego wykorzystanie w równaniach różniczkowych
• 4Transformata Fouriera iloczynu dwóch funkcji
• 5Transformacja Fouriera dla splotu dwóch funkcji
• 6Transformata Fouriera iloczynu skalarnego
• 7Transformacja Fouriera funkcji przesuniętej
• 8Transformata Fouriera funkcji parzystej i nieparzystej
• 9Transformata Fouriera dla dystrybucji
• 10Transformata Fouriera delty Diraca
• 11Transformata Fouriera funkcji stałej
• 12Transformata Fouriera dystrybucji przesuniętej
• 13Transformata Fouriera dla potęgi
• 14Transformata Fouriera funkcji sinus
• 15Transformata Fouriera funkcji schodkowej

Wprowadzenie do teorii operatorów liniowych

• 1Iloczyn operatorowy
• 2Funkcja, w której argumentem jest pewien operator
• 3Wprowadzenie do teorii komutacji i antykomutacji dwóch operatorów
• 4Definicja operatora sprzężonego
• 5Iloczyn operatora i pewnego parametru, a tego sprzężenie
• 6Definicja operatora hermitowskiego, czyli operatora samo-sprzężonego
• 7Definicja operatora odwrotnego
• 8Definicja operatora unitarnego
• 9Elementy macierzowe operatora
• 10Definicja śladu operatora
• 11Równanie własne, wektory i wartości własne operatora
• 12Operatory hermitowskie w zagadnieniu własnym

Grupy i ich reprezentacje

• 1Warunki jakie musi spełniać para (G,⋅), by być grupą
• 2Grupy permutacji
• 3Grupa obrotów w przestrzeni trójwymiarowej
• 4Translacje, inwersje i odbicia
• 5Definicje grupy cyklicznych, a także definicje podgrup i klas
• 6Grupy symetrii na podstawie molekuły wody
• 7Podziały grup na klasy
• 8Reprezentacji struktur, które są grupami
  • 8.1Grupa symetrii wody
  • 8.2Grupa symetrii amoniaku
• 9Wstęp do reprezentacji równoważnej
• 10Wstęp do reprezentacji przywiedlnych
• 11Właściwości komutacyjne dla reprezentacji nieprzywiedlnej
• 12Dowód lematu Schura
• 13Pełne przedstawienie twierdzenia o ortogonalności
• 14Reprezentacje i jego charaktery
• 15Ortogonalna właściwość charakterów
• 16Reprezentacje przywiedlne i jego charaktery
• 17Kryterium nieprzywiedlności reprezentacji
• 18Charaktery grup przemiennych i jego reprezentacje
• 19Definicja iloczynu reprezentacji

Rachunek wariacyjny

• 1Wariacje funkcji i funkcjonału
• 2Ekstremum funkcjonału
• 3Równanie Eulera-Lagrange'a
• 4Ekstremum funkcjonału po ustaleniu wiezów na stawiany układ

Transformacja Laplace'a

• 1Definicja transformaty prostej Laplace'a
• 2Przykłady transformat Laplace'a
• 3Transformacja odwrotna
• 4Transformata Laplace'a pochodnej
• 5Transformata Laplace'a całki z oryginału
• 6Transformata funkcji przesuniętej
• 7Transformata funkcji f(at) dla a>0

Równania różnicowe liniowe

• 1Równania różnicowe liniowe pierwszego rzędu
• 2Równania jednorodne różnicowe rzędu drugiego

Funkcje Greena

• 1Problem funkcji Greena dla oscylatora harmonicznego
• 2Definicja operatorowej funkcji Greena
• 3Rachunek zaburzeń dla funkcji Greena
• 4Rachunek zaburzeń dla stacjonarnego równania Schrödingera
• 5Związek funkcji gęstości stanów z funkcjami Greena

Bibliografia

• Bibliografia

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.