Metody matematyczne fizyki/Układ współrzędnych

Metody matematyczne fizyki

Metody matematyczne fizyki

Omówimy tutaj trzy rodzaje układów współrzędnych, tzn. układ kartezjański, cylindryczny i sferyczny.

Układ kartezjański

Dwuwymiarowy układ współrzędnych kartezjańskich

Układem współrzędnych kartezjańskich, nazywamy taki układ współrzędnych, w których zadany jest punkt zwany początkiem układu współrzędnych. W punkcie tym wszystkie wspòłrzędne są równe zero.

Współrzędne

W układzie współrzędnych kartezjańskich trzy pierwsze osie, nazywamy:

• oś x: odcięta
• oś y: rzędna
• oś z: kota

Prostokatny układ współrzędny jest to układ, której współrzędne danego punktu powstają poprzez prostokatny rzut jego na poszczególne osie układu.

Podział płaszczyzny

Kartezjański układ współrzędnych $(x,y)$ w dwóch wymiarach dzieli płaszczyznę na cztery części tzw. ćwiartki:

• I ćwiartka – $\left\{(x,\; y): x>0, \; y>0\right\}$,
• II ćwiartka – $\left\{(x,\; y): x<0, \; y>0\right\}$,
• III ćwiartka – $\left\{(x,\; y): x<0, \; y<0\right\}$,
• IV ćwiartka – $\left\{(x,\; y): x>0, \; y<0\right\}$.

Skrętność trójwymiarowego układu współrzędnych

Każdy układ kartezjański w przestrzeni trójwymiarowej może być lewoskrętny lub prawoskrętny. Według reguły prawej dłoni, jeśli obracamy prawą dłoń od OX do OY, to taki układ nazywamy prawoskrętny.

Układ cylindryczny

Walcowy układ współrzędnych

Walcowym (cylindrycznym) układem współrzędnych jest to układ współrzędnych w trójwymiarowym układzie współrzędnych. Każdy punkt w przestrzeni zapisuje się za pomocą trójki współrzędnych$(\rho,\phi,z)\;$, gdzie poszczególne współrzędne wyrażają się w postaci:

$\rho$: jest to odległość układ współrzędnych od jego początku.

$\phi$ jest to kąt rzutu jaki tworzy rzut wektora wodzącego z osią OX.

$z$ jest to odległość rzutu punktu na oś OZ od początku układu współrzędnych.

Przejście do układu współrzędnych kartezjańskiego

Wzory transformujące współrzędne kuliste φ i ρ i z^' w układzie współrzędnych kartezjańskich walcowatych przedstawiamy wedle sposobu:

$x=\rho\cos\phi\;$ (3.1)

$y=\rho\sin\phi\;$ (3.2)

$z=z'\;$ (3.3)

Jakobian przejścia

Wyznaczmy Jakobian przejścia z układu o współrzędnych kartezjańkich do walcowatych:

${{D(x,y,z)}\over{D(\rho,\phi,z')}}=\begin{vmatrix} {{\partial x}\over{\partial \rho}}&{{\partial x}\over{\partial \phi}}&{{\partial x}\over{\partial \phi}}\\ {{\partial y}\over{\partial \rho}}&{{\partial y}\over{\partial \phi}}&{{\partial y}\over{\partial \phi}}\\ {{\partial z}\over{\partial \rho}}&{{\partial z}\over{\partial \phi}}&{{\partial z}\over{\partial \phi}} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \cos\phi&-\rho\sin\phi&0\\ \sin\phi&\rho\cos\phi&0\\ 0&0&1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \cos\phi&-\rho\sin\phi\\ \sin\phi&\rho\cos\phi \end{vmatrix}=$ $=\rho\cos^2\phi+\rho\sin^2\phi=\rho(\cos^2\phi+\sin^2\phi)=\rho\;$

(3.4)

Przepiszmy końcowy wynik (3.4), który właśnie wyznaczyliśmy:

${{D(x,y,z)}\over{D(\rho,\phi,z')}}=\begin{vmatrix} {{\partial x}\over{\partial \rho}}&{{\partial x}\over{\partial \phi}}&{{\partial x}\over{\partial z}}\\ {{\partial y}\over{\partial \rho}}&{{\partial y}\over{\partial \phi}}&{{\partial y}\over{\partial z}}\\ {{\partial z}\over{\partial \rho}}&{{\partial z}\over{\partial \phi}}&{{\partial z}\over{\partial z'}} \end{vmatrix}=\rho$

(3.5)

Układ sferyczny

Wspólrzędne punktu w "matematycznym" systemie współrzędnych sferycznych

Dowolnemu punktowi można przepisać trójkę współrzędnych$(\rho,\theta,\phi)$

• $\rho$-promień wodzący, gdzie $\rho\geq 0$
• $\theta$ długość azymutalna ,gdzie $0\leq \theta\leq 2\pi$
• $\phi$-odległość zenitalna, gdzie $0\leq \phi\le\pi$

Przejście do układu współrzędnych kartezjańskich trójwymiarowej

Wzory transformujące współrzędne kuliste ρ i θ i φ w układzie współrzędnych kartezjańskich sferycznych do współrzędnych kartezjańskich przedstawiamy:

$x=\rho\sin\phi\cos\theta\;$ (3.6)

$y=\rho\sin\phi\sin\theta\;$ (3.7)

$z=\rho\cos\phi\;$ (3.8)

Jakobian przejścia

Wyznaczmy Jakobian przejścia z układu o współrzędnych kartezjańkich do sferycznych według:

${{D(x,y,z)}\over{D(\rho,\phi,\theta)}}=\begin{vmatrix} {{\partial x}\over{\partial \rho}}&{{\partial x}\over{\partial \phi}}&{{\partial x}\over{\partial \theta}}\\ {{\partial y}\over{\partial \rho}}&{{\partial y}\over{\partial \phi}}&{{\partial y}\over{\partial \theta}}\\ {{\partial z}\over{\partial \rho}}&{{\partial z}\over{\partial \phi}}&{{\partial z}\over{\partial \theta}} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \sin\phi\cos\theta&\rho\cos\phi\cos\theta&-\rho\sin\phi\sin\theta\\ \sin\phi\sin\theta&\rho\cos\phi\sin\theta&\rho\sin\phi\cos\theta\\ \cos\phi&-\rho\sin\phi&0 \end{vmatrix}=$ $=\cos\phi\begin{vmatrix} \rho\cos\phi\cos\theta&-\rho\sin\phi\sin\theta\\ \rho\cos\phi\sin\theta&\rho\sin\phi\cos\theta \end{vmatrix}+\rho\sin\phi\begin{vmatrix} \sin\phi\cos\theta&-\rho\sin\phi\sin\theta\\ \sin\phi\sin\theta&\rho\sin\phi\cos\theta \end{vmatrix}=$ $=\rho^2\cos\phi(\cos^2\theta\sin\phi\cos\phi+\sin\phi\cos\phi\sin^2\theta)+\rho^2\sin\phi(\sin^2\phi\cos^2\phi+\rho\sin^2\phi\sin^2\theta)= \;$ $=\rho^2\cos\phi\sin\phi\cos\phi+\rho\sin\phi\sin\phi^2=\rho^2\sin\phi(\cos^2\phi+\sin^2 \phi)=\rho^2\sin\phi \;$

(3.9)

Przepiszmy końcowy wynik (3.9), który właśnie wyznaczyliśmy:

${{D(x,y,z)}\over{D(\rho,\phi,\theta)}}=\rho^2\sin\phi$

(3.10)