Metody matematyczne fizyki/Równania różnicowe liniowe

Równania różnicowe liniowe

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Równania różnicowe liniowe pierwszego rzędu 2Równania jednorodne różnicowe rzędu drugiego

Równania różnicowe, są to pewne związki rekurencyjne, które określają wartość danego wyrazu w sposób niebezpośredni - pośrednio, przez wyrazy go poprzedzające. Mogą to być ciągi: liczbowe, funkcyjne, a nawet i wektorowe. Indeksy mogą być numerowane liczbami naturalnymi lub całkowitymi. W naszych obliczeniach ograniczymy się do zmiennej jednej funkcji jednej zmiennej.

Równania różnicowe liniowe pierwszego rzędu

Równanie różnicowe liniowe, pierwszego rzędu, możemy zapisać równaniem:

$y_{n+1}-a_{n}y_{n}=b_{n}\;$

(19.1)

Wszystkie współczynniki występujące we wzorze (19.1) są różne od zera, a zakres zmienności zmiennej n jest ograniczony, chociaż nie jest to warunek konieczny. Wprowadźmy nową zmienną, tak określoną:

$z_{m}={{y_{m}} \over {a_{1}a_{2}...a_{m-1}}}\;$

(19.2)

Wzór na zmienną y_m wyznaczoną ze wzoru (19.2) podstawiamy do równania różnicowego (19.1) i, dzieląc obustronnie tak otrzymane równanie przez a₁a₂...a_n, dostajemy schemat:

$z_{n+1}a_{1}a_{2}..a_{n}-z_{n}a_{n}a_{1}a_{2}...a_{n-1}=b_{n}\quad \Rightarrow \quad z_{n+1}-z_{n}={{b_{n}} \over {a_{1}}a_{2}...a_{n}}\Rightarrow z_{n+1}-z_{n}=c_{n}{\mbox{,}}\quad c_{n}={{b_{n}} \over {a_{1}a_{2}...a_{n}}}\;$

(19.3)

Ogólnym rozwiązaniem z_n równania różnicowego wynikającym z końcowego związku (19.3) jest równanie:

$z_{n}=C+c_{1}+c_{2}+..+c_{n-1}\;$

(19.4)

Z równania (19.4) możemy wyznaczyć y_m wynikające z równania (19.2).

Procedura opisana w powyższych punktach jest procedurą uniwersalną, ale zwykle nie trzeba się do niej uciekać, bo wystarczy rozpisać kilka pierwszych wyrazów na y_m i stąd wyznaczyć ogólne wyrażenie na ten wyraz.

Równania jednorodne różnicowe rzędu drugiego

Podamy tutaj ogólne równanie różnicowego rzędu drugiego, który często stosowane jest w fizyce, jest to równanie w postaci:

$y_{n+2}-ay_{n+1}+by_{n}=0\;$

(19.5)

Rozwiązania tego równania poszukujemy w postaci funkcji potęgowej:

$y_{m}=\lambda ^{m}\qquad m=0,1,2,n,n+1,n+2,..\;$

(19.6)

Rozwiązanie (19.6) podstawiamy do równania (19.5), i dzieląc tak otrzymane równanie przez λ^m, dochodzimy do równania kwadratowego:

$\lambda ^{2}-a\lambda +b=0\;$

(19.7)

Z równania (19.7) możemy otrzymać parametr λ, który przedstawia się w postaci dwóch wzorów zależnych od stałych a i b występujących w równaniu (19.5):

$\lambda _{1,2}={{1} \over {2}}\left(a\pm {\sqrt {a^{2}-4b}}\right)\;$

(19.8)

Ogólnym rozwiązaniem równania (19.5) jest równanie:

$y_{n}=C_{1}\lambda _{1}^{n}+C_{2}\lambda _{2}^{n}\;$

(19.9)

Jesli dwa rozwiązania równania kwadratowego są takie same, czyli λ=λ₁=λ₂, to rozwiązaniem równania różnicowego (19.5) jest:

$y_{n}=(C_{1}+nC_{2})\lambda ^{n}\;$

(19.10)

Aby sprawdzić, czy rzeczywiście (19.10) jest rozwiązaniem równania (19.5), gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego (19.7) jest równy zero, podstawiamy nasze rozwiązanie do równania różnicowego i po podzieleniu przez λⁿ otrzymujemy:

$(C_{1}+(n+2)C_{2})\lambda ^{2}-a(C_{1}+(n+1)C_{2})\lambda +b(C_{1}+nC_{2})=0\Rightarrow C_{1}(\lambda ^{2}-a\lambda +b)+\;$
$+C_{2}[(n+2)\lambda ^{2}-a(n+1)\lambda +bn]=0\Rightarrow C_{1}(\lambda ^{2}-a\lambda +b)+C_{2}n(\lambda ^{2}-a\lambda +b)+C_{2}\lambda (2\lambda -a)=0\;$

(19.11)

Równanie (19.11) jest rozwiązaniem prawdziwym na mocy równania kwadratowego (19.7) i wartości parametru $\lambda ={{1} \over {2}}a\;$, gdy rozwiązaniem tego równania (19.7) są dwa jednakowe pierwiastki.