Metody matematyczne fizyki/Szeregi Fouriera

Szeregi Fouriera

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Każdą funkcję, która zmienia się okresowo możemy rozłożyć w szereg sinusów i kosinusów. Takie postępowanie nosi nazwę procedury spektralnej lub harmonicznej. Naszą funkcję możemy rozłożyć w szereg funkcji wykładniczych o urojonych wykładniku potęgi. Takie rozłożenie w szereg Fouriera stosuje się zwykle dla przebiegów czasowych i przestrzennych.

Funkcje uogólnione periodyczne i funkcje próbne w teorii dystrybucji

Oczywiste jest, że dystrybucję f definiujemy przy użyciu funkcji próbnej φ. Funkcja zwana dystrybuantą jest definiowana przy pomocy funkcji próbnej, jeśli jest funkcją okresową i jej periodyczność jest określona wzorem f(x+l)=f(x), to działanie na funkcję próbną φ(x) będziemy określać w postaci całki, którą dzielimy na najmniejsze przedziały, w której już ta funkcja nie jest funkcją periodyczną i zamiast całki pojawia się suma całek. Korzystając przy tym z okresowości funkcji f, więc jego działanie określamy przez:

$\langle f,\phi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\phi (x)dx=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{nL}^{(n+1)L}f(x)\phi (x)dx={\begin{Bmatrix}x=y-nL\end{Bmatrix}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{0}^{L}f(y-nL)\phi (y-nL)dy=\;$
$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{0}^{L}f(y-nL)\phi (y-nL)dy=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{0}^{L}f(y)\phi (y-nL)dy=\int _{0}^{L}dyf(y)\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi (y-nL)\;$

(13.1)

Na sam koniec otrzymaliśmy nową funkcję próbną w obliczeniach (13.1), którą nazwiemy ψ(y), a jej definicją jest:

$\psi (y)=\sum _{-\infty }^{\infty }\psi (y+nL)\;$

(13.2)

Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie (13.1) działanie funkcji możemy zredukować do postaci poniżej, używając ogólnego symbolu T dystrybuanty. Podwójny znak działania będziemy tutaj określać tutaj dla działania ograniczone do pierwszego okresu.

$\langle T,\psi \rangle =\langle \langle T,\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi (x+nL)\rangle \rangle =\langle \langle T,\psi \rangle \rangle \;$

(13.3)

Określenie współczynników Fouriera względem dystrybuanty T

Każdej dystrybucji możemy przepisać pewne współczynniki Fouriera, w której występuje dystrybuanta T(x) zależna tylko od jednej zmiennej iksowej:

$c_{n}(T)={{1} \over {L}}\langle \langle T,e^{{-2\pi inx} \over {L}}\rangle \rangle ={{1} \over {L}}\int _{0}^{L}T(x)e^{-{{2\pi inx} \over {L}}}\;$

(13.4)

Definicja szeregu Fouriera

Szeregiem Fouriera F[T] o periodyczności T i o okresie L nazywamy szereg ze współczynnikami c_n(T) określaną:

$F[T]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(T)e^{{2\pi inx} \over {L}}\;$

(13.5)

Wykażemy, że szereg określony wzorem (13.5) jest równy samej dystrybucji określanej przez funkcję T, czyli zachodzi na pewno:

$F[T]=T\;$

(13.6)

Z analizy funkcjonalnej wiadomo, że każdą funkcję możemy przybliżać funkcjami typu $\psi (y)=e^{-{{2\pi iny} \over {L}}}\;$, teraz określmy działanie F[T] na funkcją ψ(y) sposobem:

$\langle \langle F[T],\psi \rangle \rangle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(T)\langle \langle e^{{2\pi iny} \over {L}},e^{-{{2\pi imy} \over {L}}}\rangle \rangle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(T)\delta _{nm}L=c_{m}(T)L\;$

(13.7)

Jeśli natomiast podstawimy wzór na współczynniki Fouriera (13.4) do wzoru (13.7), to otrzymamy równość, z którego coś wywnioskujemy dalej, tzn. zachodzi tożsamość (13.6):

$\langle \langle F[T],\psi \rangle \rangle ={{1} \over {L}}\langle \langle T,e^{{-2\pi inx} \over {L}}\rangle \rangle L\Rightarrow \langle \langle F[T],\psi \rangle \rangle =\langle \langle T,e^{{-2\pi inx} \over {L}}\rangle \rangle =\langle \langle T,\psi \rangle \rangle \;$

(13.8)

Na podstawie obliczeń (13.8) udowodniliśmy tożsamość (13.6), która jest prawdziwa dla dowolnej funkcji próbnej ψ.

Twierdzenie Bessela-Parsevala

Zakładamy, że mamy dwie funkcje f(y) i g(y), które określać te funkcje będziemy w postaci szeregów określonych wzorami (13.5), przy założeniu, że jest spełniona tożsamość (13.6), to:

$f(y)=\sum _{m}c_{m}(f)e^{{2\pi iym} \over {L}}\;$

(13.9)

$g(y)=\sum _{n}c_{n}(g)e^{{2\pi iyn} \over {L}}\;$

(13.10)

Mając już szeregi (13.9) i (13.10) możemy określić iloczyn skalarny funkcji f przez g w postaci:

$(f,g)=\sum _{0}^{L}{\overline {f}}(y)g(y)dy=\sum _{m}\sum _{n}{\tilde {c}}_{m}(f)c_{n}(g)\int _{0}^{L}e^{2\pi iy{{n-m} \over {L}}}=L\sum _{n}\sum _{m}{\tilde {c}}_{m}(g)c_{n}(g)\delta _{nm}=\sum _{n}{\tilde {c}}_{n}(f)c_{n}(g)\;$

(13.11)

Rozwinięcie dowolnej funkcji w szereg sinusów i cosinusów

Bardzo często szereg Fouriera przestawiamy jako szereg funkcji sinus i cosinus. Można to uczynić, gdy funkcję wykładniczą o wykładniku urojonym występującą w szeregu (13.5) można rozłożyć na funkcję kosinus i sinus, co piszemy po tej operacji:

$T(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\cos(2\pi nx/L)+i\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\sin(2\pi nx/L)$

(13.12)

Funkcja cosinus występująca w szeregu (13.12) jest funkcją parzystą, zatem szereg z cosinusami możemy zapisać uproszczonym wzorem:

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\cos(2\pi nx/L)=c_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\cos(2\pi nx/L)+\sum _{n=-1}^{-\infty }c_{n}\cos(2\pi xn/L)=c_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(c_{n}+c_{-n})\cos(2\pi xn/L)\;$

(13.13)

Podobnie możemy zrobić z szeregiem z sinusami, wiedząc że jest to funkcja nieparzysta:

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\sin(2\pi nx/L)=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\sin(2\pi nx/L)+\sum _{n=-1}^{-\infty }c_{n}\sin(2\pi xn/L)=\sum _{n=1}^{\infty }(c_{n}-c_{-n})\sin(2\pi xn/L)\;$

(13.14)

Wzór (13.12), który możemy przestawić w innej postaci przy pomocy obliczeń przeprowadzonych w punkcie (13.13) i w (13.14), jest w postaci:

$T(x)=c_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(c_{n}+c_{-n})\cos(2\pi xn/L)+i\sum _{n=1}^{\infty }(c_{n}-c_{-n})\sin(2\pi xn/L)\;$

(13.15)

Naszym następnym krokiem jest wyznaczenie współczynników c₀, i współczynników stojących przy cosinusach a_n=c_n+c_-n, i współczynników stojących przy sinusach a_n=c_n+c_-n i współczynnika wolnego a₀=c₀:

$a_{0}=c_{0}={{1} \over {L}}\langle \langle T,1\rangle \rangle \;$

(13.16)

$a_{n}=c_{n}+c_{-n}={{1} \over {L}}\langle \langle T,e^{-2\pi inx/L}\rangle \rangle +{{1} \over {L}}\langle \langle T,e^{2\pi inx/L}\rangle \rangle ={{2} \over {L}}\langle \langle T,\cos(2\pi ny/L)\rangle \rangle \;$

(13.17)

$b_{n}=i(c_{n}-c_{-n})=i\left[{{1} \over {L}}\langle \langle T,e^{-2\pi inx/L}\rangle \rangle -{{1} \over {L}}\langle \langle T,e^{2\pi inx/L}\rangle \rangle \right]={{2} \over {L}}\langle \langle T,\sin(2\pi ny/L)\rangle \rangle \;$

(13.18)

Ostateczny wzór na szereg Fouriera i jego współczynniki Fouriera

Szereg otrzymany w punkcie (13.15), przy uzyskanych współczynnikach a₀ (13.16), a_n (13.17) i b_n (13.18), możemy zapisać w uproszczonej postaci:

$T(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos(2\pi xn/L)+i\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin(2\pi xn/L)\;$

(13.19)

• gdzie stałe a₀ , b_n i c_n są zdefiniowane w postaci:

$a_{0}={{1} \over {L}}\int _{0}^{L}f(y)dy\;$

(13.20)

$a_{n}={{2} \over {L}}\int _{0}^{L}f(y)\cos(2\pi ny/L)dy\;$

(13.21)

$b_{n}={{2} \over {L}}\int _{0}^{L}f(y)\sin(2\pi ny/L)dy$

(13.22)

Policzalny postęp Fouriera

Policzalny (skończony) szereg Fouriera prosty, ale też jego transformatę odwrotną piszemy wedle przestawień:

${\tilde {A}}_{\nu }={{1} \over {N}}\sum _{n=0}^{N-1}A_{n}e^{-{{2\pi i\nu n} \over {N}}}\;$

(13.23)

$A_{\nu }=\sum _{n=0}^{N-1}{\tilde {A}}_{n}e^{{2\pi i\nu n} \over {N}}\;$

(13.24)

Aby wykazać, że transformata odwrotna (13.24) jest działaniem odwrotnym do (13.23), wtedy należy podstawić wzór (13.23) do (13.24), wtedy powiemy:

$A_{n}={{1} \over {N}}\sum _{m=0}^{N-1}A_{m}\sum _{\nu =0}^{N-1}e^{-2\pi i\nu (m-n)/N}\;$

(13.25)

W szeregu (13.25) mamy sumę postępu geometrycznego o ilorazie $q=\left(e^{2\pi i(n-m)}\right)^{1/N}=1^{1/N}=1\;$. Nasz szereg nasz w postaci zwartej jest równa zero dla n różnego m, a natomiast gdy n=m jest równy jeden. A więc, to mamy drugą sumę szeregu występującego w punkcie (13.25), która jest równa Nδ_nm, w takim razie szereg (13.25) dla naszego przypadku zapisujemy wedle:

$A_{n}={{1} \over {N}}\sum _{m=0}^{N-1}A_{m}N\delta _{nm}=A_{n}\;$

(13.26)

Zatem udowodniliśmy, że transformata (13.24) jest transformatą odwrotną do transformaty (13.23). Jeśli oznaczymy przez $w=e^{2\pi i/N}\;$, wtedy ${\overline {w}}=e^{-2\pi i/N}=w^{-1}\;$, jeśli oznaczymy elementy macierzy w postaci $W_{nm}=w^{mn}\;$, to macierz transformująca z $A_{n}\;$ na ${\tilde {A}}_{n}\;$ i odwrotnie jest ${\overline {W}}\;$, wtedy wzory wynikające z (13.23) na transformatę prostą (13.23) i wzoru (13.24) na transformatę odwrotną piszemy je razem:

${\tilde {A}}={{1} \over {N}}{\overline {W}}\cdot A\;$

(13.27)

$A=W{\tilde {A}}\;$

(13.28)