Ogólna teoria względności

Książka wymaga poprawek językowych i stylistycznych.

Ogólna teoria względności

Mirosław Makowiecki

---

SPIS RZECZY

Wprowadzenie do ogólnej teorii względności 

 1

Nadmiarowe równania elementarne teorii grawitacji Einsteina z siłami niegrawitacyjnymi 

 2

Tensor gęstości energii-pędu 

 3

Właściwości skalaru tensora metrycznego 

 4

Zasada wariacyjna w ogólnej teorii względności 

 5

Zasada wariacyjna a grawitacja i pole elektromagnetyczne 

 6

Słabe pola grawitacyjne 

 7

Fizyka w słabozakrzywionych czasoprzestrzeniach 

 8

Promieniowanie grawitacyjne 

 9

Statyczne rozwiązanie Schwarzschilda w kulistosymetrycznym polu grawitacyjnym 

 10

Ruch cząstki próbnej wokół masy statycznie sferycznej-rozwiązanie ogólne 

 11

Geometria statycznych czasoprzestrzeni Schwarzschilda, a czarne dziury 

 12

Współrzędne Kruskala-Szekeresa 

 13

Współrzędne Eddingtona-Finkelsteina 

 14

Współrzędne cylindryczne a tunel Einsteina-Rosena 

 15

Ogólna teoria względności jest to dział fizyki teoretycznej zajmujący się polem grawitacyjnym. Opisuje ona przestrzenie zakrzywione, nie tylko słabe, w których rozpowszechnia się pole Newtonowskie, ale też mocno zakrzywione. Dowiemy, się, że w granicy słabego pola grawitacyjnego równania grawitacji Einsteina przechodzą w równanie grawitacji Newtona wraz drugą zasadę dynamiki Newtona. Będziemy się również zajmowali promieniowaniem grawitacyjnym w słabo zakrzywionej czasoprzestrzeni.

Spis treści

Wprowadzenie do ogólnej teorii względności

• 1Postulaty teorii względności
• 2Elementy ogólnej teorii względności
  • 2.1Zasady równoważności
    • 2.1.1Słaba zasada równoważności
    • 2.1.2Silna zasada równoważności
  • 2.2Czasoprzestrzeń w ogólnej teorii względności
  • 2.3Kontrawariantny czterowektor położenia
  • 2.4Sygnatura dodatnia i ujemna
  • 2.5Interwał czasoprzestrzenny
  • 2.6Czterowektor prędkości
  • 2.7Czterowektor pędu
  • 2.8Czterowektor pędu a masa spoczynkowa cząstki
  • 2.9Infinitezymalny czas własny i infinitezymalna długość własna
  • 2.10Nieinercjalne układy odniesienia a czasoprzestrzeń
    • 2.10.1Przykład - układ rotujący ze stałą prędkością kątową ω
• 3Wprowadzenie do tensorów Einsteina w postaci tensorowej
  • 3.1Tensor Einsteina
  • 3.2Rozszerzony tensor Einsteina
• 4Czy istnieją układy lokalnie, a nie globalnie płaskie
  • 4.1Twierdzenie o lokalnej płaskości czasoprzestrzeni (przestrzeni czterowymiarowej)
• 5Tensor gęstości energii-pędu
  • 5.1Definicja tensora gęstości energii-pędu
  • 5.2Zasada zachowania energii-pędu a jego lokalność
• 6Równania powiązane tensora Einsteina z tensorem gęstości energii-pędu
  • 6.1Równania pola Einsteina
  • 6.2Równania pola Einsteina z uwzględnieniem stałej kosmologicznej
• 7Zachowawczość energii, a równania grawitacji Einsteina

Nadmiarowe równania elementarne teorii grawitacji Einsteina z siłami niegrawitacyjnymi

• 1Równania ruchu, a linie geodezyjne w ogólnej teorii względności
  • 1.1Linie geodezyjne, a druga pochodna czterowektora kontrawariantnego położenia
    • 1.1.1Gdy występują tylko siły grawitacyjne
    • 1.1.2Gdy również występują siły niegrawitacyjne
      • 1.1.2.1Układy dyskretne
        • 1.1.2.1.1Kilka żródeł grawitacyjnych
      • 1.1.2.2Układy rozciągłe
  • 1.2Linie geodezyjne, a druga pochodna czterowektora kowariantnego położenia
    • 1.2.1Gdy występują tylko siły grawitacyjne
    • 1.2.2Gdy w równaniach na linie geodezyjne uwzględnimy siły niegrawitacyjne
      • 1.2.2.1Układy dyskretne
        • 1.2.2.1.1Kilka żródeł grawitacyjnych
      • 1.2.2.2Układy rozciągłe
  • 1.3Równoważność wzorów na linie geodezyjne w przedstawieniu kowariantnym i kontrawariantnym
    • 1.3.1Układy dyskretne
    • 1.3.2Układy rozciągłe
  • 1.4Tensor siły grawitacji i inne tensory siły (w tym całkowity tensor siły w drugiej zasadzie dynamiki Einsteina), jako tensory z definicji tensora matematycznego
  • 1.5Druga zasada dynamiki Einsteina w wersji wektorowej
• 2Zgodność wzoru na linie geodezyjne z metryką przy ogólnie niezerowych siłach niegrawitacyjnych
  • 2.1Układy dyskretne
  • 2.2Układy rozciągłe
• 3Zasada zachowania energii-pędu dla układów lokalnie płaskich przy zerowaniu się tensorów sił niegrawitacyjnych
• 4Równanie dewiacyjne i dewiacja geodezyjna, według zasady niezalezności działania tensorów sił
  • 4.1Równanie dewiacyjne, a tylko siły grawitacji
  • 4.2Układy dyskretne
  • 4.3Układy rozciągłe
• 5Lokalna zasada zachowania energii-pędu
• 6Lokalna zasada zachowania tensora gęstości pędu
• 7Rozwiązywanie układu równań ogólnej teorii względności

Tensor gęstości energii-pędu

• 1Gęstość masy w danym punkcie zależna od prędkości
• 2Koncentracja cząstek w danym punkcie zależna od prędkości
• 3Prawo zachowania ilości cząstek
• 4W przestrzeniach Minkowskiego prawo zachowania energii i pędu
  • 4.1Lokalne prawo zachowania masy relatywistycznej czy energii relatywistycznej
  • 4.2Lokalne prawo zachowania pędu
  • 4.3Tensor gęstości energii-pędu i jego lokalna zachowawczość
  • 4.4Ogólny wzór na tensor gęstości energii-pędu w układach płaskich (lokalnie płaskich) z lokalnością stałego ciśnienia i prędkości
• 5Przejście od układu współrzędnych lokalnie płaskiego do zakrzywionej czasoprzestrzeni
• 6Płyny z uwzględnieniem zasad termodynamiki
• 7Dowód poprawności tensora gęstości energii-pędu

Właściwości skalaru tensora metrycznego

• 1Element objętości w układzie współrzędnych w ogólnej teorii względności
• 2Pochodna wyznacznika tensora metrycznego względem elementów tensora metrycznego

Zasada wariacyjna w ogólnej teorii względności

• 1Równania grawitacji Einsteina-Hilberta
• 2Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii-pędu
  • 2.1Lokalna zachowawczość (przypadek ogólny)
  • 2.2Przypadek układów lokalnie płaskich z gęstością lagrangianu masowego oraz przypadek układów zakrzywionych z gęstością całkowitego lagrangianu
  • 2.3Zachowawczość tensora gęstości energii-pędu w układach zakrzywionych
• 3Lokalna zasada zachowania energii-pędu
• 4Dowód równania Hilberta-Einsteina grawitacji nie z teorii lagrangianowej
• 5Szczególne postacie gęstości Lagrangianu
• 6Najważniejsze wnioski w odpowiednich klasach układów z lokalnie stałymi jakimiś wielkościami
• 7Tensor gęstości energii-pędu dla układów ogólnie zakrzywionych
• 8Linie geodezyjne, a zasady równoważności
  • 8.1Przypadek linii geodezyjnych, tzn.: w pierwszym sposobie wyprowadzania, a silna zasada równoważności (dowód)
    • 8.1.1Układy punktowe
    • 8.1.2Układy rozciągłe
  • 8.2Słaba zasada równoważności (dowód)
• 9Gęstość lagrangianu i równanie Eulera-Lagrange'a, a paradoks niespełnienia zasady najmniejszego działania

Zasada wariacyjna a grawitacja i pole elektromagnetyczne

• 1Wyznaczanie całkowitego tensora gęstości energii-pędu z uwzględnieniem pola elektromagnetycznego
  • 1.1Gęstość lagrangianu i tensor gęstości energii-pędu
  • 1.2Zachowawczość tensora gęstości energii-pędu w układach lokalnie płaskich według szczególnej teorii względności
  • 1.3Całkowita gęstość lagrangianu i pędu
    • 1.3.1Całkowita gęstość lagrangianu masowego
    • 1.3.2Całkowita gęstość lagrangianu
    • 1.3.3Całkowita gęstość pędu
  • 1.4Całkowity lagrangian i pęd
    • 1.4.1Całkowity lagrangian masowy
    • 1.4.2Całkowity lagrangian
    • 1.4.3Pęd uogólniony ładunku punktowego
  • 1.5Gęstość hamiltonianu masowego
  • 1.6Całkowita gęstość hamiltonianu
  • 1.7Całkowity tensor gęstości energii-pędu
  • 1.8Równania dla elektromagnetyzmu dla ciał rozciągłych dla układów zakrzywionych

Słabe pola grawitacyjne

• 1Lorentzowskie przekształcenia tła
• 2Przekształcenia cechowania
• 3Tensor krzywizny dla słabego pola grawitacyjnego
• 4Równania Einsteina dla słabego pola grawitacyjnego
  • 4.1Klasa funkcji cechowań Lorentza dla słabego pola grawitacyjnego
  • 4.2Tensor Einsteina dla słabego pola grawitacyjnego przy wybranym cechowaniu
  • 4.3Wyznaczanie stałej κ w równaniach grawitacji Einsteina
  • 4.4Ogólne równania pola wedle równań Einsteina ze stałą kosmologiczną
• 5Metryka dla słabego pola grawitacyjnego
  • 5.1Stacjonarne słabe pole grawitacyjne a poprawka do tensora metrycznego Minkowskiego
  • 5.2Interwał czasoprzestrzenny słabego pola grawitacyjnego Newtona dla obu sygnatur tensora Minkowskiego i rodzajów oddziaływania grawitacyjnego
  • 5.3Pola grawitacyjne stacjonarne od odległych źródeł relatywistycznych dla obu sygnatur tensora Minkowskiego i rodzajów oddziaływania grawitacyjnego

Fizyka w słabozakrzywionych czasoprzestrzeniach

• 1Fizyka w słabych stacjonarnych polach grawitacyjnych
• 2Zachowawczy charakter wielkości fizycznych
• 3Całkowita energia cząstki w polu grawitacyjnym
• 4Elementy czterowektora pędu w układach kulistym i walcowym układu współrzędnych
  • 4.1Współrzędne kuliste
  • 4.2Współrzędne walcowe i radialne
• 5Kowariantny pęd θ-owy i φ-owy a współrzędne klasycznego momentu pędu

Promieniowanie grawitacyjne

• 1Propagacja fal grawitacyjnych
• 2Bezśladowe cechowanie poprzeczne Lorentza
• 3Wpływ fal grawitacyjnych na swobodną cząstkę
  • 3.1Równanie dewiacji a odległość wektorowa pomiędzy obydwa spoczywającymi współrzędnościowo cząstkami
  • 3.2Ścisła fala grawitacyjna wynikająca z praw grawitacji Einsteina
• 4Detekcja fal grawitacyjnych
• 5Tensorowe twierdzenie wirialne a lokalna zasada zachowania energii
• 6Wytwarzanie fal grawitacyjnych
  • 6.1Właściwości fali grawitacyjnej dla jednego wskaźnika zerowego górnego
  • 6.2Tensor momentu kwadrupolowego rozkładu masy
  • 6.3Układ dwóch kulek jako układ prostego oscylatora
  • 6.4Układ podwójny gwiazd o jednakowych masach
  • 6.5Równanie falowe i jego ścisłe rozwiązanie
• 7Energia przenoszona przez fale grawitacyjne wytwarzane przez układ oscylatorów grawitacyjnych
  • 7.1Fala grawitacyjna i jego strumień energii

Statyczne rozwiązanie Schwarzschilda w kulistosymetrycznym polu grawitacyjnym

• 1Metryka w statystycznych czasoprzestrzeniach sferycznie symetrycznych
• 2Macierz tensora metrycznego układu krzywoliniowego statyczno-sferycznej
• 3Odległość radialna, czas, zmierzona energia cząstki
• 4Elementy tensora Christoffela
• 5Elementy tensora krzywizny
• 6Elementy tensora Einsteina
• 7Statyczne równanie Einsteina z płynem doskonałym
• 8Metryka na zewnątrz kulistej masy
• 9Odległość radialna i czas własny w metryce Schwarzschilda
• 10Równania ruchu z płynem doskonałym
• 11Wnioski wynikające z równania Einsteina

Ruch cząstki próbnej wokół masy statycznie sferycznej-rozwiązanie ogólne

• 1Równanie geodezyjne a geometria Schwarzchilda
• 2Dowolny ruch cząstki próbnej wokół sferyczno-statycznej masy
• 3Ruch cząstki po orbicie kołowej
• 4Radialny ruch swobodny ciała próbnego wokół kulistosymetrycznej masy według geometrii Schwarzchilda
• 5Rozciąganie w pobliżu czarnej dziury

Geometria statycznych czasoprzestrzeni Schwarzschilda, a czarne dziury

• 1Tensor metryczny w geometrii Schwarzchilda
• 2Wielkości zachowawcze dla cząstek o niezerowej masie spoczynkowej
• 3Wielkości zachowawcze dla cząstek bezmasowych (fotonów)
• 4Okres obrotu a promień współrzędnościowy
• 5Przesunięcie peryferium
  • 5.1Przesunięcie peryferium według Newtona
  • 5.2Przesunięcie peryferium według ogólnej teorii względności
• 6Odchylenie grawitacyjne światła
  • 6.1Ruch światła po zaniedbaniu efektów relatywistycznych związanego z masą
  • 6.2Ruch fotonów po niecałkowitym zaniedbaniu relatywistycznym
• 7Wpadające cząstki w kierunku radialnym do horyzontu zdarzeń czarnej dziury

Współrzędne Kruskala-Szekeresa

• 1Metryka Kruskala-Szekeresa
• 2Definicja współrzędnych Kruskala-Szekeresa
• 3Czasoprzestrzeń we współrzędnych Kruskala-Szekeresa

Współrzędne Eddingtona-Finkelsteina

• 1Definicja współrzędnych Eddigtona-Finkelsteina
• 2Metryka Eddigtona-Finkelsteina
  • 2.1Dowód metryki Eddigtona-Finkelsteina przy zmiennej U
  • 2.2Dowód metryki Eddigtona-Finkelsteina przy zmiennej V

Współrzędne cylindryczne a tunel Einsteina-Rosena

• 1Współrzędne Einsteina-Rosena
• 2Interpretacja współrzędnych Einsteina-Rosena

Bibliografia

• Bibliografia

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.