Zasada wariacyjna a grawitacja i pole elektromagnetyczne
Licencja
Autor:Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna:Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.
Wyznaczanie całkowitego tensora gęstości energii-pędu z uwzględnieniem pola elektromagnetycznego[edytuj]
Wyprowadzimy tutaj czemu jest równa gęstość lagrangianu pola elektromagnetycznego i jego tensor gęstości energii-pędu, a także całkowita gęstość lagrangianu masowego w obecności pola elektromagnetycznego i jego tensor gęstości energii-pędu, a także gęstość lagrangianu będziemy pisać uwzględniając zakrzywienie czasoprzestrzeni uwzględniając jego człony przestrzenne.
Gęstość lagrangianu i tensor gęstości energii-pędu[edytuj]
Lagrangian pola elektromagnetycznego, który jest zależny od tensora pola elektromagnetycznego (EK-26.9) i to przepiszemy używając definicji tensora metrycznego, a także z postulatu, że lagrangian pola elektromagnetycznego (EK-27.1) jest słuszna również dla zakrzywionej czasoprzestrzeni, i zakładając, że w przestrzeni istnieje ogólnie niestałe pole elektromagnetyczne, zatem na podstawie tego możemy powiedzieć:
(6.1)
Gęstość lagrangianu (6.1) jest słuszna, bo udowodniliśmy, że w (STW-44.28), a jeżeli , to (STW-44.45) przyjmuje wartość nieskończoną z dokładnością do znaku w mechanice Newtona (jest ona spełniona przy , bo układy słabozakrzywione) przy przejściu , a więc wtedy (STW-44.38) jest niespełnione, stąd w gęstości lagrangianu (STW-44.17), zatem postać gęstości lagrangianu rozważana w tym punkcie jest spełniona, a ona posłuży do wyliczenia jednego tylko tensora gęstości energii-pędu odpowiedzialnej tylko za oddziaływanie elektromagnetyczne.
Następnym krokiem jest wyznaczenie tensora energii-pędu wykorzystując przy tym wzór (5.35), zatem w takim razie możemy powiedzieć, że licząc najpierw pierwszy wyraz tego tensora gęstości energii-pędu:
(6.2)
Wtedy całe wyrażenie na tensor energii-pędu przyjmuje następującą postać matematyczną na podstawie wzoru (5.35) wykorzystując wyliczony fakt (6.2), zatem wtedy dochodzimy do wniosku:
(6.3)
Tensor energii-pędu (6.3), jest z oczywistych powodów symetryczny na przestawienie czynników. Policzmy ślad tensora gęstości energii pędu:
(6.4)
A jeżeli w danym punkcie nie płyną prądy to według (6.4) ślad tensora gęstości energii pędu (6.3) jest równy zero w czasoprzestrzeni czterowymiarowej, bo wtedy .
Zachowawczość tensora gęstości energii-pędu w układach lokalnie płaskich według szczególnej teorii względności[edytuj]
Napiszmy zachowawczość tensora gęstości energii-pędu w układzie lokalnie płaskim.
Tensor napięć-energii w postaci kontrawariantno-kowariantnego piszemy w postaci matematycznej wychodząc od końcowego wzoru (6.3) wedle następującego sposobu:
(6.5)
Zróżniczkujmy wyrażenie napisane wzorem (6.5) względem współrzędnej kowariantnej, i korzystając z twierdzenia o pochodnej iloczynu, zatem wtedy dochodzimy do następującego wniosku:
(6.6)
Następnie należy skorzystać ze wzoru (EK-26.95) i ze wzoru (EK-26.14), czyli są to związki zapisane wzorami wedle poniższych schematów:
(6.7)
(6.8)
Możemy wykorzystać związki na tensorowe równanie Maxwella (6.7) i tożsamości (6.8) i w ten sposób korzystając ze wzoru (6.6) i wykorzystując te związki dochodzimy do następującego wniosku matematycznego:
(6.9)
Można udowodnić, że zmieniając rolami wskaźniki we wzorze (6.9), że pierwszy, drugi i czwarty wyraz się ze sobą redukują do zera, wtedy na podstawie tego możemy napisać, że wspomniana tożsamość:
(6.10)
Dlatego , bo mamy układ lokalnie płaski o glokalnie stałym tensorze prędkości, w którym gęstość prądu jest wielkością lokalnie stałą, a potencjał tensorowy elektromagnetyczny jest lokalnie stały, czyli zachodzi: i , stąd zachowawczość tensora gęstości energii-pędu na podstawie (6.10) jest w tych układach spełniona i zachodzi:
(6.11)
Ale ponieważ z definicji tensora gęstości siły dla ładunku w polu elektromagnetycznym przedstawiamy wzorem (EK-26.61), stąd zachowawczość tensora energii-pędu tego pola jest równa:
(6.12)
Łącząc wzory (6.12) i (6.10) oraz przechodząc od układów lokalnie płaskich do zakrzywionych mamy:
(6.13)
Ostatnie równanie w (6.13) jest równaniem na cechowanie w polu elektromagnetycznym w układach zakrzywionych. To cechowanie dla układów zakrzywionych jest bardzo podobne do cechowania (STW-44.49) dla układów słabozakrzywionych, tylko zamiast średnika tam są przecinki.
We wzorze (6.17) aby otrzymać całkowity lagrangian z całkowitej gęstości lagrangianu masowego należy dodać tam człon związany z gęstością lagrangianu przestrzennego w sposób:
Wyznaczmy gęstość hamiltonianu, wiedząc że definicja hamiltonianu jest w punkcie (MT-8.4), znając gęstość lagrangianu (6.14) i gęstość pędu (6.16), zatem:
(6.20)
Hamiltonian (6.14) jest to hamiltonian masowy w elektromagnetyzmie.
Widzimy, gdy we wzorze (6.14) na gęstość lagrangianu masowego uwzględnimy gęstość lagrangianu przestrzennego to gęstość pędu się nie zmienia, a więc zgodnie z definicją gęstości hamiltonianu (6.15) piszemy w formie:
(6.21)
Widzimy, że w (6.21) hamiltonian zależy od skalarów krzywizny Ricciego (MMF-2.133).
Całkowity tensor gęstości energii-pędu jest sumą tensora gęstości energii-pędu kinematycznego (5.52) i tensora gęstości gęstości energii-pędu elektromagnetycznego (6.3), wtedy:
(6.22)
Zachowawczość lokalną tensora gęstości energii-pędu (6.22) piszemy w skrócie w układach lokalnie płaskich:
(6.23)
W równaniu (6.23) zawarte jest zachowanie energii i pędu w elektrodynamice dla układów lokalnie płaskich, które jest słuszne również dla układów zakrzywionych po zamienieniu przecinka średnikiem.
Równania dla elektromagnetyzmu dla ciał rozciągłych dla układów zakrzywionych[edytuj]
Jeżeli jest spełniona własność (6.23) (zachowawczość tensora gęstości energii-pędu) przy tensorze gęstości energii-pędu (6.22) dla układów lokalnie płaskich, to dla układów zakrzywionych:
(6.24)
jest spełniona własność dla czasoprzestrzeni zakrzywionej na tensor pola elektromagnetycznego:
(6.25)
Równania pola przy tensorze pola elektromagnetycznego (EK-26.9) i tensorze dualnym (EK-26.11) według spełnionych równań w układach lokalnie płaskich (EK-26.12) i (EK-26.13) są:
(6.26)
(6.27)
Jest również spełnione cechowanie Lorentza na podstawie cechowania Lorentza (EK-26.58) w układach lokalnie płaskich:
(6.28)
A także uwzględniając równanie ciągłości na podstawie równania ciągłości (EK-26.8) w układach lokalnie płaskich:
(6.29)
Na tym skończyliśmy wykład podstawowych równań elektrodynamiki dla czasoprzestrzeni zakrzywionych.