Ogólna teoria względności/Statyczne rozwiązanie Schwarzschilda w kulistosymetrycznym polu grawitacyjnym

Statyczne rozwiązanie Schwarzschilda w kulistosymetrycznym polu grawitacyjnym

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Tutaj będziemy się zajmować statystyczno-sferycznymi aspektami dla gwiazd. Właściwościami takich układów, że metryka ich nie zmienia się po zastąpieniu t przez -t, a reszta współrzędnych jest taka sama po przejściu z układu, tzn. K=(t,r,θ,φ) do K^'=(-t,r,θ,φ).

Metryka w statystycznych czasoprzestrzeniach sferycznie symetrycznych

Układem statycznym nazywamy układem, gdy po zamianie z t na -t, układ nie zmienia się, nazwijmy układem przed transformacją K(t,r,θ,φ), a układem po transformacji K^'(-t,r,θ,φ). Transformacja wiążąca układy od K do K' jest przedstawiona wzorem:

$q_{K^{'}}^{\mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }q_{K}^{\nu }\;\;$

(10.1)

• gdzie q_K^'μ=(-t,r,φ,θ) jest to zestaw współrzędnych w nowym układzie współrzędnych
• q_K^ν=(t,r,φ,θ) jest to zestaw współrzędnych w starym układzie współrzędnych.

Z własności układów K i K^' mamy:

${\Lambda ^{i}}_{j}={\delta ^{i}}_{j}\;$

${\Lambda ^{t}}_{i}=0\;$

${\Lambda ^{i}}_{t}=0\;$

${\Lambda ^{t}}_{t}=-1\;$

Następnym krokiem jest wyznaczenie elementów tensora metrycznego, wiedząc że po transformacji z K na K^' elementy tensora metrycznego nie zmieniają się i na podstawie powyższych elementów tensora (macierzy) transformacji Λ^μ_ν, dostajemy transformacje na nasz rozważany tensor:

${\begin{cases}g_{tt}={\Lambda ^{\mu }}_{t}{\Lambda ^{\nu }}_{t}g_{\mu \nu }\Rightarrow g_{tt}=({\Lambda ^{t}}_{t})^{\phi }g_{tt}\Rightarrow g_{tt}=(-1)^{2}g_{tt}\Rightarrow g_{tt}=g_{tt}\Rightarrow g_{tt}\in R^{1}\\g_{ti}={\Lambda ^{\mu }}_{t}{\Lambda ^{\nu }}_{i}g_{\mu \nu }\Rightarrow g_{ti}={\Lambda ^{t}}_{t}{\Lambda ^{i}}_{i}g_{ti}\Rightarrow g_{ti}=-1g_{ti}\Rightarrow g_{ti}=g_{it}=0\\g_{rr}={\Lambda ^{\mu }}_{r}{\Lambda ^{\nu }}_{r}g_{\mu \nu }\Rightarrow g_{rr}=({\Lambda ^{r}}_{r})^{2}g_{rr}\Rightarrow g_{rr}=1^{2}g_{rr}\Rightarrow g_{rr}\in R^{1}\\g_{ij}=0{\mbox{ dla }}i\neq j\end{cases}}\;$

(10.2)

Dochodzimy do wniosku, że nasza metryka dla naszego badanego układu i wedle obliczeń (10.2) metryka (kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego) przedstawia się według:

$ds^{2}=e^{\Phi (r)}c^{2}dt^{2}-e^{\Lambda (r)}dr^{2}-r^{2}(\sin ^{2}\phi d\theta ^{2}+d\phi ^{2})\;$

(10.3)

Ale w powyższym wzorze wyrażenie stojące się przy kwadracie promienia nazwijmy jako kwadrat różniczki pewnej funkcji:

$d\Omega ^{2}=\sin ^{2}\phi d\theta ^{2}+d\phi ^{2}\;$

(10.4)

A zatem naszą metrykę (10.3) wedle przedstawienia kwadratu różniczki pewnej funkcji (10.4) i wiedząc jeszcze, że naszej metryce występują funkcje Φ(r) i Λ(r), które są zależne od promienia r, zatem ostateczna forma naszej metryki, która ma kształt metryki Schwarzschilda z niewyznaczonymi jeszcze z naszymi funkcjami:

$ds^{2}=e^{\Phi (r)}c^{2}dt^{2}-e^{\Lambda (r)}dr^{2}-r^{2}d\Omega ^{2}\;$

(10.5)

Naszym celem jest wyznaczenie funkcji Φ(r) i Λ(r) jako funkcje zależne tylko od promienia w układzie kulistym.

Macierz tensora metrycznego układu krzywoliniowego statyczno-sferycznej

Macierz prosta i odwrotna tensora metrycznego w metryce statyczno-symetrycznej gwiazdy przedstawia się:

$g_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}e^{\Phi }&0&0&0\\0&-e^{\Lambda }&0&0\\0&0&-r^{2}\sin ^{2}\phi &0\\0&0&0&-r^{2}\end{bmatrix}}\;$

(10.6)

$g^{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}e^{-\Phi }&0&0&0\\0&-e^{-\Lambda }&0&0\\0&0&-{{1} \over {r^{2}\sin ^{2}\phi }}&0\\0&0&0&-{{1} \over {r^{2}}}\end{bmatrix}}\;$

(10.7)

Ogólnie elementy 0,1,2,3 będziemy oznaczać przez nazwy odpowiednich zmiennych układu sferycznego i czasu, tzn. przez t,r,θ,φ.

Odległość radialna, czas, zmierzona energia cząstki

Odległość radialną wedle (1.16) możemy policzyć z definicji interwału czasoprzestrzennego, gdzie za infinitezymalny czas i różniczek współrzędnych kątowych podstawiamy wartość zero, czyli $dt=d\theta =d\phi =0$, dostając wzór na odległość radialną:

$R=\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\sqrt {-g_{rr}}}dr=\int _{r_{1}}^{r_{2}}e^{{{1} \over {2}}\Lambda }dr$

(10.8)

Upływ czasu własnego wedle wzoru (1.15) w polu grawitacyjnym wyraża się w zależności od czasu współrzędnościowego wzorem:

$\tau =\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {g_{tt}}}dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}e^{{{1} \over {2}}\Phi }dt$

(10.9)

Związek między czterowektorami pędu, a masą spoczynkową wyraża się wzorem (1.13), a dla cząstki ogólnie masowej, a w szczególności dla fotonu, oznaczając że jego energia wedle szczególnej teorii względności jest równa E=p₀c, a energia zaobserwowana w układzie lokalnie płaskim jest wyrażona:

${E^{*}}^{2}=m_{0}^{2}c^{4}-p_{i}p^{i}c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}+\underbrace {(-p^{j}g_{ji}p^{i})} _{p^{2}}=m_{0}^{2}c^{4}+c^{2}p^{2}\;$

(10.10)

• gdzie:$p^{2}=-p^{j}g_{ji}p_{i}\;$ jest to kwadrat długości pędu cząstki według jej długości przestrzennej (nie czasowej dla odróżnienia).

Na podstawie definicji (10.8) i definicji całkowitej energii cząstki poprzez kowariantny pęd cząstki pomnożonej przez prędkość światła, która jest wielkością stałą ze względu, że elementy tensora metrycznego (10.6) nie zależą od czasu, a więc energia cząstki jest zachowana na podstawie wzoru (8.36):

$p_{\mu }p^{\mu }=m_{0}c^{2}\Rightarrow p_{\mu }p^{\mu }c^{2}=m_{0}c^{4}\Rightarrow p_{t}p^{t}c^{2}+p_{i}p^{i}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}\Rightarrow p_{t}p_{t}g^{tt}c^{2}=\underbrace {m_{0}^{2}c^{4}-p_{i}p^{i}c^{2}} _{E^{*}}\Rightarrow (p_{t}c)^{2}={E^{*}}^{2}g_{tt}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow p_{t}c={\sqrt {g_{tt}}}E^{*}\Rightarrow E={\sqrt {g_{tt}}}E^{*}\Rightarrow E={\sqrt {g_{tt}}}E^{*}\Rightarrow E=e^{{{1} \over {2}}\Phi (r)}E^{*}\;$

(10.11)

Bardzo daleko od źródła energia zaobserwowanego przez obserwatora jest napisana wedle wzoru (10.11), tzn. gdy założymy, gdy $\lim _{r\rightarrow 0}\Phi (r)=0\;$ w układzie lokalnie inercjalnym zmierzymy energię: $E^{*}\simeq E\;$, czyli energia zarejestrowana przez układ lokalnie płaski jest równa prawdziwej energii posiadanej przez ciało dla r bardzo dużego praktycznie niekończonego.

Gdy rozważać będziemy fotony, czyli posiadających masę spoczynkowej równą zero, to energia fotonów wyemitowanych w miejscu określonym promieniem r jest napisana: $E^{*}=h\nu _{em}\;$, a jego energia określona w układzie lokalnie inercjalnym (układ lokalnie płaski) przedstawia się według wzoru $E=h\nu _{rej}\;$:

$h\nu _{rej}=h\nu _{em}e^{{{1} \over {2}}\Phi (r)}\Rightarrow \nu _{rej}=\nu _{em}e^{{{1} \over {2}}\Phi (r)}$

(10.12)

Jeśli przedstawimy zamiast częstotliwości ν długość fali wedle wzoru $\lambda ={{c} \over {\nu }}\;$, wtedy zależność między długościami fali fotonów wyemitowanych a zarejestrowanych przedstawia się:

$\lambda _{rej}=\lambda _{em}e^{-{{1} \over {2}}\Phi (r)}\;$

(10.13)

Przesunięcie ku czerwieni między promieniowaniem wyemitowanym przez gwiazdę, a zarejestrowanym przez obserwatora lub przez detektor wyraża się:

$z={{\lambda _{rej}-\lambda _{em}} \over {\lambda _{em}}}={{\lambda _{rej}} \over {\lambda _{em}}}-1=e^{-{{1} \over {2}}\Phi (r)}-1$

(10.14)

Elementy tensora Christoffela

Wyznaczmy wszystkie elementy tensora Christofela:

${\Gamma ^{t}}_{tr}={\Gamma ^{t}}_{rt}={{1} \over {2}}g^{tt}\left(g_{tt,r}+g_{rt,t}-g_{tr,r}\right)={{1} \over {2}}g^{tt}g_{tt,r}={{1} \over {2}}e^{-\Phi }e^{\Phi }{\Phi }^{'}={{1} \over {2}}{\Phi }^{'}\;$

(10.15)

${\Gamma ^{r}}_{tt}={{1} \over {2}}g^{rr}\left(g_{tr,r}+g_{tr,t}-g_{tt,r}\right)=-{{1} \over {2}}g^{rr}g_{tt,r}={{1} \over {2}}e^{-\Lambda }e^{\Phi }{\Phi }^{'}={{1} \over {2}}e^{\Phi -\Lambda }{\Phi }^{'}\;$

(10.16)

${\Gamma ^{r}}_{rr}={{1} \over {2}}g^{rr}\left(g_{rr,r}+g_{rr,r}-g_{rr,r}\right)={{1} \over {2}}g^{rr}g_{rr,r}={{1} \over {2}}e^{-\Lambda }e^{\Lambda }{\Lambda }^{'}={{1} \over {2}}{\Lambda }^{'}\;$

(10.17)

${\Gamma ^{r}}_{\theta \theta }={{1} \over {2}}g^{rr}\left(g_{\theta r,\theta }+g_{\theta r,\theta }-g_{\theta \theta ,r}\right)=-{{1} \over {2}}g^{rr}g_{\theta \theta ,r}=-{{1} \over {2}}e^{-\Lambda }2r\sin ^{2}\phi =-e^{-\Lambda }r\sin ^{2}\phi \;$

(10.18)

${\Gamma ^{r}}_{\phi \phi }={{1} \over {2}}g^{rr}\left(g_{\phi r,\phi }+g_{\phi r,\phi }-g_{\phi \phi ,r}\right)=-{{1} \over {2}}g^{rr}g_{\phi \phi ,r}=-{{1} \over {2}}e^{-\Lambda }2r=-re^{-\Lambda }\;$

(10.19)

${\Gamma ^{\theta }}_{r\theta }={{1} \over {2}}g^{\theta \theta }\left(g_{r\theta ,\theta }+g_{\theta \theta ,\phi }-g_{r\theta ,\theta }\right)={{1} \over {2}}g^{\theta \theta }g_{\theta \theta ,\phi }={{1} \over {2}}{{1} \over {r^{2}\sin ^{2}\phi }}2r\sin ^{2}\phi ={{1} \over {r}}\;$

(10.20)

${\Gamma ^{\theta }}_{\theta \phi }={{1} \over {2}}g^{\theta \theta }\left(g_{\theta \theta ,\phi }+g_{\phi \theta ,\theta }-g_{\theta \phi ,\theta }\right)={{1} \over {2}}g^{\theta \theta }g_{\theta \theta ,\phi }={{1} \over {2}}{{1} \over {r^{2}\sin ^{2}\phi }}r^{2}2\sin \phi \cos \phi =\operatorname {ctg} \phi \;$

(10.21)

${\Gamma ^{\phi }}_{r\phi }={{1} \over {2}}g^{\phi \phi }\left(g_{r\phi ,\phi }+g_{\phi \phi ,r}-g_{r\phi ,\phi }\right)={{1} \over {2}}g^{\phi \phi }g_{\phi \phi ,r}={{1} \over {2}}{{1} \over {r^{2}}}2r={{1} \over {r}}\;$

(10.22)

${\Gamma ^{\phi }}_{\theta \theta }={{1} \over {2}}g^{\phi \phi }\left(g_{\theta \phi ,\theta }+g_{\theta \phi ,\theta }-g_{\theta \theta ,\phi }\right)=-{{1} \over {2}}g^{\phi \phi }g_{\theta \theta ,\phi }=-{{1} \over {2}}{{1} \over {r^{2}}}r^{2}2\sin \phi \cos \phi =-\sin \phi \cos \phi \;$

(10.23)

• gdzie powyżej znak prim('), oznacza pochodną po r.

Pozostałe tensory Christoffela są równe zero.

Elementy tensora krzywizny

Policzmy tylko potrzebne czterowskaźnikowe tensory krzywizny, przy czym elementy tensora krzywizny, które w sposób trywialny są równe zero pomijamy, bo są mało ciekawe, zatem:

${R^{r}}_{trt}={{\partial {\Gamma ^{r}}_{tt}} \over {\partial x^{r}}}-{{\partial {\Gamma ^{r}}_{tr}} \over {\partial x^{t}}}+{\Gamma ^{r}}_{tt}{\Gamma ^{r}}_{rr}-{\Gamma ^{r}}_{tr}{\Gamma ^{r}}_{rt}=\left({{1} \over {2}}e^{\Phi -\Lambda }\Phi ^{'}\right)_{,r}+{{1} \over {2}}e^{\Phi -\Lambda }\Phi ^{'}{{1} \over {2}}\Lambda ^{'}-{{1} \over {2}}\Phi ^{'}{{1} \over {2}}e^{\Phi -\Lambda }\Phi ^{'}={{1} \over {2}}e^{\Phi -\Lambda }\Phi ^{''}+\;$
$+{{1} \over {2}}e^{\Phi -\Lambda }\Phi ^{'}(\Phi -\Lambda )^{'}+{{1} \over {4}}e^{\Phi -\Lambda }\Phi ^{'}\Lambda ^{'}-{{1} \over {4}}e^{\Phi -\Lambda }(\Phi ^{'})^{2}={{1} \over {2}}e^{\Phi -\Lambda }\Phi ^{''}+{{1} \over {2}}e^{\Phi -\Lambda }(\Phi ^{'})^{2}-{{1} \over {2}}e^{\Phi -\Lambda }\Phi ^{'}\Lambda ^{'}+{{1} \over {4}}e^{\Phi -\Lambda }\Phi ^{'}\Lambda ^{'}+\;$
$-{{1} \over {4}}e^{\Phi -\Lambda }(\Phi ^{'})^{2}={{1} \over {2}}e^{\Phi -\Lambda }\Phi ^{''}+{{1} \over {4}}e^{\Phi -\Lambda }(\Phi ^{'})^{2}-{{1} \over {4}}e^{\Phi -\Lambda }\Phi ^{'}\Lambda ^{'}={{1} \over {2}}e^{\Phi -\Lambda }\left(\Phi ^{''}+{{1} \over {2}}(\Phi ^{'})^{2}-{{1} \over {2}}\Phi ^{'}\Lambda ^{'}\right)\;$

(10.24)

${R^{\theta }}_{t\theta t}={{\partial {\Gamma ^{\theta }}_{tt}} \over {\partial x^{\theta }}}-{{\partial {\Gamma ^{\theta }}_{t\theta }} \over {\partial x^{t}}}+{\Gamma ^{r}}_{tt}{\Gamma ^{\theta }}_{r\theta }-{\Gamma ^{r}}_{t\theta }{\Gamma ^{\theta }}_{rt}={{1} \over {2}}e^{\Phi -\Lambda }\Phi ^{'}{{1} \over {r}}\;$

(10.25)

${R^{\theta }}_{r\theta r}={{\partial {\Gamma ^{\theta }}_{rr}} \over {\partial x^{\phi }}}-{{\partial {\Gamma ^{\theta }}_{r\theta }} \over {\partial x^{r}}}+{\Gamma ^{r}}_{rr}{\Gamma ^{\theta }}_{r\theta }-{\Gamma ^{r}}_{r\theta }{\Gamma ^{\theta }}_{rr}={{1} \over {r^{2}}}+{{1} \over {2}}\Lambda ^{'}{{1} \over {r}}-{{1} \over {r^{2}}}={{1} \over {2}}{{\Lambda ^{'}} \over {r}}\;$

(10.26)

${R^{\theta }}_{\phi \theta \phi }={{\partial {\Gamma ^{\theta }}_{\phi \phi }} \over {\partial x^{\theta }}}-{{\partial {\Gamma ^{\theta }}_{\phi \theta }} \over {\partial x^{\phi }}}+{\Gamma ^{r}}_{\phi \phi }{\Gamma ^{\theta }}_{r\theta }-{\Gamma ^{r}}_{\phi \theta }{\Gamma ^{\theta }}_{r\phi }=-{{\partial \operatorname {ctg} \phi } \over {\partial \phi }}-re^{-\Lambda }{{1} \over {r}}-\operatorname {ctg} \phi \operatorname {ctg} ={{1} \over {\sin ^{2}\phi }}-e^{-\Lambda }-{{1-\sin ^{2}\phi } \over {\sin ^{2}\phi }}=\;$
$={{1-1+\sin ^{2}\phi } \over {\sin ^{2}\phi }}-e^{-\Lambda }=1-e^{-\Lambda }\;$

(10.27)

${R^{\phi }}_{t\phi t}={{\partial {\Gamma ^{\phi }}_{tt}} \over {\partial x^{\phi }}}-{{\partial {\Gamma ^{\phi }}_{t\phi }} \over {\partial x^{t}}}+{\Gamma ^{r}}_{tt}{\Gamma ^{\phi }}_{r\phi }-{\Gamma ^{r}}_{t\phi }{\Gamma ^{\phi }}_{rt}={{1} \over {2}}e^{\Phi -\Lambda }\Phi ^{'}{{1} \over {r}}\;$

(10.28)

${R^{\phi }}_{r\phi r}={{\partial {\Gamma ^{\phi }}_{rr}} \over {\partial x^{\phi }}}-{{\partial {\Gamma ^{\phi }}_{r\phi }} \over {\partial x^{r}}}+{\Gamma ^{r}}_{rr}{\Gamma ^{\phi }}_{r\phi }-{\Gamma ^{r}}_{r\phi }{\Gamma ^{\phi }}_{rr}=+{{1} \over {r^{2}}}+{{1} \over {2}}\Lambda ^{'}{{1} \over {r}}-{{1} \over {r^{2}}}={{1} \over {2}}\Lambda ^{'}{{1} \over {r}}\;$

(10.29)

Dalsze obliczenia tensorów krzywizny wynikającego z wcześniejszych obliczeń:

$R_{trr}=R_{rtrt}={R^{r}}_{trt}g_{rr}=-e^{\Lambda }{{1} \over {2}}e^{\Phi -\Lambda }\left(\Phi ^{''}+{{1} \over {2}}(\Phi ^{'})^{2}-{{1} \over {4}}\Phi ^{'}\Lambda ^{'}\right)=-{{1} \over {2}}e^{\Phi }\left(\Phi ^{''}+{{1} \over {2}}(\Phi ^{'})^{2}-{{1} \over {2}}\Phi ^{'}\Lambda ^{'}\right)\;$

(10.30)

${R^{t}}_{rtr}=g^{tt}R_{trtr}=-e^{-\Phi }{{1} \over {2}}e^{\Phi }\left(\Phi ^{''}+{{1} \over {2}}(\Phi ^{'})^{2}-{{1} \over {2}}\Phi ^{'}\Lambda ^{'}\right)=-{{1} \over {2}}\left(\Phi ^{''}+{{1} \over {2}}(\Phi ^{'})^{2}-{{1} \over {2}}\Phi ^{'}\Lambda ^{'}\right)\;$

(10.31)

$R_{\phi t\phi t}=g_{\phi \phi }{R^{\phi }}_{t\phi t}=-r^{2}{{1} \over {2}}e^{\Phi -\Lambda }\Phi ^{'}{{1} \over {r}}=-{{r} \over {2}}e^{\Phi -\Lambda }\Phi ^{'}\;$

(10.32)

${R^{t}}_{\phi t\phi }=g^{tt}R_{t\phi t\phi }=g^{tt}R_{\phi t\phi t}=e^{-\Phi }(-1){{r} \over {2}}e^{\Phi -\Lambda }\Phi ^{'}=-{{r} \over {2}}e^{-\Lambda }\Phi ^{'}\;$

(10.33)

$R_{\phi r\phi r}=g_{\phi \phi }{R^{\phi }}_{r\phi r}=-r^{2}{{1} \over {2}}\Lambda ^{'}{{1} \over {r}}=-{{r} \over {2}}\Lambda ^{'}\;$

(10.34)

${R^{r}}_{\phi r\phi }=g^{rr}R_{r\phi r\phi }=g^{rr}R_{\phi r\phi r}=-e^{-\Lambda }(-{{r} \over {2}}\Lambda ^{'})=e^{-\Lambda }{{r} \over {2}}\Lambda ^{'}\;$

(10.35)

$R_{\theta t\theta t}=g_{\theta \theta }{R^{\theta }}_{t\theta t}=-r^{2}\sin ^{2}\phi {{1} \over {2}}e^{\Phi -\Lambda }\Phi ^{'}{{1} \over {r}}=-{{r\sin ^{2}\phi } \over {2}}e^{\Phi -\Lambda }\Phi ^{'}$

(10.36)

${R^{t}}_{\theta t\theta }=g^{tt}R_{t\theta t\theta }=g^{tt}R_{\theta t\theta t}=e^{-\Phi }(-1){{r\sin ^{2}\phi } \over {2}}e^{\Phi -\Lambda }\Phi ^{'}=-{{r\sin ^{2}\phi } \over {2}}e^{-\Lambda }\Phi ^{'}$

(10.37)

$R_{\theta r\theta r}=g_{\theta \theta }{R^{\theta }}_{r\theta r}=-r^{2}\sin ^{2}\phi {{1} \over {2}}{{\Lambda ^{'}} \over {r}}=-{{r\sin ^{2}\phi } \over {2}}\Lambda ^{'}$

(10.38)

${R^{r}}_{\theta r\theta }=g^{rr}R_{r\theta r\theta }=g^{rr}R_{\theta r\theta r}=-e^{-\Lambda }(-1){{r\sin ^{2}\phi } \over {2}}\Lambda ^{'}=e^{-\Lambda }{{r\sin ^{2}\phi } \over {2}}\Lambda ^{'}$

(10.39)

$R_{\theta \phi \theta \phi }=g_{\theta \theta }{R^{\theta }}_{\phi \theta \phi }=-r^{2}\sin ^{2}\phi (1-e^{-\Lambda })$

(10.40)

${R^{\phi }}_{\theta \phi \theta }=g^{\phi \phi }R_{\phi \theta \phi \theta }=g^{\phi \phi }R_{\theta \phi \theta \phi }=-{{1} \over {r^{2}}}(-1)r^{2}\sin ^{2}\phi (1-e^{-\Lambda })=\sin ^{2}\phi (1-e^{-\Lambda })$

(10.41)

Następnym krokiem jest policzenie tensorów Ricciego:

$R_{tt}={R^{\alpha }}_{t\alpha t}={R^{t}}_{ttt}+{R^{r}}_{trt}+{R^{\theta }}_{t\theta t}+{R^{\phi }}_{t\phi t}=0+{{1} \over {2}}e^{\Phi -\Lambda }\left(\Phi ^{''}+{{1} \over {2}}(\Phi ^{'})^{2}-{{1} \over {2}}\Phi ^{'}\Lambda ^{'}\right)+{{1} \over {2}}e^{\Phi -\Lambda }\Phi ^{'}{{1} \over {r}}+{{1} \over {2}}e^{\Phi -\Lambda }\Phi ^{'}{{1} \over {r}}=$
$={{1} \over {2}}e^{\Phi -\Lambda }\left(\Phi ^{''}+{{1} \over {2}}(\Phi ^{'})^{2}-{{1} \over {2}}\Phi ^{'}\Lambda ^{'}+2{{\Phi ^{'}} \over {r}}\right)$

(10.42)

$R_{rr}={R^{\alpha }}_{r\alpha r}={R^{t}}_{rtr}+{R^{r}}_{rrr}+{R^{\theta }}_{r\theta r}+{R^{\phi }}_{r\phi r}=-{{1} \over {2}}\left(\Phi ^{''}+{{1} \over {2}}(\Phi ^{'})^{2}-{{1} \over {2}}\Phi ^{'}\Lambda ^{'}\right)+{{1} \over {2}}{{\Lambda ^{'}} \over {r}}+{{1} \over {2}}\Lambda ^{'}{{1} \over {r}}=\;$
$={{1} \over {2}}\left(-\Phi ^{''}-{{1} \over {2}}(\Phi ^{'})^{2}+{{1} \over {2}}\Phi ^{'}\Lambda ^{'}+2{{1} \over {r}}\Lambda ^{'}\right)$

(10.43)

$R_{\phi \phi }={R^{\alpha }}_{\phi \alpha \phi }={R^{t}}_{\phi t\phi }+{R^{r}}_{\phi r\phi }+{R^{\theta }}_{\phi \theta \phi }+{R^{\phi }}_{\phi \phi \phi }=-{{r} \over {2}}e^{-\Lambda }\Phi ^{'}+e^{-\Lambda }{{r} \over {2}}\Lambda ^{'}+1-e^{-\Lambda }=-{{r(\Phi ^{'}-\Lambda ^{'})} \over {2}}e^{-\Lambda }+1-e^{-\Lambda }$

(10.44)

$R_{\theta \theta }={R^{\alpha }}_{\theta \alpha \theta }={R^{t}}_{\theta t\theta }+{R^{r}}_{\theta r\theta }+{R^{\theta }}_{\theta \theta \theta }+{R^{\phi }}_{\theta \phi \theta }=-{{r\sin ^{2}\phi } \over {2}}e^{-\Lambda }\Phi ^{'}+e^{-\Lambda }{{r\sin ^{2}\phi } \over {2}}\Lambda ^{'}+\sin ^{2}\phi (1-e^{-\Lambda })=\;$
$=-{{r\sin ^{2}\phi } \over {2}}e^{-\Lambda }(\Phi ^{'}-\Lambda ^{'})+\sin ^{2}\phi (1-e^{-\Lambda })=\sin ^{2}\phi \left(-{{r(\Phi ^{'}-\Lambda ^{'})} \over {2}}e^{-\Lambda }+1-e^{-\Lambda }\right)=\sin ^{2}\phi R_{\phi \phi }$

(10.45)

Następnie policzymy skalar Ricciego:

$R={R^{t}}_{t}+{R^{r}}_{r}+{R^{\phi }}_{\phi }+{R^{\theta }}_{\theta }=g^{tt}R_{tt}+g^{rr}R_{rr}+g^{\theta \theta }R_{\theta \theta }+g^{\phi \phi }R_{\phi \phi }=e^{-\Phi }{{1} \over {2}}e^{\Phi -\Lambda }\left(\Phi ^{''}+{{1} \over {2}}(\Phi ^{'})^{2}-{{1} \over {2}}\Phi ^{'}\Lambda ^{'}+2{{\Phi ^{'}} \over {r}}\right)+\;$
$-e^{-\Lambda }{{1} \over {2}}\left(-\Phi ^{''}-{{1} \over {2}}(\Phi ^{'})^{2}+{{1} \over {2}}\Phi ^{'}\Lambda ^{'}+2{{1} \over {r}}\Lambda ^{'}\right)-{{1} \over {r^{2}\sin ^{2}\phi }}\sin ^{2}\phi \left(-{{r(\Phi ^{'}-\Lambda ^{'})} \over {2}}e^{-\Lambda }+1-e^{-\Lambda }\right)+\;$
$-{{1} \over {r^{2}}}\left(-{{r(\Phi ^{'}-\Lambda ^{'})} \over {2}}e^{-\Lambda }+1-e^{-\Lambda }\right)={{1} \over {2}}e^{-\Lambda }\left(2\Phi ^{''}+(\Phi ^{'})^{2}-\Phi ^{'}\Lambda ^{'}+2{{\Phi ^{'}-\Lambda ^{'}} \over {r}}\right)+{{(\Phi ^{'}-\Lambda ^{'})} \over {r}}e^{-\Lambda }-{{2(1-e^{-\Lambda })} \over {r^{2}}}=$
$=e^{-\Lambda }\left(\Phi ^{''}+{{1} \over {2}}(\Phi ^{'})^{2}-{{1} \over {2}}\Phi ^{'}\Lambda ^{'}+{{\Phi ^{'}-\Lambda ^{'}} \over {r}}\right)+{{\Phi ^{'}-\Lambda ^{'}} \over {r}}e^{-\Lambda }-2{{1-e^{-\Lambda }} \over {r^{2}}}$

(10.46)

Elementy tensora Einsteina

Wyznaczmy tylko diagonalne elementy tensora Einsteina, ponieważ wszystkie pozadiagonalne jego elementy znikają, że względu na to, że elementy tensora Ricciego i elementy tensora metrycznego mają diagonalne wyrazy, tzn.: niediagonalne wyrazy znikają.

$G_{tt}=R_{tt}-{{1} \over {2}}g_{tt}R={{1} \over {2}}e^{\Phi -\Lambda }\left(\Phi ^{''}+{{1} \over {2}}(\Phi ^{'})^{2}-{{1} \over {2}}\Phi ^{'}\Lambda ^{'}+2{{\Phi ^{'}} \over {r}}\right)-{{1} \over {2}}e^{\Phi }{\Bigg \{}e^{-\Lambda }\left(\Phi ^{''}+{{1} \over {2}}(\Phi ^{'})^{2}-{{1} \over {2}}\Phi ^{'}\Lambda ^{'}+{{\Phi ^{'}-\Lambda ^{'}} \over {r}}\right)+\;$

$+{{\Phi ^{'}-\Lambda ^{'}} \over {r}}e^{-\Lambda }-2{{1-e^{-\Lambda }} \over {r^{2}}}{\Bigg \}}={{1} \over {2}}e^{\Phi -\Lambda }\left({{\Phi ^{'}+\Lambda ^{'}-\Phi ^{'}+\Lambda ^{'}} \over {r}}\right)+{{1-e^{-\Lambda }} \over {r^{2}}}e^{\Phi }=e^{\Phi -\Lambda }{{\Lambda ^{'}} \over {r}}-{{e^{\Phi -\Lambda }} \over {r^{2}}}+{{1} \over {r^{2}}}e^{\Phi }=\;$

$={e^{\Phi -\Lambda }}\left({{\Lambda ^{'}} \over {r}}-{{1} \over {r^{2}}}\right)+{{1} \over {r^{2}}}e^{\Phi }={{1} \over {r^{2}}}e^{\Phi }{{d} \over {dr}}\left[r\left(1-e^{-\Lambda }\right)\right]\;$

(10.47)

$G_{rr}=R_{rr}-{{1} \over {2}}g_{rr}R={{1} \over {2}}\left(-\Phi ^{''}-{{1} \over {2}}(\Phi ^{'})^{2}+{{1} \over {2}}\Phi ^{'}\Lambda ^{'}+2{{1} \over {r}}\Lambda ^{'}\right)-{{1} \over {2}}(-1)e^{\Lambda }{\Bigg \{}e^{-\Lambda }\left(\Phi ^{'}+{{1} \over {2}}(\Phi ^{'})^{2}-{{1} \over {2}}\Phi ^{'}\Lambda ^{'}+{{\Phi ^{'}-\Lambda ^{'}} \over {r}}\right)+\;$
$+{{\phi ^{'}-\Lambda ^{'}} \over {r}}e^{-\Lambda }-2{{1-e^{-\Lambda }} \over {r^{2}}}{\Bigg \}}={{1} \over {2}}{{+2\Lambda ^{'}+\Phi ^{'}-\Lambda +\Phi ^{'}-\Lambda ^{'}} \over {r}}-{{e^{\Lambda }} \over {r^{2}}}+{{1} \over {r^{2}}}={{\Phi ^{'}} \over {r}}-{{e^{\Lambda }} \over {r^{2}}}+{{1} \over {r^{2}}}=-{{1} \over {r^{2}}}e^{\Lambda }\left(1-e^{-\Lambda }\right)+{{\Phi ^{'}} \over {r}}\;$

(10.48)

$G_{\phi \phi }=R_{\phi \phi }-{{1} \over {2}}g_{\phi \phi }R=-{{r(\Phi ^{'}-\Lambda ^{'})} \over {2}}e^{-\Lambda }+1-e^{-\Lambda }-{{1} \over {2}}(-r^{2}){\Bigg [}e^{-\Lambda }\left(\Phi ^{''}+{{1} \over {2}}(\Phi ^{'})^{2}-{{1} \over {2}}\Phi ^{'}\Lambda ^{'}+{{\Phi ^{'}-\Lambda ^{'}} \over {r}}\right)+{{\phi ^{'}-\Lambda ^{'}} \over {r}}e^{-\Lambda }+\;$
$-2{{1-e^{-\Lambda }} \over {r^{2}}}{\Bigg ]}={{r(-\Phi ^{'}+\Lambda ^{'}+\Phi ^{'}-\Lambda ^{'}+\Phi ^{'}-\Lambda ^{'})} \over {2}}e^{-\Lambda }+1-e^{-\Lambda }-1+e^{-\Lambda }+{{1} \over {2}}r^{2}e^{-\Lambda }\left(\Phi ^{''}+{{1} \over {2}}(\Phi ^{'})^{2}-{{1} \over {2}}\Phi ^{'}\Lambda ^{'}\right)=\;$
$={{1} \over {2}}r\left(\Phi ^{'}-\Lambda ^{'}\right)+{{1} \over {2}}r^{2}e^{-\Lambda }\left(\Phi ^{''}+{{1} \over {2}}(\Phi ^{'})^{2}-{{1} \over {2}}\Phi ^{'}\Lambda ^{'}\right)={{1} \over {2}}r^{2}e^{-\Lambda }\left(\Phi ^{''}+{{1} \over {2}}(\Phi ^{'})^{2}+{{\Phi ^{'}} \over {r}}-{{1} \over {2}}\Phi ^{'}\Lambda ^{'}-{{\Lambda ^{'}} \over {r}}\right)\;$

(10.49)

$G_{\theta \theta }=R_{\theta \theta }-{{1} \over {2}}g_{\theta \theta }R=\sin ^{2}\phi \left(-{{r(\Phi ^{'}-\Lambda ^{'})} \over {2}}e^{-\Lambda }+1-e^{-\Lambda }\right)+\;$

$-{{1} \over {2}}(-r^{2}\sin ^{2}\phi )\left\{e^{-\Lambda }\left(\Phi ^{''}+{{1} \over {2}}(\Phi ^{'})^{2}-{{1} \over {2}}\Phi ^{'}\Lambda ^{'}+{{\Phi ^{'}-\Lambda ^{'}} \over {r}}\right)+{{\phi ^{'}-\Lambda ^{'}} \over {r}}e^{-\Lambda }-2{{1-e^{-\Lambda }} \over {r^{2}}}\right\}=\;$

$=\sin ^{2}\phi {\Bigg [}{{r(-\Phi ^{'}+\Lambda ^{'}+\Phi ^{'}-\Lambda ^{'}+\Phi ^{'}-\Lambda ^{'})} \over {2}}e^{-\Lambda }+1-e^{-\Lambda }-1+e^{-\Lambda }+{{1} \over {2}}e^{-\Lambda }r^{2}\left(\Phi ^{''}+{{1} \over {2}}(\Phi ^{'})^{2}-{{1} \over {2}}\Phi ^{'}\Lambda ^{'}\right){\Bigg ]}=\;$
$={{1} \over {2}}r^{2}\sin ^{2}\phi e^{-\Lambda }\left(\Phi ^{''}+{{1} \over {2}}(\Phi ^{'})^{2}+{{\Phi ^{'}} \over {r}}-{{1} \over {2}}\Phi ^{'}\Lambda ^{'}-{{\Lambda ^{'}} \over {r}}\right)=\sin ^{2}\phi G_{\phi \phi }\;$

(10.50)

Statyczne równanie Einsteina z płynem doskonałym

Wyznaczmy elementy czterowektorów prędkości dla statycznego sferycznego doskonałego płynu, przy czym pamiętając że elementy przestrzenne tego tensora są zawsze równe zero, a element czasowy jest natomiast różny od zera:

$u_{t}=u^{t}g_{tt}={{dx^{t}} \over {ds}}e^{\Phi }={{cdt} \over {cdte^{{{1} \over {2}}\Phi }}}e^{\Phi }=e^{{{1} \over {2}}\Phi }\;$

(10.51)

$u_{r}=u_{\phi }=u_{\theta }=u^{i}g_{ij}={{dx^{i}} \over {ds}}g_{ij}=0\;$

(10.52)

Wyznaczmy wszystkie diagonalne elementy tensora gęstości energii w płynie doskonałym wedle sposobu:

$T_{tt}=(\rho c^{2}+p)u_{t}u_{t}-pg_{tt}=(\rho c^{2}+p)e^{\Phi }-pe^{\Phi }=\rho c^{2}e^{\Phi }\;$

(10.53)

$T_{rr}=(\rho c^{2}+p)u_{r}u_{r}-pg_{rr}=(\rho c^{2}+p)0+pe^{-\Lambda }=pe^{-\Lambda }\Rightarrow T_{rr}=g_{rr}g_{rr}T^{rr}=pe^{\Lambda }\;$

(10.54)

$T_{\phi \phi }=(\rho c^{2}+p)u_{\phi }u_{\phi }-pg_{\phi \phi }=-pg_{\phi \phi }=r^{2}p\;$

(10.55)

$T_{\theta \theta }=(\rho c^{2}+p)u_{\theta }u_{\theta }-pg_{\theta \theta }=-pg_{\theta \theta }=r^{2}p\sin ^{2}\phi =\sin ^{2}\phi T_{\phi \phi }\;$

(10.56)

Elementy niediagonalne podwójnie kowariantnego tensora gęstości energii jak można udowodnić są równe zero ze względu na to, że metryka posiada tylko diagonalne elementy tensora metrycznego i elementy czterowektora prędkości przestrzenne są zawsze równe zero.

Metryka na zewnątrz kulistej masy

Na zewnątrz kulistej masy mamy T_αβ=0, gęstość masy i ciśnienie w rozważanych punktach jest zaniedbywalnie małe, a zatem rozpatrzmy dwa równania wynikającego z równania tensorowego grawitacji Einsteina o dwóch takich samych wskaźnikach dolnych czasowych (tensor Einsteina jest zdefiniowany wedle (10.47) i radialnych (tensor Einsteina jest to wzór (10.48)), zatem nasze równania są w postaci:

${\begin{cases}G_{tt}=0\\G_{rr}=0\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}{e^{\Phi -\Lambda }}\left({{\Lambda ^{'}} \over {r}}-{{1} \over {r^{2}}}\right)+{{1} \over {r^{2}}}e^{\Phi }=0\\{{\Phi ^{'}} \over {r}}-{{e^{\Lambda }} \over {r^{2}}}+{{1} \over {r^{2}}}=0\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}{{\Lambda ^{'}} \over {r}}-{{1} \over {r^{2}}}+{{e^{\Lambda }} \over {r^{2}}}=0\\{{\Phi ^{'}} \over {r}}-{{e^{\Lambda }} \over {r^{2}}}+{{1} \over {r^{2}}}=0\end{cases}}\Rightarrow \Lambda ^{'}+\Phi ^{'}=0\;$

(10.57)

W powyższym równaniu, w którym występują funkcję zależne od r, czyli Λ(r) i Φ(r), która tam występują pochodne pierwszego rzędu i na podstawie tego suma tych funkcji jest wielkością stałą niezależną od jakikolwiek parametru, zatem zachodzi:

$\Lambda +\Phi =\operatorname {const}$

Ponieważ rozpatrujemy początek układu współrzędnych w którym znajduje się nasza gwiazda, zatem ta nasza rozważana stała jest równa zero, zatem powinno mieć miejsce równość:

$\Lambda +\Phi =0\Rightarrow \Lambda =-\Phi \;$

(10.58)

Obierzmy nową funkcję zależną od zmiennej r i zapisanej za pomocą parametru Λ i która ta funkcja jest zapisana wedle wzoru poniżej, i która jest zależna od promienia r od środka rozważanej gwiazdy:

$\gamma (r)={{1} \over {2}}r\left(1-e^{-\Lambda }\right)\;$

(10.59)

Wyprowadźmy z równania (10.59) parametr Λ i wyznaczmy jego pochodną względem parametru współrzędnej radialnej r:

${{2\gamma (r)} \over {r}}=1-e^{-\Lambda }\Rightarrow e^{\Lambda }={{1} \over {1-{{2\gamma (r)} \over {r}}}}\Rightarrow \Lambda =-\ln \left(1-{{2\gamma (r)} \over {r}}\right)\Rightarrow \Lambda ^{'}={{{2\gamma ^{'}(r)r-2\gamma (r)} \over {r^{2}}} \over {1-{{2\gamma (r)} \over {r}}}}\;$

(10.60)

Z obliczeń (10.60) otrzymujemy pochodną parametru Λ względem jej argumentu czyli promienia sferycznego r, tzn. ona jest zależna od funkcji γ(r) i pochodnej funkcji γ(r) względem zmiennej r, a te funkcje natomiast zależą od promienia radialnego r, zatem ta nasza pochodna funkcji Λ(r) jest zapisana:

$\Lambda ^{'}={{2\gamma ^{'}(r)r-2\gamma (r)} \over {r(r-2\gamma (r))}}$

(10.61)

Rozpatrzmy równanie Einsteina (1.63), w której parametr κ jest zdefiniowany wedle sposobu (7.46), zatem równanie wspomniane w tym zdaniu jako pierwsze jest równaniem zapisywanej w postaci wzoru dla wskaźników dolnych czasowych naszego równania:

$G_{tt}={{8\pi G} \over {c^{4}}}T_{tt}$

(10.62)

Po podstawieniu za G_tt wedle (10.47) i za T_tt wedle (10.53) w równaniu grawitacyjnym Einsteina dla wskaźników dolnych czasowych do (10.62), wtedy otrzymujemy tożsamość:

${e^{\Phi -\Lambda }}\left({{\Lambda ^{'}} \over {r}}-{{1} \over {r^{2}}}\right)+{{1} \over {r^{2}}}e^{\Phi }={{8\pi G} \over {c^{4}}}\rho c^{2}e^{\Phi }\Rightarrow e^{-\Lambda }\left({{\Lambda ^{'}} \over {r}}-{{1} \over {r^{2}}}\right)+{{1} \over {r^{2}}}={{8\pi G} \over {c^{2}}}\rho$

(10.63)

Ostatnie wyjściowe równanie pomnóżmy obustronnie przez wyrażenie r², wtedy dostajemy równość z którego wyznaczymy wyrażenie związane z różniczkę funkcji γ(r) w zależności od różniczki promienia sferycznego r i gęstości gwiazdy panujące w odległości od środka masy przy tym samym promieniu co wcześniej:

$e^{-\Lambda }\left(\Lambda ^{'}r-1\right)+1={{8\pi G} \over {c^{2}}}\rho r^{2}\Rightarrow {{(r-2\gamma (r))} \over {r}}\left({{2\gamma ^{'}(r)r-2\gamma (r)} \over {r(r-2\gamma (r))}}r-1\right)+1={{8\pi G} \over {c^{2}}}\rho r^{2}\Rightarrow \;$

$\Rightarrow {{r-2\gamma (r)} \over {r}}{{2\gamma ^{'}(r)r-2\gamma (r)-r+2\gamma (r)} \over {r-2\gamma (r)}}+1={{8\pi G} \over {c^{2}}}\rho r^{2}\Rightarrow {{2\gamma ^{'}(r)r-r} \over {r}}+1={{8\pi G} \over {c^{2}}}\rho r^{2}\Rightarrow \;$

$\Rightarrow {{2\gamma ^{'}(r)r-r+r} \over {r}}={{8\pi G} \over {c^{2}}}\rho r^{2}\Rightarrow 2\gamma ^{'}(r)={{8\pi G} \over {c^{2}}}\rho r^{2}\Rightarrow {{d\gamma (r)} \over {dr}}={{4\pi G} \over {c^{2}}}\rho r^{2}\Rightarrow {{d\gamma (r)c^{2}} \over {drG}}=4\pi \rho r^{2}\Rightarrow d\gamma (r){{c^{2}} \over {G}}=\rho 4\pi r^{2}dr$

(10.64)

Przecałkujmy obie strony ostatniego równania wynikowego względem promienia sferycznego r dla r>R i wiedząc, że zachodzi dla tego r (poza gwiazdą), tzn. ρ=0, zatem powinno dla jego całki zachodzić: $\int _{0}^{r}4\pi r^{2}\rho dr=M\;$, zatem funkcja γ(r), dla naszego rozważanego r>R jest funkcją stałą.

$\gamma (r)={{G} \over {c^{2}}}M$

(10.65)

Korzystając z wyrażenia (10.60), wtedy do wyrażenia na Λ podstawiamy za funkcję γ(r), który jest wyrażeniem (10.65), wtedy funkcję e^-Λ na podstawie już obliczonego wyrażenia na Λ przyjmuje bardzo prostą postać:

$e^{\Lambda }={{1} \over {1-{{2MG} \over {rc^{2}}}}}=e^{-\Phi }$

(10.66)

Wiedząc że zachodzi (10.58) (zależność na parametr Φ(r) w zależności od Λ(r)), a także ze wzoru na eksponens (10.66), którego wykładnikiem jest funkcja Λ(r), zatem w takim przypadku nasza metryka Schwarzschilda (10.5) przyjmuje bardzo prostą postać:

$ds^{2}=\left(1-{{r_{g}} \over {r}}\right)c^{2}dt^{2}-{{1} \over {1-{{r_{g}} \over {r}}}}dr^{2}-r^{2}d\Omega ^{2}$

(10.67)

• gdzie:$r_{g}={{2MG} \over {c^{2}}}$ i jest to promień Schwarzschilda, przy której prawa ogólnej teorii względności załamują się i taki obiekt staje się czarną dziurą, którego fotony lecące się z prędkością c, nie mogą pokonać grawitacji takiego obiektu, zatem nasza metryka Schwarzschilda jest zapisana:

$ds^{2}=\left(1-{{2MG} \over {rc^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}-{{1} \over {1-{{2MG} \over {rc^{2}}}}}dr^{2}-r^{2}d\Omega ^{2}$

(10.68)

Dla bardzo dużych odległości, tzn. r>>R, metryka powyższa przechodzi w coś podobnego do metryki słabego pola grawitacyjnego, wiedząc że: ${{1} \over {1-x}}\simeq 1+x$ oraz z podstaw o teorii grawitacji Newtona, wiemy że (7.60):

$ds^{2}=\left(1+{{2\varphi } \over {c^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}-\left(1-{{2\varphi } \over {c^{2}}}\right)dr^{2}-r^{2}d\Omega ^{2}$

(10.69)

co jest bardzo podobne do metryki słabego pola grawitacyjnego dla teorii grawitacji dla dużych odległości od źródła pola grawitacyjnego. Tylko jest mała różnica w trzecim składniku sumy w metryce (10.69). A wiec metryka Schwarzschilda dla dużych odległości od źródła pola grawitacyjnego zachowuje się prawie (z drobną różnicą powiedzianą wcześniej) jak metryka słabego pola grawitacyjnego pola Newtonowskiego.

Odległość radialna i czas własny w metryce Schwarzschilda

Czas własny w polu grawitacyjnym wedle wzoru (10.9) na podstawie już obliczonych tensorów metrycznych, którego parametry g_rr=-e^Λ i g_tt=e^Φ zawarte w macierzy tensora metrycznego (10.6):

$\tau =\int _{t_{1}}^{t_{2}}e^{{{1} \over {2}}\Phi (r(t))}dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {1-{{r_{g}} \over {r(t)}}}}dt\simeq {\sqrt {1-{{r_{g}} \over {r}}}}\Delta t$

(10.70)

Z powyższego rozważania, gdy r_g=r wynika, że czas w polu grawitacyjnym w horyzoncie zdarzeń płynie nieskończenie powoli dla Δt skończonego. Odległość radialna w polu grawitacyjnym wedle wzoru (10.8) wedle już obliczonego parametru (10.66) wyraża się:

$R=\int _{r_{1}}^{r_{2}}e^{{{1} \over {2}}\Lambda (r)}dr=\int _{r_{1}}^{r_{2}}{{1} \over {\sqrt {1-{{r_{g}} \over {r}}}}}dr\simeq {{1} \over {\sqrt {1-{{r_{g}} \over {r}}}}}\Delta r$

(10.71)

Z powyższego wzoru wynika, że dla r→ r_g, ale r>r_g, odległość radialna w polu grawitacyjnym jest nieskończenie duża względem układu lokalnie inercjalnego, którego odległość radialna współrzędnościowo jest skończona i wynosi Δ r. Widzimy, że czas (10.70) i odległość radialna (10.71), która jest mierzona przez obserwatora są równe czasowi i odległości współrzędnościowej dla bardzo dużego promienia współrzędnościowego.

Równania ruchu z płynem doskonałym

Zachowawczość tensora gęstości energii jest spełniona, gdy (1.60) rozpiszemy go z definicji pochodnej kowariantnej tensora energii-napięć:

$0={T^{\alpha \beta }}_{;\beta }={T^{\alpha \beta }}_{,\beta }+{\Gamma ^{\beta }}_{\mu \beta }T^{\alpha \mu }+{\Gamma ^{\alpha }}_{\beta \mu }T^{\beta \mu }$

(10.72)

Z diagonalizacji tensora gęstości energii, a także dla α≠ r, wynika, że powyższe prawo jest spełnione tożsamościowo, bo dla tych przypadków elementy tensora, który opisuje prawą stronę równania tensorowego (10.72) tożsamościowo są równe zero, ale dla przypadku α=r już tak nie jest, zatem zachodzi na podstawie takiego samego wspomnianego równania dla tego α:

$0={T^{r\beta }}_{;\beta }=(pe^{-\Lambda })_{,r}+\left({{1} \over {2}}\Phi ^{'}+{{1} \over {2}}\Lambda ^{'}+{{1} \over {r}}+{{1} \over {r}}\right)(pe^{-\Lambda })+{{1} \over {2}}e^{\Phi -\Lambda }\Phi ^{'}\rho _{0}c^{2}e^{-\Phi }+{{1} \over {2}}\Lambda ^{'}(pe^{-\Lambda })-re^{-\Lambda }r^{2}p\left(-{{1} \over {r^{2}}}\right)\left(-{{1} \over {r^{2}}}\right)+\;$
$-re^{-\Lambda }\sin ^{2}\phi r^{2}p\sin ^{2}\phi \left(-{{1} \over {r^{2}\sin ^{2}\phi }}\right)\left(-{{1} \over {r^{2}\sin ^{2}\phi }}\right)={{dp} \over {dr}}e^{-\Lambda }-pe^{-\Lambda }\Lambda ^{'}+{{1} \over {2}}\Phi ^{'}pe^{-\Lambda }+{{1} \over {2}}\Lambda ^{'}pe^{-\Lambda }+{{2} \over {r}}pe^{-\Lambda }+\;$
$+{{1} \over {2}}\rho _{0}c^{2}e^{-\Lambda }\Phi ^{'}+{{1} \over {2}}pe^{-\Lambda }\Lambda ^{'}-{{2p} \over {r}}e^{-\Lambda }=e^{-\Lambda }\left({{dp} \over {dr}}+{{1} \over {2}}\left(\rho _{0}c^{2}+p\right){{d\Phi } \over {dr}}\right)$

(10.73)

Po przekształceniach równości (10.73), wtedy dochodzimy do wniosku, że funkcja w nawiasie we wspomnianej równości jest zawsze równa zero, zatem w tak otrzymanym wyrażeniu przenosimy w nim składniki w tym równaniu na przeciwne strony:

$-2{{dp} \over {dr}}=\left(\rho _{0}c^{2}+p\right){{d\Phi } \over {dr}}$

(10.74)

Powyższe równanie opisuje, że jeśli mamy zmianę ciśnienia w zależności od promienia r, to możemy obliczyć funkcję Φ, zakładając jej ciągłość dla granicy r=R, bo rozwiązanie dla r>R dla funkcji Φ jest już znane.

Wnioski wynikające z równania Einsteina

Z równań tensorowych grawitacji Einsteina możemy napisać tylko dla wskaźników dolnych erowych i otrzymać następne inne równanie różniczkowe niż (10.74):

$G_{rr}={{8\pi G} \over {c^{4}}}T_{rr}\;$

(10.75)

Podstawiamy za G_rr (10.48) i za T_rr (10.54) do naszego równania grawitacji (10.75) dla obu wskaźników radialnych dolnych, które po tej operacji otrzymujemy tożsamość zapisaną:

$-{{1} \over {r^{2}}}e^{\Lambda }\left(1-e^{-\Lambda }\right)+{{\Phi ^{'}} \over {r}}={{8\pi G} \over {c^{4}}}pe^{\Lambda }\;$.

(10.76)

Wedle końcowego równania (10.64) możemy przestawić funkcję γ(r), którego jest zależna od promienia gwiazdy R, którą to funkcję γ(r) przestawimy w zależności od masy gwiazdy zawarta w promieniu mniejszym niż r:

$d\gamma (r){{c^{2}} \over {G}}=\rho 4\pi r^{2}dr\Rightarrow d\gamma (r){{c^{2}} \over {G}}=dm(r)\Rightarrow \gamma ={{G} \over {c^{2}}}m(r)\;$

(10.77)

Mając równanie (10.66) na funkcja eksponesu funkcji Λ i podstawiając do niego wzór (10.77), wtedy nas wspomniany eksponens funkcji Λ(r) wygląda wedle:

$e^{\Lambda }={{1} \over {1-{{2Gm(r)} \over {c^{2}r}}}}={{rc^{2}} \over {c^{2}r-2Gm(r)}}\;$

(10.78)

Przekształcamy nasze równanie Einsteina (10.76), tak by mieć w jednym miejscu funkcję Λ, by potem łatwo można by było podstawić eksponens funkcji Λ:

$-{{1} \over {r^{2}}}e^{\Lambda }+{{1} \over {r^{2}}}+{{\Phi ^{'}} \over {r}}={{8\pi G} \over {c^{4}}}pe^{\Lambda }\Rightarrow e^{\Lambda }\left({{8\pi G} \over {c^{4}}}p+{{1} \over {r^{2}}}\right)={{1} \over {r^{2}}}+{{\Phi ^{'}} \over {r}}\;$

(10.79)

Podstawmy do równania (10.79) wyrażenie na e^Λ napisane w punkcie (10.78), którą jest funkcją tylko promienia od środka gwiazdy, które pod to podstawienie przygotowaliśmy nasze wspomniane równanie:

${{c^{2}r} \over {c^{2}r-2Gm(r)}}{{8\pi Gpr^{2}+c^{4}} \over {c^{4}r^{2}}}={{1} \over {r^{2}}}+{{\Phi ^{'}} \over {r}}\Rightarrow {{c^{2}r^{2}} \over {c^{2}r-2Gm(r)}}{{8\pi Gpr^{2}+c^{4}} \over {c^{4}r^{2}}}-{{1} \over {r}}=\Phi ^{'}\Rightarrow {{8\pi Gpr^{2}+c^{4}} \over {c^{2}(c^{2}r-2Gm(r))}}-{{1} \over {r}}=\Phi ^{'}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{d\Phi } \over {dr}}={{8\pi Gpr^{3}+c^{4}r-c^{4}r+2Gc^{2}m(r)} \over {c^{2}r(c^{2}r-2Gm(r))}}\Rightarrow {{d\Phi } \over {dr}}={{8\pi Gpr^{3}+2Gc^{2}m(r)} \over {c^{2}r(c^{2}r-2Gm(r))}}\Rightarrow {{d\Phi } \over {dr}}=2G{{m(r)+{{4\pi } \over {c^{2}}}pr^{3}} \over {r(c^{2}r-2Gm(r))}}\;$

(10.80)

Z końcowych równanań (10.80) i z (10.74) i mając jakieś prawa równowagi danej gwiazdy statycznej możemy wyznaczyć Φ(r), p(r) i m(r), a na samym koniec obliczyć gęstość gwiazdy w zależności od jej promienia.