Ogólna teoria względności/Współrzędne Kruskala-Szekeresa

Współrzędne Kruskala-Szekeresa

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Metryka Kruskala-Szekeresa 2Definicja współrzędnych Kruskala-Szekeresa 3Czasoprzestrzeń we współrzędnych Kruskala-Szekeresa

Będziemy rozpatrywać metrykę Kruskera-Szekeresa, i udowodnimy, że nasza metryka przechodzi w metrykę Schwarzchilda, i na podstawie tego wyznaczymy równoważność współrzędnych w metryce Schwarzschilda i współrzędnych Kruskala-Szekeresa.

Metryka Kruskala-Szekeresa

W prowadźmy nowy rodzaj współrzędnych w postaci (U,V,θ,φ), tak by interwał czasoprzestrzenny przyjął postać:

$ds^{2}=-f(r)\left(dU^{2}-dV^{2}\right)-r^{2}d\Omega ^{2}\;$

(13.1)

Jest on zależny od zmiennej U, V, a także od położenia radialnego r i na końcu od dΩ², która jest różniczką zupełną zdefiniowana w (10.4), co jest równoważne po opuszczeniu nawiasów w metryce (13.1):

$ds^{2}=-f(r)dU^{2}+f(r)dV^{2}-r^{2}d\Omega ^{2}\;$

(13.2)

Należy zauważyć, że funkcja U=U(r,t), a także V=V(r,t) są funkcjami położenia radialnego r i czasu współrzędności-owego. Również "r" i "t" można przedstawić jako funkcję U i V.

Definicja współrzędnych Kruskala-Szekeresa

Mając już zdefiniowaną metrykę (13.2), wtedy można napisać współrzędne Kruskala-Szekeresa, dla dwóch współrzędnych U(r,t) i V(r,t) podaną dla dwóch przedziałów zmienności położenia radialnego ograniczonej promieniem Schwarzchilda :

Dla z przedziału zmiennej radialnej r∈(r_g,∞):

${\begin{cases}U=\pm \left({{r} \over {r_{g}}}-1\right)^{{1} \over {2}}e^{{r} \over {2r_{g}}}\cosh \left({{ct} \over {2r_{g}}}\right)\\V=\left({{r} \over {r_{g}}}-1\right)^{{1} \over {2}}e^{{r} \over {2r_{g}}}\sinh \left({{ct} \over {2r_{g}}}\right)\\\end{cases}}\;$

(13.3)

Dla przedziału zmiennej radialnej r∈(0,r_g)

${\begin{cases}U=\left(1-{{r} \over {r_{g}}}\right)^{{1} \over {2}}e^{{r} \over {2r_{g}}}\sinh \left({{ct} \over {2r_{g}}}\right)\\V=\pm \left(1-{{r} \over {r_{g}}}\right)^{{1} \over {2}}e^{{r} \over {2r_{g}}}\cosh \left({{ct} \over {2r_{g}}}\right)\\\end{cases}}$

(13.4)

Widzimy, że w punkcie dążącym do r=r_g, funkcje U i V wedle (13.3) i (13.4) są ciągłe i równe zero. Dla naszego f(r) wprowadzonego w metryce (13.2) zdefiniujmy jako funkcję zależną od promienia radialnego r:

$f(r)={{4r_{g}^{3}} \over {r}}e^{-{{r} \over {r_{g}}}}$

(13.5)

Następnie sprawdźmy, czy nasza metryką jest zgodna z naszymi obranymi współrzędnymi, czyli czy przechodzi w metrykę Schwarzchilda we współrzędnych kulistych, dla r>r_g policzmy kolejne pochodne. Pierwsze pochodna cząstkowa zmiennej U względem czasu współrzędnościowego piszemy:

${{\partial U} \over {\partial t}}=\pm \left({{r} \over {r_{g}}}-1\right)^{{1} \over {2}}e^{{r} \over {2r_{g}}}{{c} \over {2r_{g}}}\sinh \left({{ct} \over {2r_{g}}}\right)$

(13.6)

Pochodną cząstkową zmiennej V względem czasu t współrzędnościowego wyrażamy:

${{\partial V} \over {\partial t}}=\left({{r} \over {r_{g}}}-1\right)^{{1} \over {2}}e^{{r} \over {2r_{g}}}{{c} \over {2r_{g}}}\cosh \left({{ct} \over {2r_{g}}}\right)$

(13.7)

Pochodną cząstkową zmiennej V względem promienia r współrzędnościowego:

${{\partial U} \over {\partial r}}=\pm \cosh \left({{ct} \over {2r_{g}}}\right)\left({{1} \over {2r_{g}}}({{r} \over {r_{g}}}-1)^{-{{1} \over {2}}}e^{{r} \over {2r_{g}}}+{{1} \over {2r_{g}}}\left({{r} \over {r_{g}}}-1\right)^{{1} \over {2}}e^{{r} \over {2r_{g}}}\right)=\pm {{1} \over {2r_{g}}}e^{{r} \over {2r_{g}}}\cosh \left({{ct} \over {2r_{g}}}\right){{1+{{r} \over {r_{g}}}-1} \over {\left({{r} \over {r_{g}}}-1\right)^{{1} \over {2}}}}=\;$
$={{1} \over {2r_{g}}}e^{{r} \over {2r_{g}}}\cosh \left({{ct} \over {2r_{g}}}\right){{{r} \over {r_{g}}} \over {\left({{r} \over {r_{g}}}-1\right)^{{1} \over {2}}}}=\pm {{r} \over {2r_{g}^{2}}}e^{{r} \over {2r_{g}}}\cosh \left({{ct} \over {2r_{g}}}\right)\left({{r} \over {r_{g}}}-1\right)^{-{{1} \over {2}}}$

(13.8)

Podobnie liczmy pochodną zmiennej V względem położenia radialnego, czyli ${{\partial V} \over {\partial r}}$, stąd:

${{\partial V} \over {\partial r}}={{r} \over {2r_{g}^{2}}}e^{{r} \over {2r_{g}}}\sinh \left({{ct} \over {2r_{g}}}\right)\left({{r} \over {r_{g}}}-1\right)^{-{{1} \over {2}}}$

(13.9)

Wyznaczmy różniczkę zupełną dU z twierdzenia o różniczce zupełnej korzystając z już policzonych pochodnych cząstkowych zmiennej U względem czasu (13.6) i położenia radialnego (13.9):

$dU={{\partial U} \over {\partial t}}dt+{{\partial U} \over {\partial r}}dr=\pm \left({{r} \over {r_{g}}}-1\right)^{{1} \over {2}}e^{{r} \over {2r_{g}}}{{c} \over {2r_{g}}}\sinh \left({{ct} \over {2r_{g}}}\right)dt\pm {{r} \over {2r_{g}^{2}}}e^{{r} \over {2r_{g}}}\cosh \left({{ct} \over {2r_{g}}}\right)\left({{r} \over {r_{g}}}-1\right)^{-{{1} \over {2}}}dr$

(13.10)

A następnie policzmy różniczkę zupełną dV pdobnie jak w punkcie (13.10), ale tym razem korzystając z pochodnej zmiennej V względem czasu (13.8) i położenia radialnego (13.9):

$dV={{\partial V} \over {\partial t}}dt+{{\partial V} \over {dr}}dr=\left({{r} \over {r_{g}}}-1\right)^{{1} \over {2}}e^{{r} \over {2r_{g}}}{{c} \over {2r_{g}}}\cosh \left({{ct} \over {2r_{g}}}\right)dt+{{r} \over {2r_{g}^{2}}}e^{{r} \over {2r_{g}}}\sinh \left({{ct} \over {2r_{g}}}\right)\left({{r} \over {r_{g}}}-1\right)^{-{{1} \over {2}}}dr$

(13.11)

A na samym końcu policzmy różnice kwadratów różniczek zupełnych policzonych, tzn.: (13.10), (13.11):

$dU^{2}-dV^{2}=\left(\pm \left({{r} \over {r_{g}}}-1\right)^{{1} \over {2}}e^{{r} \over {2r_{g}}}{{c} \over {2r_{g}}}\sinh \left({{ct} \over {2r_{g}}}\right)dt\pm {{r} \over {2r_{g}^{2}}}e^{{r} \over {2r_{g}}}\cosh \left({{ct} \over {2r_{g}}}\right)\left({{r} \over {r_{g}}}-1\right)^{-{{1} \over {2}}}dr\right)^{2}+$
$-\left(\left({{r} \over {r_{g}}}-1\right)^{{1} \over {2}}e^{{r} \over {2r_{g}}}{{c} \over {2r_{g}}}\cosh \left({{ct} \over {2r_{g}}}\right)dt+{{r} \over {2r_{g}^{2}}}e^{{r} \over {2r_{g}}}\sinh \left({{ct} \over {2r_{g}}}\right)\left({{r} \over {r_{g}}}-1\right)^{-{{1} \over {2}}}dr\right)^{2}=-\left({{r} \over {r_{g}}}-1\right)e^{{r} \over {r_{g}}}{{c^{2}} \over {4r_{g}^{2}}}dt^{2}+\;$
$+{{r^{2}} \over {4r_{g}^{4}}}e^{{r} \over {r_{g}}}\left({{r} \over {r_{g}}}-1\right)^{-1}dr^{2}$

(13.12)

Policzmy wyrażenie w naszej metryce znając definicję funkcji f(r) (13.5) i policzoną przed chwilą różnicę kwadratów różniczek zupełnych (13.12), czyli:

$-f(r)(dU^{2}-dV^{2})=-{{4r_{g}^{3}} \over {r}}e^{-{{r} \over {r_{g}}}}\left[-\left({{r} \over {r_{g}}}-1\right)e^{{r} \over {r_{g}}}{{c^{2}} \over {4r_{g}^{2}}}dt^{2}+{{r^{2}} \over {4r_{g}^{4}}}e^{{r} \over {r_{g}}}\left({{r} \over {r_{g}}}-1\right)^{-1}dr^{2}\right]=(1-{{r_{g}} \over {r}})c^{2}dt^{2}-{{dr^{2}} \over {{{r_{g}} \over {r}}\left({{r} \over {r_{g}}}-1\right)}}=\;$
$=\left(1-{{r_{g}} \over {r}}\right)c^{2}dt^{2}-{{dr^{2}} \over {1-{{r} \over {r_{g}}}}}$

(13.13)

Naszą rozważaną metryką w zmiennych (t,r ,θ,φ) jest metryka Schwarzchilda, co dowodzi że metryka Kruskala-Szekeresa jest uogólnieniem metryki Schwarzchilda dla którego punktem osobliwym funkcji f(r) jest dla r=0, ale same funkcje U(r) i V(r) nie posiadają w sobie punktów osobliwych, a w metryce Schwarzchilda jest punkt:$r=r_{g}={{2GM} \over {c^{2}}}\;$, czyli doszliśmy do wniosku ostatnio, że metryka nasza tutaj rozważana przechodzi w metrykę Schwarzschilda zdefiniowanej w punkcie (10.67). Przypadek drugi (13.3) dla przypadku r<r_g, dowodzimy podobnie.

Czasoprzestrzeń we współrzędnych Kruskala-Szekeresa

(Rys. 13.1) Czasoprzestrzeń we współrzędnych Kruskala-Szekeresa

W czasoprzestrzeni we współrzędnych Kruskala-Szekersa jest podzielona na cztery obszary, górny i dolny, lewy i prawy. Na płaszczyźnie (U,V), każda linia odpowiada $t=\operatorname {const}$, Bowiem zachodzi po podzieleniu równań na U, V dla zmiennych (13.3) i zapisując je w postaci przekształconej:

$U=\pm \operatorname {ctgh} {{ct} \over {2r_{g}}}V$, dla $r>r_{g}$

(13.14)

A także dla tego samego zestawu zmiennej, ale dla innego przedziału zmienności zmiennej radialnej, czyli zachodzi po podzieleniu równań na U, V układu zmiennych (13.4) zapisując je w postaci przekształconej:

$U=\pm \operatorname {tgh} {{ct} \over {2r_{g}}}V$, dla $r<r_{g}$

(13.15)

A więc mamy prostą dla $t\;$ stałego, tzn.:$U=\operatorname {const} \cdot V$ na płaszczyźnie: $(U,V)$. Gdy $ct\rightarrow \infty$, to mamy:$\operatorname {tgh} {{ct} \over {2r_{g}}}\rightarrow 1$, wtedy mamy:$U=\pm V$, zaś gdy $ct=0$, to mamy:$\operatorname {tgh} {{ct} \over {2r_{g}}}=0$, a zatem otrzymujemy U=0. Ale mamy dwie proste przechodzące przez początek układu współrzędnych wedle równania, która przedstawia zależność zmiennej U od V, czyli według (13.14) lub (13.15), bo wtedy ma sens proporcjonalność zmiennej U od zmiennej V tylko dla czasów współrzędnościowych niezerowych w tej geometrii. W naszej metryce obszar po lewej jest jakoby świat 1, z prawej świat 2, a obszar górny i dolny dotyczą wnętrza czarnej dziury.