Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

[edytuj] Przestrzenie metryczne

W niniejszym rozdziale wprowadzimy pojęcia odległości i przestrzeni metrycznej, kuli, zbieżności ciągu, punktów wewnętrznych, izolowanych, punktów skupienia, zbiorów otwartych i domkniętych, funkcji ciągłej. Udowodnimy kilka podstawowych własności związanych z powyższymi pojęciami. Rozdział ten nie jest dogłębnym omówieniem przestrzeni metrycznych, a jedynie krótkim wprowadzeniem. Część istotnych własności przestrzeni metrycznych jest omówiona w dalszej części podręcznika.

[edytuj] Przestrzeń metryczna

[edytuj] Definicja

Odległością (lub: metryką) na zbiorze $X$ nazywamy każdą funkcję $d:X\times X\to\mathbb{R}$ spełniającą poniższe warunki:

$\forall_{x,y\in X}(d(x,y)=0\iff x=y)$
$\forall_{x,y\in X}d(x,y)=d(y,x)$
$\forall_{x,y,z\in X}d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)$

Warunek 3. nosi nazwę nierówności trójkąta.

Zauważmy, że z powyższych warunków wynika, iż $\forall_{x,y\in X}d(x,y)\geq 0$ . Gdyby bowiem istniały $x,y\in X$ takie, że $d (x, y) < 0$ , to byłoby: $0=d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x) < 0$ , co jest niemożliwe.

Przestrzenią metryczną nazywamy parę uporządkowaną $(X, d)$ , gdzie $X$ jest dowolnym zbiorem, zaś $d:X\times X\to \mathbb{R}$ jest metryką na zbiorze $X$ .

Ćwiczenie: Pokazać, że jeśli $d:X\times X\to\mathbb{R}$ jest metryką na $X$ oraz $Y\subseteq X$ , to $d|_{Y\times Y}$ jest metryką na zbiorze $Y$ (gdzie $f | A$ oznacza obcięcie funkcji $f$ do zbioru $A$ ).

Podprzestrzenią metryczną przestrzeni metrycznej $(X, d)$ wyznaczaną przez zbiór $Y\subseteq X$ nazywamy przestrzeń metryczną z powyższego ćwiczenia, tzn. przestrzeń $(Y,d|_{Y\times Y})$ .

Często, dla skrócenia zapisu, przestrzeń metryczną $(X, d)$ oznaczać będziemy po prostu przez $X$ , o ile nie będzie to prowadziło do niejasności.

[edytuj] Przykłady

Przestrzenią metryczną jest , gdzie d(x,y) = | x − y | dla dowolnych , zaś | x | oznacza wartość bezwzględną z x. Istotnie, dla każdych :
- $|x|=0\iff x=0$
- $| x - y | = | y - x |$
- $|x-y|+|y-z|\leq |(x-y)+(y-z)| = |x-z|$ .
Rozważmy iloczyn kartezjański $n$ kopii prostej rzeczywistej: $\mathbb{R}^n$ . Dla dowolnych $x=(x_1,\dots,x_n),y=(y_1,\dots,y_n)\in\mathbb{R}^n$ definiujemy $d(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}$ . W jednym z zadań do tego rozdziału udowodnimy, iż tak określona funkcja $d$ jest odległością. Nazywamy ją metryką euklidesową. Zauważmy, że dla $n = 1$ jest to metryka z przykładu 1., gdyż $|x|=\sqrt{x^2}$ .
W $\mathbb{R}^n$ możemy określić wiele innych metryk. Przykładowo, metryką maksimum nazywamy metrykę $d_{max}:\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ zadaną wzorem: $d_{max}(x,y)=\max\{|x_i-y_i|,i=1,\dots,n\}$ . Metryką miejską (taksówkową, Manhattan) nazywamy funkcję $d_{m}:\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ określoną $d_{m}(x,y)=\sum_{i=1}^{n}|x_i-y_i|$ .
Niech $X$ będzie dowolnym zbiorem. Rozważmy funkcję $d_d:X\times X\to\mathbb{R}$ określoną $d_d(x,y)=\left\{\begin{matrix}0&, x=y\\1&,x\not=y\end{matrix}\right.$ dla dowolnych $x,y\in X$ . Nietrudno sprawdzić, że jest to metryka, zwana metryką dyskretną (trywialną).
Rozważmy zbiór $C([a,b],\mathbb{R})$ funkcji ciągłych, określonych na odcinku domkniętym $[a, b]$ , o wartościach rzeczywistych. Dla $f,g\in C([a,b],\mathbb{R})$ definiujemy: $d_{sup}(f,g)=\sup_{x\in [a,b]}(f(x)-g(x))$ . Jest to metryka, zwana metryką supremum.

Więcej przykładów przestrzeni metrycznych Czytelnik znajdzie w zadaniach do tego rozdziału.

[edytuj] Kule

[edytuj] Definicje

Niech będą dane przestrzeń metryczna $(X, d)$ , $x\in X$ i $r\in\mathbb{R},r>0$ .

Kulą otwartą w przestrzeni $X$ o środku $x$ i promieniu $r$ nazywamy zbiór $B(x,r)=\{y\in X:d(x,y)<r\}$ .

Kulą domkniętą w przestrzeni $X$ o środku $x$ i promieniu $r$ nazywamy zbiór $D(x,r)=\{y\in X:d(x,y)\leq r\}$ .

[edytuj] Przykłady

W $\mathbb{R}^3$ z metryką euklidesową pojęcie kuli pokrywa się z intuicyjnym rozumieniem tego słowa. W $\mathbb{R}^2$ kulą otwartą jest koło, zaś w $\mathbb{R}$ odcinek otwarty o zadanym środku i promieniu.
W przestrzeni metrycznej dyskretnej $X$ : $B(x,r)=\left\{\begin{matrix}\{x\} &, r\leq 1 \\ X &, r>1\end{matrix}\right.$ .
Jednostkowa (tzn. o promieniu 1) kula otwarta o środku w punkcie (0,0) w $\mathbb{R}^2$ z metryką taksówkową jest przedstawiona na poniższym rysunku (zauważmy, że brzeg przedstawionej figury do niej nie należy):

Ćwiczenie: Narysować jednostkową kulę otwartą w $\mathbb{R}^2$ i $\mathbb{R}^3$ z metryką maksimum.
Ćwiczenie: Opisać kule domknięte w przestrzeniach z powyższych przykładów.

[edytuj] Ciągi w przestrzeniach metrycznych

[edytuj] Definicja

Niech $(X, d)$ będzie dowolną przestrzenią metryczną, zaś $(x_n)\in X^{\mathbb{N}}$ dowolnym ciągiem elementów zbioru $X$ .

Mówimy, że ciąg $(x n)$ jest zbieżny do granicy $g\in X$ (co zapisujemy symbolicznie $\lim_{n\to\infty}x_n=g$ lub $x_n\to g$ ), o ile $\forall_{\epsilon>0}\exists_{N\in\mathbb{N}}\forall_{n>N}d(x_n,g)\leq\epsilon$ .

[edytuj] Własności

Zauważmy, że definicję zbieżności ciągu możemy sformułować równoważnie: Ciąg $(x n)$ zbiega w $(X, d)$ do granicy $g\in X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ε > 0$ istnieje $N\in\mathbb{N}$ takie, że dla $n > N$ mamy: $x_n\in B(g,\epsilon)$ .
Co więcej, ponieważ kule otwarte o środku w $g$ są wyznaczane jednoznacznie przez swój promień, od ciągu zbieżnego możemy żądać, by dla każdej kuli $B$ o środku w $g$ istniało $N\in\mathbb{N}$ takie, że dla $n > N$ $x_n\in B$ .
Ćwiczenie: Wykazać, że jeżeli ciąg posiada granicę, to jest ona wyznaczona jednoznacznie.
Ćwiczenie: Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}x_n=g$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\lim_{n\to\infty}d(x_n,g)=0$ (tzn. gdy ciąg odległości $x n$ od $g$ zbiega do $0$ w $\mathbb{R}$ ).

[edytuj] Przykłady

Jeśli $(x n)$ jest ciągiem elementów przestrzeni metrycznej dyskretnej, to jest on zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest od pewnego miejsca ciągiem stałym (tzn. gdy istnieje takie $N\in\mathbb{N}$ , że dla każdego $n\geq N$ zachodzi $x n = x N$ ).
Niech $(x n)$ będzie ciągiem w $\mathbb{R}^m$ z metryką euklidesową. Przyjmijmy dla każdego $n\in\mathbb{N}$ oznaczenie: $x_n=(x^1_n,x^2_n,\dots,x^m_n)$ . Pokażemy, że $g=(g^1,\dots,g^m)\in\mathbb{R}^m$ jest granicą ciągu $(x n)$ dokładnie wtedy, gdy dla każdego $i=1,\dots,m$ zachodzi: $\lim_{n\to\infty}x^i_n=g^i$ , gdzie zbieżność ciągów $(x^i_n)$ rozważamy w $\mathbb{R}$ z metryką euklidesową.

Dowód:

[ $\leftarrow$ ] Przypuśćmy, że dla pewnego $i=1,\dots,m$ $\lim_{n\to\infty}x^i_n\not=g^i$ , to znaczy $\exists_{\epsilon>0}\forall_{N\in\mathbb{N}}\exists_{n\in\mathbb{N}}(n>N \land |x^i_n-g^i|>\epsilon)$ .

Zauważmy, że: $d(x_n,g)=\sqrt{\sum_{j=1}^m(x^j_n-g^j)^2}=\sqrt{\sum_{j=1}^m|x^j_n-g^j|^2}\geq\sqrt{|x^i_n-g^i|^2}=|x^i_n-g^i|$ .

Zatem: $\exists_{\epsilon>0}\forall_{N\in\mathbb{N}}\exists_{n\in\mathbb{N}}(n>N \land d(x_n-g)>\epsilon)$ , czyli $\lim_{n\to\infty}x_n\not=g$

[ $\rightarrow$ ] Wykażemy, że zachodzi implikacja w drugą stronę. Przypuśćmy, że dla każdego $i=1,\dots,m$ $\lim_{n\to\infty}x^i_n=g^i$ . Weźmy dowolny $ε > 0$ . Dla każdego $i=1,\dots,m$ istnieje $N_i\in\mathbb{N}$ takie, że $\forall_{n>N_i}|x^i_n-g_i|<\frac{\epsilon}{\sqrt{m}}$ . Niech $N=\max\{N_1,\dots,N_m\}$ . Wówczas: $\forall_{n>N}d(x_n,g)<\sqrt{\sum_{i=1}^m(\frac{\epsilon}{\sqrt{m}})^2}=\epsilon$ . Wobec dowolności $ε$ wykazaliśmy, że $\lim_{n\to\infty}x_n=g$ . $\square$

[edytuj] Punkty wewnętrzne, izolowane, skupienia

[edytuj] Definicje

Niech $(X, d)$ będzie przestrzenią metryczną, zaś $A\subseteq X$ .

Mówimy, że $x\in X$ jest:

Punktem wewnętrznym zbioru $A$ , o ile $\exists_{r>0}B(x,r)\subseteq A$ ;
Punktem skupienia zbioru $A$ , o ile $\forall_{r>0}\exists_{a\in A}0<d(x,a)<r$ ;
Punktem izolowanym zbioru $A$ , o ile $x\in A$ i $x$ nie jest punktem skupienia $A$ .

Zauważmy, że z powyższych definicji wynika, iż punkty izolowane i punkty wewnętrzne zbioru $A$ są jego elementami. Natomiast punkty skupienia zbioru $A$ nie muszą do niego należeć.

Zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru $A$ nazywamy pochodną zbioru $A$ i oznaczamy $A d$ .

Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru $A$ nazywamy wnętrzem $A$ i oznaczamy $\operatorname{Int}A$ .

Domknięciem zbioru $A$ nazywamy zbiór $\operatorname{Cl}A=A\cup A^d$ .

[edytuj] Własności

Niech $(X, d)$ będzie przestrzenią metryczną oraz $A\subseteq X$ .

Zauważmy, że definicję punktu skupienia można sformułować równoważnie: $x\in X$ jest punktem skupienia $A$ , jeżeli $\forall_{r>0}B(x,r)\cap A\setminus\{x\}\not=\emptyset$ .
Punkt $x\in X$ jest zatem punktem izolowanym zbioru $A$ , o ile $\exists_{r>0}B(x,r)\cap A=\{x\}$ .
Fakt, że $x$ jest punktem skupienia $A$ możemy też wyrazić korzystając z pojęcia zbieżności ciągu. Mianowicie: $x\in X$ jest punktem skupienia zbioru $A$ dokładnie wtedy, gdy istnieje ciąg $(x_n)\in (A\setminus\{x\})^\mathbb{N}$ (tzn. ciąg elementów $A$ różnych od $x$ ) taki, że $\lim_{n\to\infty}x_n=x$ .

Dowód:

[ $\leftarrow$ ]Załóżmy, że taki ciąg istnieje. Weźmy dowolny $ε > 0$ . Wówczas istnieje $N\in\mathbb{N}$ takie, że dla $n > N$ $x_n\in B(x,\epsilon)$ . Ponieważ $x_n\in A\setminus\{x\}$ , to $A\cap B(x,\epsilon)\not=\emptyset$ .

[ $\rightarrow$ ]Załóżmy teraz, że $x\in X$ jest punktem skupienia $A$ . Zdefiniujmy ciąg $A_n=\{a\in X:a\in A\cap B(x,\frac{1}{n+1})\setminus\{x\}\}$ . Z aksjomatu wyboru wynika, iż istnieje ciąg $(x n)$ taki, że $\forall_{n\in\mathbb{N}}x_n\in A_n$ . Nietrudno zauważyć, że $\lim_{n\to\infty}x_n=x$ . $\square$
W związku z powyższym faktem możemy zdefiniować domknięcie zbioru $A$ jako zbiór wszystkich granic ciągów zbieżnych w $X$ o wyrazach ze zbioru $A$ . Istotnie, jeśli $x\in\operatorname{Cl}A=A\cup A^d$ , to $x\in A$ i jest granicą ciągu stałego $x n = x$ , lub też $x\in A^d$ i z ostatniego faktu istnieje ciąg elementów $A$ zbieżny do $x$ .

[edytuj] Przykłady

Rozważmy zbiór $A=[0;1)\cup\{2\}\subseteq\mathbb{R}$ . $A d = [0;1]$ , $\operatorname{Int}A=(0;1)$ , $\operatorname{Cl}A=[0;1]\cup\{2\}$ , zaś jedynym punktem izolowanym w $A$ jest $2$ .
Rozważmy podprzestrzeń $\mathbb{R}$ wyznaczaną przez zbiór $A$ z powyższego przykładu. W tej przestrzeni $A d = [0;1)$ , $\operatorname{Int}A=\operatorname{Cl}A=[0;1)\cup\{2\}$ , zaś $2$ jest nadal punktem izolowanym. Zauważmy, że w tym przypadku $2$ jest jednocześnie punktem izolowanym i wewnętrznym.
Jeśli $X$ jest przestrzenią metryczną, to $\operatorname{Int}X=\operatorname{Cl}X=X$ .
Rozważmy zbiór $\mathbb{Q}$ jako podzbiór $\mathbb{R}$ z metryką euklidesową. Nietrudno sprawdzić, że $\operatorname{Int}\mathbb{Q}=\emptyset$ , $\operatorname{Cl}\mathbb{Q}=\mathbb{Q}^d=\mathbb{R}$ .
W przestrzeni metrycznej dyskretnej $X$ dla każdego $A\subseteq X$ mamy: $\operatorname{Int}A=\operatorname{Cl}A=A$ , zaś $A^d=\emptyset$ (tzn. każdy punkt $A$ jest izolowany).

[edytuj] Zbiory otwarte i domknięte

[edytuj] Definicje

Zbiorem otwartym w przestrzeni metrycznej $(X, d)$ nazywamy każdy taki zbiór $A\subseteq X$ , że $\operatorname{Int}A=A$ .

Zbiorem domkniętym w przestrzeni metrycznej $(X, d)$ nazywamy każdy taki zbiór $A\subseteq X$ , że $\operatorname{Cl}A=A$ .

[edytuj] Własności

Niech $(X, d)$ będzie przestrzenią metryczną oraz $A\subseteq X$ .

Bezpośrednio z definicji wnętrza wynika, że zbiór $A$ jest otwarty dokładnie wtedy, gdy każdy jego element jest jego punktem wewnętrznym.
Zbiór $A$ jest domknięty dokładnie wtedy, gdy dla każdego ciągu $(x_n)\subseteq A^\mathbb{N}$ zbieżnego w $X$ zachodzi: $\lim_{n\to\infty}x_n\in A$ .
Wynika to z (podanej jako własność 4. w poprzednim podrozdziale) równoważnej definicji domknięcia zbioru $A$ jako zbioru wszystkich granic ciągów zbieżnych o wyrazach z $A$ .
$A$ jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy $X\setminus A$ jest otwarty.

Dowód:

[ $\leftarrow$ ] Załóżmy, że $X\setminus A$ jest otwarty. Weźmy dowolny $x\in A\cup A^d$ . Stąd: $\forall_{\epsilon>0}\exist_{y\in B(x,\epsilon)}y\in A$ , zatem nie jest prawdą, że $\exists_{\epsilon>0}B(x,\epsilon)\subseteq X\setminus A$ , co oznacza, że $x\not\in \operatorname{Int}(X\setminus A)=X\setminus A$ . Zatem: $x\in A$ .

[ $\rightarrow$ ] Załóżmy teraz, że $A$ jest domknięty. Weźmy dowolny $x\in X\setminus A$ . Przypuśćmy, że $x$ nie jest punktem wewnętrznym $X\setminus A$ . Zatem: dla każdego $ε > 0$ istnieje $y\in B(x,\epsilon)$ taki, że $y\not\in X\setminus A$ , tzn. $y\in A$ . Wobec tego (ponieważ $y\not=x$ ) $x\in A^d\subseteq\operatorname{Cl}A=A$ . Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem $x\in X\setminus A$ . Zatem każdy $x\in X\setminus A$ musi być punktem wewnętrznym $X\setminus A$ , czyli $X\setminus A=\operatorname{Int}(X\setminus A)$ . $\square$
Wykażemy teraz trzy istotne własności zbiorów otwartych, które w kolejnym rozdziale posłużą nam do zdefiniowania przestrzeni topologicznej.
Niech oznacza rodzinę wszystkich podzbiorów otwartych przestrzeni metrycznej X. Wykażemy, że:
1. $X,\emptyset\in \mathcal{O}$
2. $\forall_{U_1,U_2,\dots,U_n\in\mathcal{O}}U_1\cap U_2\cap\dots\cap U_n\in\mathcal{O}$
3. $\forall_{\mathcal{V}\subseteq\mathcal{O}}\bigcup\mathcal{V}\in\mathcal{O}$ .
Dowód:

[1.] Oczywiste.

[2.] Jeśli $U_1\cap U_2\cap\dots\cap U_n=\emptyset$ , to teza jest prawdziwa (z 1.). Możemy więc założyć, że powyższy iloczyn zbiorów jest niepusty. Niech $x\in U_1\cap U_2\cap\dots\cap U_n$ . Ponieważ każdy ze zbiorów $U_i, i=1,\dots,n$ jest otwarty, to istnieją $\epsilon_1,\dots,\epsilon_n>0$ takie, że dla każdego $i=1,\dots,n$ $B(x,\epsilon_i)\subseteq U_i$ . Niech $\epsilon=\min\{\epsilon_i:i=1,\dots,n\}$ . Wówczas $B(x,\epsilon)\subseteq U_1\cap U_2\cap\dots\cap U_n$ , czyli $x\in\operatorname{Int}(U_1\cap U_2\cap\dots\cap U_n)$ . Wobec dowolności $x$ teza jest udowodniona.

[3.] Możemy założyć, że $\bigcup\mathcal{V}\not=\emptyset$ . Niech $x\in\bigcup\mathcal{V}$ . Wtedy istnieje $U\in\mathcal{V}$ taki, że $x\in U$ . $U$ jest otwarty, więc istnieje $ε > 0$ takie, że $B(x,\epsilon)\subseteq U\subseteq\bigcup\mathcal{V}$ . Zatem $x\in\operatorname{Int}\left(\bigcup\mathcal{V}\right)$ . Wobec dowolności $x$ teza jest udowodniona. $\square$
Każdy zbiór otwarty jest sumą pewnej rodziny kul otwartych o promieniach wymiernych.

Dowód:

Niech $U$ będzie zbiorem otwartym. Dla każdego $x\in U$ istnieje $ε x > 0$ takie, że $B(x,\epsilon_x)\subseteq U$ . Zauważmy, że istnieje $\delta_x\in\mathbb{Q}$ takie, że $0<\delta_x\leq\epsilon_x$ . Mamy zatem dla każdego $x\in U$ : $B(x,\delta_x)\subseteq U$ . Wobec tego: $\bigcup_{x\in U}B(x,\delta_x)\subseteq U$ . Ale również $U\subseteq\bigcup_{x\in U}B(x,\delta_x)$ . Dowód jest zakończony. $\square$

[edytuj] Przykłady

Kula otwarta jest zbiorem otwartym.

Dowód:

Niech $B = B (x, r)$ będzie kulą otwartą w przestrzeni $(X, d)$ o środku $x$ i promieniu $r > 0$ . Weźmy dowolny $y\in B$ . Niech $R = r - d (x, y)$ . Pokażemy, że $B(y,R)\subseteq B$ . Istotnie, z nierówności trójkąta, dla dowolnego $z\in B(y,R)$ mamy: $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)<d(x,y)+R=d(x,y)+r-d(x,y)=r$ . Zatem $z\in B(x,r)=B$ . $\square$
Ćwiczenie: Wykazać, że kula domknięta jest zbiorem domkniętym.
W każdej przestrzeni metrycznej $(X, d)$ zbiory $X$ i $\emptyset$ są jednocześnie otwarte i domknięte. Zbiory takie nazywamy otwarto-domkniętymi. W $\mathbb{R}$ z metryką euklidesową są to jedyne takie zbiory. Jednak na przykład w $\mathbb{Q}$ traktowanym jako podprzestrzeń $\mathbb{R}$ otwarto-domknięty jest zbiór $(-\sqrt{2},\sqrt{2})\cap\mathbb{Q}$ . Każdy podzbiór przestrzeni metrycznej dyskretnej jest otwarto-domknięty.
Zbiór $[0; 1)\subseteq\mathbb{R}$ nie jest ani otwarty, ani domknięty.

[edytuj] Funkcje ciągłe

[edytuj] Definicje

Funkcją ciągłą w punkcie $x\in X$ z przestrzeni metrycznej $(X, d)$ do przestrzeni mestrycznej $(Y,ρ)$ nazywamy każdą funkcję $f:X\to Y$ taką, że: $\forall_{\epsilon>0}\exists_{\delta>0}\forall_{y\in X}(d(x,y)<\delta\implies\rho(f(x),f(y))<\epsilon)$ .

Funkcją ciągłą (odwzorowaniem ciągłym) z przestrzeni metrycznej $(X, d)$ do przestrzeni mestrycznej $(Y,ρ)$ nazywamy funkcję $f:X\to Y$ ciągłą w każdym punkcie $x\in X$ .

[edytuj] Własności

Niech $(X, d),(Y,ρ)$ będą przestrzeniami metrycznymi.

Zauważmy, że korzystając z pojęcia kuli warunek ciągłości funkcji $f:X\to Y$ w punkcie $x\in X$ możemy zapisać: $\forall_{\epsilon>0}\exists_{\delta>0}\forall_{y\in X}[y\in B_X(x,\delta)\implies f(x)\in B_Y(f(x),\epsilon)]$ , czy też krócej: $\forall_{\epsilon>0}\exists_{\delta>0}f(B_X(x,\delta))\subseteq B_Y(f(x),\epsilon)$ (gdzie $B_X(\cdot,\cdot), B_Y(\cdot,\cdot)$ oznaczają kule otwarte odpowiednio w przestrzeniach $X, Y$ ).
Definicję ciągłości w punkcie można sformułować korzystając z pojęcia zbieżności ciągu. Mianowicie, funkcja $f:X\to Y$ jest ciągła w punkcie $x\in X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu $(x_n)\in X^{\mathbb{N}}$ zbieżnego w $(X, d)$ do $x$ zachodzi: $\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x)$ .

Dowód:

[ $\leftarrow$ ] Załóżmy, że spełniony jest powyższy warunek. Przypuśćmy, że $f$ nie jest ciągła. Znajdziemy zatem taki $ε > 0$ , że dla każdej $δ > 0$ istnieje $y_{\delta}\in X$ takie, że $d (x, y) < δ$ oraz $ρ(f (x), f (y δ)) > ε$ . Wobec tego możemy wybrać ciąg $(y_n)\in X^{\mathbb{N}}$ taki, że dla każdego $n\in\mathbb{N}$ : $d(x,y_n)<\frac{1}{n}$ oraz $ρ(f (x), f (y n)) > ε$ . Zauważmy, że $x_n\to x$ , ale $f(x_n)\not\to f(x)$ . Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem, zatem $f$ musi być ciągła.

[ $\rightarrow$ ] Załóżmy teraz, że $f:X\to Y$ jest ciągła. Weźmy dowolny ciąg $(x_n)\in X^{\mathbb{N}}$ taki, że $x_n\to x$ . Pokażemy, że $f(x_n)\to f(x)$ . Niech $ε > 0$ będzie dowolne. Z ciągłości $f$ istnieje $δ > 0$ taka, że dla dowolnego $y\in X$ jeśli $d (x, y) < δ$ , to $ρ(f (x), f (y)) < ε$ . Ponieważ $x_n\to x$ , to istnieje $N\in\mathbb{N}$ takie, że $d (x n, x) < δ$ dla wszystkich $n > N$ . Stąd $ρ(f (x n), f (x)) < ε$ dla $n > N$ . Wobec dowolności $ε$ teza jest udowodniona. $\square$
Definicję ciągłości można sformułować także korzystając z pojęcia zbioru otwartego. Fakt ten posłuży nam w rozdziale 3. do uogólnienia pojęcia odwzorowania ciągłego.
Funkcja $f:X\to Y$ jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru $U\subseteq Y$ otwartego w $Y$ , jego przeciwobraz $f - 1 (U)$ jest zbiorem otwartym w $X$ .

Dowód:

[ $\leftarrow$ ] Niech funkcja $f$ spełnia powyższy warunek. Wybierzmy dowolne $x\in X$ . Pokażemy, że $f$ jest ciągła w punkcie $x$ , co z dowolności jego wyboru oznaczało będzie ciągłość $f$ . Ustalmy $ε > 0$ . Niech $A = f - 1 (B Y (f (x),ε))$ . Z początkowego założenia wynika, że $A$ jest otwarty jako przeciwobraz kuli otwartej. Ponadto $x\in A$ , bo $f(x)\in B_Y(f(x),\epsilon)$ . Z otwartości $A$ wynika, że istnieje $δ > 0$ taka, że $B_X(x,\delta)\subseteq A$ . Zauważmy, że jeśli $y\in B_X(x,\delta)$ , to $y\in A=f^{-1}(B_Y(f(x),\epsilon))$ , zatem $f(y)\in B_Y(f(x),\epsilon)$ . Z dowolności $ε$ $f$ jest ciągła w $x$ .

[ $\rightarrow$ ] Niech $U\subseteq Y$ będzie zbiorem otwartym w $Y$ . Weźmy dowolny punkt $x\in f^{-1}(U)$ . Ponieważ $f(x)\in U$ i $U$ jest otwarty, istnieje $ε > 0$ taki, że $B_Y(f(x),\epsilon)\subseteq U$ . Z ciągłości $f$ wynika, że istnieje $δ > 0$ taka, że jeśli $y\in B_X(x,\delta)$ , to $f(y)\in B_Y(f(x),\epsilon)\subseteq U$ . Zatem $y\in f^{-1}(U)$ dla każdego $y\in B_X(x,\delta)$ , czyli $B_X(x,\delta)\subseteq f^{-1}(U)$ . $x$ jest zatem punktem wewnętrznym $f - 1 (U)$ , co z dowolności jego wyboru oznacza, że $f - 1 (U)$ jest otwarty w $X$ . $\square$

[edytuj] Przykłady

Niech $X$ będzie przestrzenią metryczną dyskretną, zaś $Y$ dowolną przestrzenią metryczną. Każda funkcja $f:X\to Y$ jest ciągła.
W dowolnej przestrzeni metrycznej $X$ funkcja identycznościowa $id_X:X\to X$ jest ciągła.
Dla ustalonej przestrzeni metrycznej $(X, d)$ i punktu $x\in X$ ciągła jest funkcja $d(x,\cdot):X\to\mathbb{R}$ , jeżeli w $\mathbb{R}$ przyjmiemy metrykę euklidesową.
Jeśli $x\in X$ jest punktem izolowanym przestrzeni $(X, d)$ , $(Y,ρ)$ jest przestrzenią metryczną, to dowolna funkcja $f:X\to Y$ jest ciągła w punkcie $x$ .
W z metryką euklidesową ciągłe są funkcje:
- $\sin(\cdot):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ,
- $(\cdot)^2:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ,
- $(\cdot)^{-1}:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}$ .