Topologia ogólna/Przestrzenie metryczne

Przestrzenie metryczne

W niniejszym rozdziale wprowadzimy pojęcia odległości i przestrzeni metrycznej, kuli, zbieżności ciągu, punktów wewnętrznych, izolowanych, punktów skupienia, zbiorów otwartych i domkniętych, funkcji ciągłej. Udowodnimy kilka podstawowych własności związanych z powyższymi pojęciami. Rozdział ten nie jest dogłębnym omówieniem przestrzeni metrycznych, a jedynie krótkim wprowadzeniem. Część istotnych własności przestrzeni metrycznych jest omówiona w dalszej części podręcznika.

Przestrzeń metryczna

Definicja

Odległością (lub: metryką) na zbiorze $X$ nazywamy każdą funkcję $d:X\times X\to \mathbb {R}$ spełniającą poniższe warunki:

1. $\forall _{x,y\in X}(d(x,y)=0\iff x=y)$
2. $\forall _{x,y\in X}d(x,y)=d(y,x)$
3. $\forall _{x,y,z\in X}d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)$

Warunek 3. nosi nazwę nierówności trójkąta.

Zauważmy, że z powyższych warunków wynika, iż $\forall _{x,y\in X}d(x,y)\geq 0$. Gdyby bowiem istniały $x,y\in X$ takie, że $d(x,y)<0$, to byłoby: $0=d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x)<0$, co jest niemożliwe.

Przestrzenią metryczną nazywamy parę uporządkowaną $(X,d)$, gdzie $X$ jest dowolnym zbiorem, zaś $d:X\times X\to \mathbb {R}$ jest metryką na zbiorze $X$.

• Ćwiczenie: Pokazać, że jeśli $d:X\times X\to \mathbb {R}$ jest metryką na $X$ oraz $Y\subseteq X$, to $d|_{Y\times Y}$ jest metryką na zbiorze $Y$ (gdzie $f|_{A}$ oznacza obcięcie funkcji $f$ do zbioru $A$).

Podprzestrzenią metryczną przestrzeni metrycznej $(X,d)$ wyznaczaną przez zbiór $Y\subseteq X$ nazywamy przestrzeń metryczną z powyższego ćwiczenia, tzn. przestrzeń $(Y,d|_{Y\times Y})$.

Często, dla skrócenia zapisu, przestrzeń metryczną $(X,d)$ oznaczać będziemy po prostu przez $X$, o ile nie będzie to prowadziło do niejasności.

Przykłady

1. Przestrzenią metryczną jest $(\mathbb {R} ,d)$, gdzie $d(x,y)=|x-y|$ dla dowolnych $x,y\in \mathbb {R}$, zaś $|x|$ oznacza wartość bezwzględną z $x$. Istotnie, dla każdych $x,y,z\in \mathbb {R}$:
   • $|x|=0\iff x=0$
   • $|x-y|=|y-x|$
   • $|x-y|+|y-z|\geq |(x-y)+(y-z)|=|x-z|$.
2. Rozważmy iloczyn kartezjański $n$ kopii prostej rzeczywistej: $\mathbb {R} ^{n}$. Dla dowolnych $x=(x_{1},\dots ,x_{n}),y=(y_{1},\dots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ definiujemy $d(x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}$. W jednym z zadań do tego rozdziału udowodnimy, iż tak określona funkcja $d$ jest odległością. Nazywamy ją metryką euklidesową. Zauważmy, że dla $n=1$ jest to metryka z przykładu 1., gdyż $|x|={\sqrt {x^{2}}}$.
3. W $\mathbb {R} ^{n}$ możemy określić wiele innych metryk. Przykładowo, metryką maksimum nazywamy metrykę $d_{max}:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ zadaną wzorem: $d_{max}(x,y)=\max\{|x_{i}-y_{i}|,i=1,\dots ,n\}$. Metryką miejską (taksówkową, Manhattan) nazywamy funkcję $d_{m}:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ określoną $d_{m}(x,y)=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|$.
4. Niech $X$ będzie dowolnym zbiorem. Rozważmy funkcję $d_{d}:X\times X\to \mathbb {R}$ określoną $d_{d}(x,y)=\left\{{\begin{matrix}0&,x=y\\1&,x\not =y\end{matrix}}\right.$ dla dowolnych $x,y\in X$. Nietrudno sprawdzić, że jest to metryka, zwana metryką dyskretną (trywialną).
5. Rozważmy zbiór $C([a,b],\mathbb {R} )$ funkcji ciągłych, określonych na odcinku domkniętym $[a,b]$, o wartościach rzeczywistych. Dla $f,g\in C([a,b],\mathbb {R} )$ definiujemy: $d_{sup}(f,g)=\sup _{x\in [a,b]}(f(x)-g(x))$. Jest to metryka, zwana metryką supremum.

Więcej przykładów przestrzeni metrycznych Czytelnik znajdzie w zadaniach do tego rozdziału.

Kule

Definicje

Niech będą dane przestrzeń metryczna $(X,d)$, $x\in X$ i $r\in \mathbb {R} ,r>0$.

Kulą otwartą w przestrzeni $X$ o środku $x$ i promieniu $r$ nazywamy zbiór $B(x,r)=\{y\in X:d(x,y)<r\}$.

Kulą domkniętą w przestrzeni $X$ o środku $x$ i promieniu $r$ nazywamy zbiór $D(x,r)=\{y\in X:d(x,y)\leq r\}$.

Przykłady

1. W $\mathbb {R} ^{3}$ z metryką euklidesową pojęcie kuli pokrywa się z intuicyjnym rozumieniem tego słowa. W $\mathbb {R} ^{2}$ kulą otwartą jest koło, zaś w $\mathbb {R}$ odcinek otwarty o zadanym środku i promieniu.
2. W przestrzeni metrycznej dyskretnej $X$: $B(x,r)=\left\{{\begin{matrix}\{x\}&,r\leq 1\\X&,r>1\end{matrix}}\right.$.
3. Jednostkowa (tzn. o promieniu 1) kula otwarta o środku w punkcie (0,0) w $\mathbb {R} ^{2}$ z metryką taksówkową jest przedstawiona na poniższym rysunku (zauważmy, że brzeg przedstawionej figury do niej nie należy):

• Ćwiczenie: Narysować jednostkową kulę otwartą w $\mathbb {R} ^{2}$ i $\mathbb {R} ^{3}$ z metryką maksimum.
• Ćwiczenie: Opisać kule domknięte w przestrzeniach z powyższych przykładów.

Ciągi w przestrzeniach metrycznych

Definicja

Niech $(X,d)$ będzie dowolną przestrzenią metryczną, zaś $(x_{n})\in X^{\mathbb {N} }$ dowolnym ciągiem elementów zbioru $X$.

Mówimy, że ciąg $(x_{n})$ jest zbieżny do granicy $g\in X$ (co zapisujemy symbolicznie $\lim _{n\to \infty }x_{n}=g$ lub $x_{n}\to g$ ), o ile $\forall _{\epsilon >0}\exists _{N\in \mathbb {N} }\forall _{n>N}d(x_{n},g)\leq \epsilon$.

Własności

1. Zauważmy, że definicję zbieżności ciągu możemy sformułować równoważnie: Ciąg $(x_{n})$ zbiega w $(X,d)$ do granicy $g\in X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $\epsilon >0$ istnieje $N\in \mathbb {N}$ takie, że dla $n>N$ mamy: $x_{n}\in B(g,\epsilon )$.
2. Co więcej, ponieważ kule otwarte o środku w $g$ są wyznaczane jednoznacznie przez swój promień, od ciągu zbieżnego możemy żądać, by dla każdej kuli $B$ o środku w $g$ istniało $N\in \mathbb {N}$ takie, że dla $n>N$ $x_{n}\in B$.

• Ćwiczenie: Wykazać, że jeżeli ciąg posiada granicę, to jest ona wyznaczona jednoznacznie.
• Ćwiczenie: Wykazać, że $\lim _{n\to \infty }x_{n}=g$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\lim _{n\to \infty }d(x_{n},g)=0$ (tzn. gdy ciąg odległości $x_{n}$ od $g$ zbiega do $0$ w $\mathbb {R}$).

Przykłady

1. Jeśli $(x_{n})$ jest ciągiem elementów przestrzeni metrycznej dyskretnej, to jest on zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest od pewnego miejsca ciągiem stałym (tzn. gdy istnieje takie $N\in \mathbb {N}$, że dla każdego $n\geq N$ zachodzi $x_{n}=x_{N}$).
2. Niech $(x_{n})$ będzie ciągiem w $\mathbb {R} ^{m}$ z metryką euklidesową. Przyjmijmy dla każdego $n\in \mathbb {N}$ oznaczenie: $x_{n}=(x_{n}^{1},x_{n}^{2},\dots ,x_{n}^{m})$. Pokażemy, że $g=(g^{1},\dots ,g^{m})\in \mathbb {R} ^{m}$ jest granicą ciągu $(x_{n})$ dokładnie wtedy, gdy dla każdego $i=1,\dots ,m$ zachodzi: $\lim _{n\to \infty }x_{n}^{i}=g^{i}$, gdzie zbieżność ciągów $(x_{n}^{i})$ rozważamy w $\mathbb {R}$ z metryką euklidesową.

   Dowód:

   [$\leftarrow$] Przypuśćmy, że dla pewnego $i=1,\dots ,m$ $\lim _{n\to \infty }x_{n}^{i}\not =g^{i}$, to znaczy $\exists _{\epsilon >0}\forall _{N\in \mathbb {N} }\exists _{n\in \mathbb {N} }(n>N\land |x_{n}^{i}-g^{i}|>\epsilon )$.

   Zauważmy, że: $d(x_{n},g)={\sqrt {\sum _{j=1}^{m}(x_{n}^{j}-g^{j})^{2}}}={\sqrt {\sum _{j=1}^{m}|x_{n}^{j}-g^{j}|^{2}}}\geq {\sqrt {|x_{n}^{i}-g^{i}|^{2}}}=|x_{n}^{i}-g^{i}|$.

   Zatem: $\exists _{\epsilon >0}\forall _{N\in \mathbb {N} }\exists _{n\in \mathbb {N} }(n>N\land d(x_{n}-g)>\epsilon )$, czyli $\lim _{n\to \infty }x_{n}\not =g$

   [$\rightarrow$] Wykażemy, że zachodzi implikacja w drugą stronę. Przypuśćmy, że dla każdego $i=1,\dots ,m$ $\lim _{n\to \infty }x_{n}^{i}=g^{i}$. Weźmy dowolny $\epsilon >0$. Dla każdego $i=1,\dots ,m$ istnieje $N_{i}\in \mathbb {N}$ takie, że $\forall _{n>N_{i}}|x_{n}^{i}-g_{i}|<{\frac {\epsilon }{\sqrt {m}}}$. Niech $N=\max\{N_{1},\dots ,N_{m}\}$. Wówczas: $\forall _{n>N}d(x_{n},g)<{\sqrt {\sum _{i=1}^{m}({\frac {\epsilon }{\sqrt {m}}})^{2}}}=\epsilon$. Wobec dowolności $\epsilon$ wykazaliśmy, że $\lim _{n\to \infty }x_{n}=g$.$\square$

Punkty wewnętrzne, izolowane, skupienia

Definicje

Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną, zaś $A\subseteq X$.

Mówimy, że $x\in X$ jest:

• Punktem wewnętrznym zbioru $A$, o ile $\exists _{r>0}B(x,r)\subseteq A$;
• Punktem skupienia zbioru $A$, o ile $\forall _{r>0}\exists _{a\in A}0<d(x,a)<r$;
• Punktem izolowanym zbioru $A$, o ile $x\in A$ i $x$ nie jest punktem skupienia $A$.

Zauważmy, że z powyższych definicji wynika, iż punkty izolowane i punkty wewnętrzne zbioru $A$ są jego elementami. Natomiast punkty skupienia zbioru $A$ nie muszą do niego należeć.

Zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru $A$ nazywamy pochodną zbioru $A$ i oznaczamy $A^{d}$.

Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru $A$ nazywamy wnętrzem $A$ i oznaczamy $\operatorname {Int} A$.

Domknięciem zbioru $A$ nazywamy zbiór $\operatorname {Cl} A=A\cup A^{d}$.

Własności

Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną oraz $A\subseteq X$.

1. Zauważmy, że definicję punktu skupienia można sformułować równoważnie: $x\in X$ jest punktem skupienia $A$, jeżeli $\forall _{r>0}B(x,r)\cap A\setminus \{x\}\not =\emptyset$.
2. Punkt $x\in X$ jest zatem punktem izolowanym zbioru $A$, o ile $\exists _{r>0}B(x,r)\cap A=\{x\}$.
3. Fakt, że $x$ jest punktem skupienia $A$ możemy też wyrazić korzystając z pojęcia zbieżności ciągu. Mianowicie: $x\in X$ jest punktem skupienia zbioru $A$ dokładnie wtedy, gdy istnieje ciąg $(x_{n})\in (A\setminus \{x\})^{\mathbb {N} }$ (tzn. ciąg elementów $A$ różnych od $x$) taki, że $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x$.

   Dowód:

   [$\leftarrow$]Załóżmy, że taki ciąg istnieje. Weźmy dowolny $\epsilon >0$. Wówczas istnieje $N\in \mathbb {N}$ takie, że dla $n>N$ $x_{n}\in B(x,\epsilon )$. Ponieważ $x_{n}\in A\setminus \{x\}$, to $A\cap B(x,\epsilon )\not =\emptyset$.

   [$\rightarrow$]Załóżmy teraz, że $x\in X$ jest punktem skupienia $A$. Zdefiniujmy ciąg $A_{n}=\{a\in X:a\in A\cap B(x,{\frac {1}{n+1}})\setminus \{x\}\}$. Z aksjomatu wyboru wynika, iż istnieje ciąg $(x_{n})$ taki, że $\forall _{n\in \mathbb {N} }x_{n}\in A_{n}$. Nietrudno zauważyć, że $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x$. $\square$

4. W związku z powyższym faktem możemy zdefiniować domknięcie zbioru $A$ jako zbiór wszystkich granic ciągów zbieżnych w $X$ o wyrazach ze zbioru $A$. Istotnie, jeśli $x\in \operatorname {Cl} A=A\cup A^{d}$, to $x\in A$ i jest granicą ciągu stałego $x_{n}=x$, lub też $x\in A^{d}$ i z ostatniego faktu istnieje ciąg elementów $A$ zbieżny do $x$.

Przykłady

1. Rozważmy zbiór $A=[0;1)\cup \{2\}\subseteq \mathbb {R}$. $A^{d}=[0;1]$, $\operatorname {Int} A=(0;1)$, $\operatorname {Cl} A=[0;1]\cup \{2\}$, zaś jedynym punktem izolowanym w $A$ jest $2$.
2. Rozważmy podprzestrzeń $\mathbb {R}$ wyznaczaną przez zbiór $A$ z powyższego przykładu. W tej przestrzeni $A^{d}=[0;1)$,$\operatorname {Int} A=\operatorname {Cl} A=[0;1)\cup \{2\}$, zaś $2$ jest nadal punktem izolowanym. Zauważmy, że w tym przypadku $2$ jest jednocześnie punktem izolowanym i wewnętrznym.
3. Jeśli $X$ jest przestrzenią metryczną, to $\operatorname {Int} X=\operatorname {Cl} X=X$.
4. Rozważmy zbiór $\mathbb {Q}$ jako podzbiór $\mathbb {R}$ z metryką euklidesową. Nietrudno sprawdzić, że $\operatorname {Int} \mathbb {Q} =\emptyset$, $\operatorname {Cl} \mathbb {Q} =\mathbb {Q} ^{d}=\mathbb {R}$.
5. W przestrzeni metrycznej dyskretnej $X$ dla każdego $A\subseteq X$ mamy: $\operatorname {Int} A=\operatorname {Cl} A=A$, zaś $A^{d}=\emptyset$ (tzn. każdy punkt $A$ jest izolowany).

Zbiory otwarte i domknięte

Definicje

Zbiorem otwartym w przestrzeni metrycznej $(X,d)$ nazywamy każdy taki zbiór $A\subseteq X$, że $\operatorname {Int} A=A$.

Zbiorem domkniętym w przestrzeni metrycznej $(X,d)$ nazywamy każdy taki zbiór $A\subseteq X$, że $\operatorname {Cl} A=A$.

Własności

Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną oraz $A\subseteq X$.

1. Bezpośrednio z definicji wnętrza wynika, że zbiór $A$ jest otwarty dokładnie wtedy, gdy każdy jego element jest jego punktem wewnętrznym.
2. Zbiór $A$ jest domknięty dokładnie wtedy, gdy dla każdego ciągu $(x_{n})\subseteq A^{\mathbb {N} }$ zbieżnego w $X$ zachodzi: $\lim _{n\to \infty }x_{n}\in A$.
   Wynika to z (podanej jako własność 4. w poprzednim podrozdziale) równoważnej definicji domknięcia zbioru $A$ jako zbioru wszystkich granic ciągów zbieżnych o wyrazach z $A$.
3. $A$ jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy $X\setminus A$ jest otwarty.

   Dowód:

   [$\leftarrow$] Załóżmy, że $X\setminus A$ jest otwarty. Weźmy dowolny $x\in A\cup A^{d}$. Stąd: $\forall _{\epsilon >0}\exists _{y\in B(x,\epsilon )}y\in A$, zatem nie jest prawdą, że $\exists _{\epsilon >0}B(x,\epsilon )\subseteq X\setminus A$, co oznacza, że $x\not \in \operatorname {Int} (X\setminus A)=X\setminus A$. Zatem: $x\in A$.

   [$\rightarrow$] Załóżmy teraz, że $A$ jest domknięty. Weźmy dowolny $x\in X\setminus A$. Przypuśćmy, że $x$ nie jest punktem wewnętrznym $X\setminus A$. Zatem: dla każdego $\epsilon >0$ istnieje $y\in B(x,\epsilon )$ taki, że $y\not \in X\setminus A$, tzn. $y\in A$. Wobec tego (ponieważ $y\not =x$) $x\in A^{d}\subseteq \operatorname {Cl} A=A$. Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem $x\in X\setminus A$. Zatem każdy $x\in X\setminus A$ musi być punktem wewnętrznym $X\setminus A$, czyli $X\setminus A=\operatorname {Int} (X\setminus A)$. $\square$

4. Wykażemy teraz trzy istotne własności zbiorów otwartych, które w kolejnym rozdziale posłużą nam do zdefiniowania przestrzeni topologicznej.
   Niech ${\mathcal {O}}$ oznacza rodzinę wszystkich podzbiorów otwartych przestrzeni metrycznej $X$. Wykażemy, że:
   1. $X,\emptyset \in {\mathcal {O}}$
   2. $\forall _{U_{1},U_{2},\dots ,U_{n}\in {\mathcal {O}}}U_{1}\cap U_{2}\cap \dots \cap U_{n}\in {\mathcal {O}}$
   3. $\forall _{{\mathcal {V}}\subseteq {\mathcal {O}}}\bigcup {\mathcal {V}}\in {\mathcal {O}}$.

   Dowód:

   [1.] Oczywiste.

   [2.] Jeśli $U_{1}\cap U_{2}\cap \dots \cap U_{n}=\emptyset$, to teza jest prawdziwa (z 1.). Możemy więc założyć, że powyższy iloczyn zbiorów jest niepusty. Niech $x\in U_{1}\cap U_{2}\cap \dots \cap U_{n}$. Ponieważ każdy ze zbiorów $U_{i},i=1,\dots ,n$ jest otwarty, to istnieją $\epsilon _{1},\dots ,\epsilon _{n}>0$ takie, że dla każdego $i=1,\dots ,n$ $B(x,\epsilon _{i})\subseteq U_{i}$. Niech $\epsilon =\min\{\epsilon _{i}:i=1,\dots ,n\}$. Wówczas $B(x,\epsilon )\subseteq U_{1}\cap U_{2}\cap \dots \cap U_{n}$, czyli $x\in \operatorname {Int} (U_{1}\cap U_{2}\cap \dots \cap U_{n})$. Wobec dowolności $x$ teza jest udowodniona.

   [3.] Możemy założyć, że $\bigcup {\mathcal {V}}\not =\emptyset$. Niech $x\in \bigcup {\mathcal {V}}$. Wtedy istnieje $U\in {\mathcal {V}}$ taki, że $x\in U$. $U$ jest otwarty, więc istnieje $\epsilon >0$ takie, że $B(x,\epsilon )\subseteq U\subseteq \bigcup {\mathcal {V}}$. Zatem $x\in \operatorname {Int} \left(\bigcup {\mathcal {V}}\right)$. Wobec dowolności $x$ teza jest udowodniona. $\square$

5. Każdy zbiór otwarty jest sumą pewnej rodziny kul otwartych o promieniach wymiernych.

   Dowód:

   Niech $U$ będzie zbiorem otwartym. Dla każdego $x\in U$ istnieje $\epsilon _{x}>0$ takie, że $B(x,\epsilon _{x})\subseteq U$. Zauważmy, że istnieje $\delta _{x}\in \mathbb {Q}$ takie, że $0<\delta _{x}\leq \epsilon _{x}$. Mamy zatem dla każdego $x\in U$: $B(x,\delta _{x})\subseteq U$. Wobec tego: $\bigcup _{x\in U}B(x,\delta _{x})\subseteq U$. Ale również $U\subseteq \bigcup _{x\in U}B(x,\delta _{x})$. Dowód jest zakończony. $\square$

Przykłady

1. Kula otwarta jest zbiorem otwartym.

   Dowód:

   Niech $B=B(x,r)$ będzie kulą otwartą w przestrzeni $(X,d)$ o środku $x$ i promieniu $r>0$. Weźmy dowolny $y\in B$. Niech $R=r-d(x,y)$. Pokażemy, że $B(y,R)\subseteq B$. Istotnie, z nierówności trójkąta, dla dowolnego $z\in B(y,R)$ mamy: $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)<d(x,y)+R=d(x,y)+r-d(x,y)=r$. Zatem $z\in B(x,r)=B$.$\square$

2. Ćwiczenie: Wykazać, że kula domknięta jest zbiorem domkniętym.
3. W każdej przestrzeni metrycznej $(X,d)$ zbiory $X$ i $\emptyset$ są jednocześnie otwarte i domknięte. Zbiory takie nazywamy otwarto-domkniętymi. W $\mathbb {R}$ z metryką euklidesową są to jedyne takie zbiory. Jednak na przykład w $\mathbb {Q}$ traktowanym jako podprzestrzeń $\mathbb {R}$ otwarto-domknięty jest zbiór $(-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}})\cap \mathbb {Q}$. Każdy podzbiór przestrzeni metrycznej dyskretnej jest otwarto-domknięty.
4. Zbiór $[0;1)\subseteq \mathbb {R}$ nie jest ani otwarty, ani domknięty.

Funkcje ciągłe

Definicje

Funkcją ciągłą w punkcie $x\in X$ z przestrzeni metrycznej $(X,d)$ do przestrzeni mestrycznej $(Y,\rho )$ nazywamy każdą funkcję $f:X\to Y$ taką, że: $\forall _{\epsilon >0}\exists _{\delta >0}\forall _{y\in X}(d(x,y)<\delta \implies \rho (f(x),f(y))<\epsilon )$.

Funkcją ciągłą (odwzorowaniem ciągłym) z przestrzeni metrycznej $(X,d)$ do przestrzeni metrycznej $(Y,\rho )$ nazywamy funkcję $f:X\to Y$ ciągłą w każdym punkcie $x\in X$.

Własności

Niech $(X,d),(Y,\rho )$ będą przestrzeniami metrycznymi.

1. Zauważmy, że korzystając z pojęcia kuli warunek ciągłości funkcji $f:X\to Y$ w punkcie $x\in X$ możemy zapisać: $\forall _{\epsilon >0}\exists _{\delta >0}\forall _{y\in X}[y\in B_{X}(x,\delta )\implies f(x)\in B_{Y}(f(x),\epsilon )]$, czy też krócej: $\forall _{\epsilon >0}\exists _{\delta >0}f(B_{X}(x,\delta ))\subseteq B_{Y}(f(x),\epsilon )$ (gdzie $B_{X}(\cdot ,\cdot ),B_{Y}(\cdot ,\cdot )$ oznaczają kule otwarte odpowiednio w przestrzeniach $X,Y$).
2. Definicję ciągłości w punkcie można sformułować korzystając z pojęcia zbieżności ciągu. Mianowicie, funkcja $f:X\to Y$ jest ciągła w punkcie $x\in X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu $(x_{n})\in X^{\mathbb {N} }$ zbieżnego w $(X,d)$ do $x$ zachodzi: $\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(x)$.

   Dowód:

   [$\leftarrow$] Załóżmy, że spełniony jest powyższy warunek. Przypuśćmy, że $f$ nie jest ciągła. Znajdziemy zatem taki $\epsilon >0$, że dla każdej $\delta >0$ istnieje $y_{\delta }\in X$ takie, że $d(x,y)<\delta$ oraz $\rho (f(x),f(y_{\delta }))>\epsilon$. Wobec tego możemy wybrać ciąg $(y_{n})\in X^{\mathbb {N} }$ taki, że dla każdego $n\in \mathbb {N}$: $d(x,y_{n})<{\frac {1}{n}}$ oraz $\rho (f(x),f(y_{n}))>\epsilon$. Zauważmy, że $x_{n}\to x$, ale $f(x_{n})\not \to f(x)$. Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem, zatem $f$ musi być ciągła.

   [$\rightarrow$] Załóżmy teraz, że $f:X\to Y$ jest ciągła. Weźmy dowolny ciąg $(x_{n})\in X^{\mathbb {N} }$ taki, że $x_{n}\to x$. Pokażemy, że $f(x_{n})\to f(x)$. Niech $\epsilon >0$ będzie dowolne. Z ciągłości $f$ istnieje $\delta >0$ taka, że dla dowolnego $y\in X$ jeśli $d(x,y)<\delta$, to $\rho (f(x),f(y))<\epsilon$. Ponieważ $x_{n}\to x$, to istnieje $N\in \mathbb {N}$ takie, że $d(x_{n},x)<\delta$ dla wszystkich $n>N$. Stąd $\rho (f(x_{n}),f(x))<\epsilon$ dla $n>N$. Wobec dowolności $\epsilon$ teza jest udowodniona. $\square$

3. Definicję ciągłości można sformułować także korzystając z pojęcia zbioru otwartego. Fakt ten posłuży nam w rozdziale 3. do uogólnienia pojęcia odwzorowania ciągłego.
   Funkcja $f:X\to Y$ jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru $U\subseteq Y$ otwartego w $Y$, jego przeciwobraz $f^{-1}(U)$ jest zbiorem otwartym w $X$.

   Dowód:

   [$\leftarrow$] Niech funkcja $f$ spełnia powyższy warunek. Wybierzmy dowolne $x\in X$. Pokażemy, że $f$ jest ciągła w punkcie $x$, co z dowolności jego wyboru oznaczało będzie ciągłość $f$. Ustalmy $\epsilon >0$. Niech $A=f^{-1}(B_{Y}(f(x),\epsilon ))$. Z początkowego założenia wynika, że $A$ jest otwarty jako przeciwobraz kuli otwartej. Ponadto $x\in A$, bo $f(x)\in B_{Y}(f(x),\epsilon )$. Z otwartości $A$ wynika, że istnieje $\delta >0$ taka, że $B_{X}(x,\delta )\subseteq A$. Zauważmy, że jeśli $y\in B_{X}(x,\delta )$, to $y\in A=f^{-1}(B_{Y}(f(x),\epsilon ))$, zatem $f(y)\in B_{Y}(f(x),\epsilon )$. Z dowolności $\epsilon$ $f$ jest ciągła w $x$.

   [$\rightarrow$] Niech $U\subseteq Y$ będzie zbiorem otwartym w $Y$. Weźmy dowolny punkt $x\in f^{-1}(U)$. Ponieważ $f(x)\in U$ i $U$ jest otwarty, istnieje $\epsilon >0$ taki, że $B_{Y}(f(x),\epsilon )\subseteq U$. Z ciągłości $f$ wynika, że istnieje $\delta >0$ taka, że jeśli $y\in B_{X}(x,\delta )$, to $f(y)\in B_{Y}(f(x),\epsilon )\subseteq U$. Zatem $y\in f^{-1}(U)$ dla każdego $y\in B_{X}(x,\delta )$, czyli $B_{X}(x,\delta )\subseteq f^{-1}(U)$. $x$ jest zatem punktem wewnętrznym $f^{-1}(U)$, co z dowolności jego wyboru oznacza, że $f^{-1}(U)$ jest otwarty w $X$. $\square$

Przykłady

1. Niech $X$ będzie przestrzenią metryczną dyskretną, zaś $Y$ dowolną przestrzenią metryczną. Każda funkcja $f:X\to Y$ jest ciągła.
2. W dowolnej przestrzeni metrycznej $X$ funkcja identycznościowa $id_{X}:X\to X$ jest ciągła.
3. Dla ustalonej przestrzeni metrycznej $(X,d)$ i punktu $x\in X$ ciągła jest funkcja $d(x,\cdot ):X\to \mathbb {R}$, jeżeli w $\mathbb {R}$ przyjmiemy metrykę euklidesową.
4. Jeśli $x\in X$ jest punktem izolowanym przestrzeni $(X,d)$, $(Y,\rho )$ jest przestrzenią metryczną, to dowolna funkcja $f:X\to Y$ jest ciągła w punkcie $x$.
5. W $\mathbb {R}$ z metryką euklidesową ciągłe są funkcje:
   • $\sin(\cdot ):\mathbb {R} \to \mathbb {R}$,
   • $(\cdot )^{2}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$,
   • $(\cdot )^{-1}:\mathbb {R} \setminus \{0\}\to \mathbb {R}$.

• Ćwiczenie: Udowodnić powyższe stwierdzenia.

>> Zadania