Wprowadzenie do elektroniki/Podstawowe połączenia

Dzielniki

Dzielniki są prostymi układami dwu zaciskowymi, i w zależności od charakteru ich połączenia do czynienia mamy z różnym przeznaczeniem użytkowym takich układów.

Dzielnik napięcia

Dzięki szeregowemu połączeniu dwóch impedancji (np. rezystorów) możliwe jest uzyskanie układu tzw. dzielnika napięcia, którego zadaniem jest podanie na wyjście pewnej części napięcia wejściowego. Napięcie na rezystorze $R_{2}$ dane jest wzorem

$U_{2}=IR_{2}=U{\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}$

Oczywiście dzielnik napięcia może być złożony z większej liczby rezystorów, i wówczas dostępna jest większa liczba napięć wyjściowych. Ogólnie napięcie na $k$-tym z $n$ rezystorów dane jest wzorem:

$U_{i}=U{\frac {\sum _{i=1}^{k}R_{i}}{\sum _{i=1}^{n}R_{i}}}$

Przykład

Dzielniki napięcia znajdują zastosowanie w metrologii, są częścią woltomierzy odpowiedzialną za odpowiednie dopasowanie zakresów pomiarowych. Wyobraźmy sobie, że mamy do dyspozycji miernik, który potrafi zmierzyć napięcia z zakresu 0-10V, jest to zakres dość mały, a koniecznie chcielibyśmy móc zmierzyć także napięcia większe: 20, 50 i 100V.

W celu wykonania odpowiedniego woltomierza potrzebujemy rezystancyjnego dzielnika napięcia o 3 wyjściach, a więc złożonego z 4 rezystorów.

Ilustracja do przykładu

Dla zakresu 20V podzielnik powinien być równy ${\frac {10}{20}}$, dla zakresu 50V ${\frac {10}{50}}$, a dla 100V ${\frac {10}{100}}$. Rezystancja woltomierza powinna być jak największa, najlepiej nieskończona, w rzeczywistych układach jest rzędu megaomów. My również przyjmiemy jakąś dużą rezystancję całego dzielnika, 100k:

$R_{1}+R_{2}+R_{3}+R_{4}=R=100k$

Dla największego zakresu podzielnik to ${\frac {1}{10}}$ i napięcie to będzie pobierane z "dolnego" rezystora $R_{1}$, jego rezystancja wyniesie ${\frac {1}{10}}\cdot 100k=10k$.

Dla mniejszego zakresu podzielnik wynosi ${\frac {1}{5}}$ i napięcie pobierane jest z drugiego "od dołu" rezystora. Wartość rezystora $R_{2}$ nie będzie jednak w tak oczywisty sposób równa ${\frac {1}{5}}\cdot 100k=20k$! Napięcie na tym rezystorze wyniesie $U{\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}+R_{4}}}$, więc owszem, pojawi się wartość $20k$, ale odnosi się do sumy rezystancji $R_{1}+R_{2}$. Zatem $R_{2}=20k-R_{1}=20k-10k=10k$.

Analogicznie rzecz się będzie miała dla ostatniego zakresu. Tutaj $R_{3}+R_{2}+R_{1}={\frac {1}{2}}\cdot 100k=50k$ i stąd $R_{3}=50k-20k=30k$.

Nie znamy jeszcze rezystancji ostatniego rezystora, $R_{4}$ która już teraz łatwo wyznaczyć z pierwszego równania: $R_{4}=100k-30k-10k-10k$.

Dzielnik prądu

Dzięki równoległemu połączeniu rezystorów otrzymamy z kolei dzielnik prądu, w którym prąd rozpływa się proporcjonalnie w gałęziach. Natężenie prądu elektrycznego w jednej z gałęzi dzielnika zasilanego prądem stałym, zgodnie z I prawem Kirchhoffa, jest zawsze mniejsze od natężenia prądu wejściowego (zasilającego) i zależy tylko od stosunku wartości użytych rezystancji oraz wartości prądu wejściowego:

$I_{1}=I_{we}\cdot {\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}$

Wynika to z faktu, że napięcie elektryczne zasilające dzielnik napięcia ma taką samą wartość dla obydwu elementów, czyli:

$I_{we}\cdot {\frac {(R_{1}\cdot R_{2})}{(R_{1}+R_{2})}}=I_{1}\cdot R_{1}$

Trójniki

Trójniki są układami trój zaciskowymi i stanowią najprostsze przykłady rozgałęzienia w układach, które można w szybki sposób upraszczać. Są dwa typy rozgałęzienia - typ "Y" (igrek) zwany "gwiazdą" oraz typ "Δ" (delta) zwany "trójkątem".

Trójkąt i gwiazda są rodzajem połączeń w układach trójfazowych. W połączeniu typu trójkąt napięcie na elementach impedancyjnych Z (Z może w tym przypadku oznaczać równie dobrze rezystancję, admitancję czy napięcie elektryczne itp.) równe jest napięciu między fazowemu, natomiast prądy płynące przez te elementy są wypadkową odpowiednich prądów fazowych. W połączeniu typu gwiazda napięcie rozłożone na elementach impedancyjnych Z (możliwości podobnie jak w przypadku delty) jest wypadkową wartością wynikającą z symetryczności (lub asymetryczności), natomiast prądy płynące przez te elementy są równe prądom fazowym.

Oba połączenia są sobie równoważne z zachowaniem pewnych proporcji. Tak więc połączenia typu "Y" bardzo łatwo można przekształcić w typ "Δ" i odwrotnie, co bardzo często ułatwia rozpatrywanie danych układów, które z pozoru wydają się nierozwiązywalne lub ciężkie do przeanalizowania. Przekształcenia te noszą nazwę transfiguracji.

W praktycznych obliczeniach transfiguracji trójnik sprowadza się do postaci niepełnego czwórnika - który uzyskuje się poprzez rozdzielenie jednej z gałęzi. Dzięki czemu można obliczyć proporcjonalny rozkład obciążeń na danych gałęziach. Umożliwia to upraszczanie układów przy postępowaniu zgodnie z prawem Thevenina.

Przekształcenie trójkąt-gwiazda

Istnieje możliwość zastąpienia układu połączonego w trójkąt równoważnym układem połączonym w gwiazdę. Równoważność oznacza tutaj warunek niezmienności prądów i napięć w tej części obwodu, która nie podlega przekształceniu transfiguracji. Innymi słowy w transfigurowanych gałęziach nie powinny znajdować się źródła sterowane ani elementy dynamiczne układów - a w obwodzie powinien panować stan ustalony. Dla oznaczeń użytych na rysunku można udowodnić, że wartości zastępcze impedancji dla połączenia w gwiazdę przy danych wartościach połączenia w trójkąt są wyrażone poniższymi wzorami (podkreślenie oznacza liczby zespolone):

Dla oznaczeń użytych na rysunku można udowodnić, że wartości zastępcze dla połączenia w gwiazdę przy danych wartościach połączenia w trójkąt są wyrażone poniższymi wzorami:

${\underline {Z_{AT}}}={\frac {{\underline {Z_{AB}}}\cdot {\underline {Z_{AC}}}}{{\underline {Z_{AC}}}+{\underline {Z_{AB}}}+{\underline {Z_{BC}}}}}$

${\underline {Z_{BT}}}={\frac {{\underline {Z_{BA}}}\cdot {\underline {Z_{BC}}}}{{\underline {Z_{AC}}}+{\underline {Z_{AB}}}+{\underline {Z_{BC}}}}}$

${\underline {Z_{CT}}}={\frac {{\underline {Z_{CA}}}\cdot {\underline {Z_{CB}}}}{{\underline {Z_{AC}}}+{\underline {Z_{AB}}}+{\underline {Z_{BC}}}}}$

Dla układu całkowicie symetrycznego w którym $Z_{ij}={\underline {Z_{AT}}}={\underline {Z_{BT}}}={\underline {Z_{CT}}}$ zachodzi:

${\underline {Z_{i}}}={\frac {1}{3}}{\underline {Z_{ij}}}$

Przekształcenie gwiazda-trójkąt

Istnieje możliwość zastąpienia układu połączonego w gwiazdę równoważnym układem połączonym w trójkąt. Równoważność oznacza tutaj, podobnie jak w poprzednim przypadku, warunek niezmienności prądów i napięć w tej części obwodu, która nie podlega przekształceniu transfiguracji. Podobnie jak poprzednio również, w transfigurowanych gałęziach nie powinny znajdować się źródła sterowane ani elementy dynamiczne układów - a w obwodzie powinien panować stan ustalony. Dla oznaczeń użytych na rysunku można udowodnić, że wartości zastępcze impedancji dla połączenia w gwiazdę przy danych wartościach połączenia w trójkąt są wyrażone poniższymi wzorami (podkreślenie oznacza liczby zespolone):

Dla oznaczeń użytych na rysunku można udowodnić, że wartości zastępcze dla połączenia w trójkąt przy danych wartościach połączenia w gwiazdę są wyrażone poniższymi wzorami:

${\underline {Z_{AB}}}={\underline {Z_{AT}}}+{\underline {Z_{BT}}}+{\frac {{\underline {Z_{AT}}}\cdot {\underline {Z_{BT}}}}{\underline {Z_{CT}}}}$

${\underline {Z_{BC}}}={\underline {Z_{BT}}}+{\underline {Z_{CT}}}+{\frac {{\underline {Z_{BT}}}\cdot {\underline {Z_{CT}}}}{\underline {Z_{AT}}}}$

${\underline {Z_{AC}}}={\underline {Z_{AT}}}+{\underline {Z_{CT}}}+{\frac {{\underline {Z_{AT}}}\cdot {\underline {Z_{CT}}}}{\underline {Z_{BT}}}}$

Dla układu całkowicie symetrycznego w którym $Z_{i}={\underline {Z_{AB}}}={\underline {Z_{BC}}}={\underline {Z_{CA}}}$ zachodzi:

${\underline {Z_{ij}}}=3{\underline {Z_{i}}}$