Astrofizyka/Kwantowy oscylator harmoniczny

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Oscylator harmoniczny jest układem fizycznym, który ma duże zastosowanie i znaczenie w wielu działach fizyki.

Jest to ciało o masie m, na które działa siła proporcjonalna do wychylenia z przeciwnym zwrotem $F = - k x$ . Ponieważ siła F= - ∂U/∂x to układ opisany jest przez potencjał

$U(x)=\frac{1}{2}k x^2=\frac{1}{2}m\omega^2 x^2.$

Jego energia całkowita jest równa

$E=\frac{1}{2} m v^2 + U(x)=\frac{p^2}{2m} + U(x)$

gdzie pęd p=mv. W mechanice kwantowej pęd p przechodzi w operator p=mv⇒p= - iℏ $\frac{d}{dx}$ spełniający regułę komutacyjną [x,p]=iℏ. Wygodnie jest zdefiniować zamiast x, p dwa operatory

$a=\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x + i\frac{1}{\sqrt{m \omega \hbar}}p),$ $a^{+}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x - i\frac{1}{\sqrt{m \omega \hbar}}p)$

nazywane operatorami anihilacji i kreacji. Stąd operator położenia x to

$x=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(a + a^{+} )$

Potencjał oscylatora harmonicznego i kilka pierwszych stanów własnych.

[edytuj] Bozonowy oscylator harmoniczny

Hamiltonian czyli operator energii przyjmuje teraz postać

$H=\frac{1}{2}\hbar \omega (a^{+} a + a a^{+})$

Operatory $X i$ ={I,a, $a +$ ,n= $a + a$ } rozpinają algebrę Heisenberga: [a, $a +$ ]=1, [a,a]=[ $a +$ , $a +$ ]=0, [n,a]= - a, [n, $a +$ ]= $a +$ , [I,Xi]=0. Komutator zdefiniowany jest jako [A,B]=A B - B A a antykomutator {A,B}=A B + B A. Hamiltoniam można przekształcić do postaci

$H=\hbar \omega (n + \frac{1}{2})=\hbar \omega n + E_0$

gdzie $E_0=\frac{1}{2}\hbar \omega$ jest energią stanu podstawowego. Hamiltoniam posiada całą drabinkę stanów własnych H|n> = $E n$ |n> z energiami własnymi

$E_n=\hbar \omega (n + \frac{1}{2})=\hbar \omega n + E_0$

i stanami własnymi

$|n> =\frac{1}{\sqrt{n!}}(a^{+})^{n}|0>.$

Stan podstawowy |0> zdefiniowany jest jako a|0> =0. W tradycyjnym zapisie stan |n> opisuje funkcję falową $ψ n (x)$ . Równanie a|0>=0 (lub $a ψ 0 (x) = 0$ ) jest równaniem różniczkowym którego rozwiązaniem jest funkcja falowa stanu podstawowego:

$\psi_{0} = C_{0} \exp(-\frac{1}{2}{(\frac{x}{x_0})}^2)$

gdzie $x_0=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}$ . Operatory kreacji $a +$ tworzą kolejne funkcje falowe stanów wzbudzonych (stąd ich nazwa - creare (łać) to tworzyć). Można je wyrazic przez wielomian|wielomiany Hermite'a:

$\psi_n (x)=\frac{1}{\sqrt{n!}}(a^{+})^{n}\psi_0(x)=C_n H_n(\frac{x}{x_0})\psi_0(x)$

gdzie

$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}.$

[edytuj] Fermionowy oscylator harmoniczny

Fermionowy oscylator harmoniczny opisujemy hamiltonianem

$H=\frac{1}{2}\hbar \omega(c^{+}c - c c^{+} )$

Operatory $X i$ ={I,c, $c +$ ,n= $c + c$ } rozpinają algebrę gradowaną: {c, $c +$ }=1, {c,c}={ $c +$ , $c +$ }=0, [n,c]= - c, [n, $c +$ ]= $c +$ , [I, $X i$ ]=0. Hamiltonian ten można przekształcić do postaci

$H=\hbar \omega(n + \frac{1}{2})=\hbar \omega n + E_0$

gdzie $E 0$ = - $\frac{1}{2}$ ℏω jest energią stanu podstawowego. Reguła komutacyjna { $c +, c +$ }=0 oznacza zakaz Pauliego, istnieje tylko stan próżni |0>, pierwszy stan wzbudzony |1>= $c +$ |0>, drugi stan wzbudzony już nie istnieje: |2>= $(c +)2 | 0 > = 0$ , bo z reguł antykomatacyjnych wynika, iż $(c +) 2 = 0$ . Fermionowy oscylator harmoniczny zbudowany jest tylko z dwóch stanów, stanu podstawowego |0> i stanu wzbudzonego |1>. Posiada tylko dwie wartości własne $E 0$ = - $\frac{1}{2}$ ℏω i $E 1$ = $\frac{1}{2}$ ℏω.

[edytuj] Supersymetria

Bozonowy i ferminowy hamiltonian razem posiada dodatkową symetrię, która miesza bozonowe stopnie swobody z fermionowymi - nazywamy ją supersymetrią,