Matematyka dla liceum/Planimetria/Czworokąty w zadaniach

Czworokąty w zadaniach

Romb

(przekątne)
Zad. Dany jest romb o boku długości a oraz kącie ostrym 60^o. Oblicz długości jego przekątnych.

Dane: wszystkie boki a, kąt 60, romb - przekątne prostopadłe do siebie.

Drugi kąt w rombie, rozwarty przy D, wynosi 120 stopni (suma kątów przy jednym boku wynosi 180 stopni). Bierzemy pod uwagę trójkąt ADS, kąty w nim wynoszą: przy A równy jest 30 (połowa 60), $\alpha$ wynosi 60 (połowa kąta 120), kąt prosty między przekątnymi. Korzystamy z powstałego trójkąta 30-60-90 ASD. Dzięki zależnościom między bokami ($x,2x,x{\sqrt {3}}$ - rysunek) obliczamy:

$|AD|=2|DS|\qquad |AS|={\sqrt {3}}|DS|={\frac {{\sqrt {3}}|AD|}{2}}$

$a=2\cdot {\frac {f}{2}}\qquad {\frac {e}{2}}={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}$

Znajdujemy przekątne e oraz f.

---