Matematyka dla liceum/Planimetria/Czworokąty w zadaniach

Czworokąty w zadaniach

Romb

(przekątne)
Zad. Dany jest romb o boku długości a oraz kącie ostrym 60^o. Oblicz długości jego przekątnych.

Dane: wszystkie boki a, kąt 60, romb - przekątne prostopadłe do siebie.

Drugi kąt w rombie, rozwarty przy D, wynosi 120 stopni (suma kątów przy jednym boku wynosi 180 stopni). Bierzemy pod uwagę trójkąt ADS, kąty w nim wynoszą: przy A równy jest 30 (połowa 60), $\alpha$ wynosi 60 (połowa kąta 120), kąt prosty między przekątnymi. Korzystamy z powstałego trójkąta 30-60-90 ASD. Dzięki zależnościom między bokami ($x, 2x, x\sqrt{3}$ - rysunek) obliczamy:

$|AD| = 2|DS| \qquad |AS| = \sqrt{3}|DS| = \frac{\sqrt{3}|AD|}{2}$

$a =2\cdot \frac{f}{2} \qquad \frac{e}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Znajdujemy przekątne e oraz f.

---