Matematyka ubezpieczeń życiowych/Elementy teorii oprocentowania

Niniejszy rozdział stanowi pewnego rodzaju elementarne wprowadzenie do zagadnień związanych z oprocentowaniem. W odróżnieniu od rozdziałów kolejnych dotyczyć on będzie sytuacji ściśle deterministycznych, pozbawionych czynnika losowego.

Akumulacja i dyskontowanie

Wszystkie procesy w niniejszym podręczniku będą mieć dwa modele - ciągły i dyskretny. Modele dyskretne będą oparte na wartościach poszczególnych wielkości w kolejnych latach lub podokresach lat.

Przypadek dyskretny

Rozpoczniemy od najprostszego przykładu lokaty terminowej na 1 rok. Na lokacie tej składamy na początku okresu jej trwania $k_{0}=1$ zł. Oprocentowana w skali rocznej dla tej lokaty jest w wysokości $i$. Po roku otrzymamy więc

$k_{1}=k_{0}(1+i).\;$

Czynnik $(1+i)$, przez który musimy przemnożyć wyjściową kwotę nazywamy czynnikiem akumulującym, zaś liczbę $i$ nazywamy stopą oprocentowania i wyrażamy w procentach.

Jeśli zamiast podejmować pieniądze wznowimy tę lokatę, to po $n$ latach otrzymamy

$k_{n}=k_{0}(1+i)^{n}.\;$

W powyższym rozumowaniu patrzyliśmy na początku inwestycji na to, jaki będzie jej rezultat. Możemy odwrócić to rozumowanie i zapytać ile musimy zainwestować, aby po $n$ latach uzyskać zadany kapitał. Odpowiedź uzyskujemy z prostego przekształcenia wzoru

$k_{0}={\frac {k_{n}}{(1+i)^{n}}}.\;$

Czynnik ${\frac {1}{(1+i)}}$, przez który (w odpowiedniej potędze) musimy pomnożyć $k_{n}$ (kwotę, którą chcemy uzyskać) nazywamy czynnikiem dyskontującym i oznaczamy literą $v$

$v={\frac {1}{1+i}},\;$

$k_{0}=k_{n}v^{n}.\;$

Stopa oprocentowania $i$ dawała nam informację o ile procent więcej uzyskamy w wyniku inwestycji po 1 roku. Można teraz spytać inaczej. O ile procent mniejszą kwotą należało dysponować $1$ rok temu, aby uzyskać obecną kwotę. Wartość ta jest oznaczana literą $d$, wyrażana w procentach i nazywana stopą dyskontową

$v=1-d.\;$

Przypadek ciągły

Przyzwyczajeni jesteśmy do myślenia o przepływie kapitału w sposób dyskretny (płatność jest dokonywana w konkretnym momencie czasu). W modelu ciągłym musimy zmienić nieco nasz sposób myślenia i postrzegać przepływ środków finansowych jako strumień o pewnej intensywności.

By to sobie uzmysłowić posłużymy się przykładem w którym pewną płatność za dany okres czasu będziemy dzielić na równe raty za coraz drobniejsze podokresy. Dokonując przejścia granicznego otrzymujemy nieskończenie wiele nieskończenie drobnych przepływów finansowych. Powyższy opis jakościowy ujmijmy teraz metodami ilościowymi. Tym razem posłużymy się przykładem inwestycji na okres jednego roku oraz inwestycji na podokresy roku. Przez $i^{(m)}$ oznaczać będziemy nominalną stopę oprocentowania z kapitalizacją w podokresach długości ${\frac {1}{m}}$ roku. Równoważną takiemu składanemu oprocentowaniu stopę oprocentowania $i$ (za cały rok) otrzymamy z zależności

${\Bigg (}1+{\frac {i^{(m)}}{m}}{\Bigg )}^{m}=1+i\;$

analogicznie dla stóp dyskontowych mamy:

${\Bigg (}1-{\frac {d^{(m)}}{m}}{\Bigg )}^{m}=1-d\;$

Niech teraz $m$ dąży do nieskończoności. Wprowadźmy oznaczenie:

$\delta =\lim _{m\to \infty }i^{(m)}.\;$

Wielkość ta jest nazywana intensywnością oprocentowania (ang. force of interest)

Łatwo zauważyć po zapisaniu zależności między $i^{(m)}$ a $i$ w postaci

$i^{(m)}={\frac {(1+i)^{1/m}-(1+i)^{0}}{1/m}},\;$

że $\delta$ jest pochodną funkcji $(1+i)^{x}$ w punkcie $x=0$. Otrzymujemy więc zależność

$\delta =\ln(1+i).\;$

Jaka jest jednak granica $d^{(m)}$? Okazuje się, że taka sama. Łatwo bowiem pokazać, że

${\frac {1}{d^{(m)}}}={\frac {1}{m}}+{\frac {1}{i^{(m)}}}\;$

a stąd wykazuje się, że

$\lim _{m\to \infty }d^{(m)}=\lim _{m\to \infty }i^{(m)}=\delta .\;$

Gdy oprocentowanie jest ciągłe różnica pomiędzy oprocentowaniem z góry i z dołu (czyli między akumulacją i dyskontowaniem) znika.

Podsumowanie

Zależności pomiędzy opisywanymi wielkościami ujmuje poniższa tabela

Nazwa	Oznaczenie	$i\,$	$d\,$	$v\,$	$\delta \,$
stopa oprocentowania	$i\,$	$-\,$	$i={\frac {d}{1-d}}\,$	$i={\frac {1}{v}}-1\,$	$i=e^{\delta }-1\,$
stopa dyskontowa	$d\,$	$d={\frac {i}{1+i}}\,$	$-\,$	$d=1-v\,$	$d=1-e^{\delta }\,$
czynnik dyskontujący	$v\,$	$v={\frac {1}{1+i}}\,$	$v=1-d\,$	$-\,$	$v=e^{-\delta }\,$
natężenie oprocentowania	$\delta \,$	$\delta =\ln(1+i)\,$	$\delta =\ln {\frac {1}{1-d}}\,$	$\delta =\ln {\frac {1}{v}}\,$	$-\,$
czynnik akumulujący		$1+i\,$	${\frac {1}{1-d}}\,$	${\frac {1}{v}}\,$	$e^{\delta }\,$

Najłatwiej przyswoić sobie powyższe wzory zapamiętując, że:

• $v+d=1,\;$
• $i\cdot v=d,\;$
• $e^{\delta }=1+i.\;$

Renty

Renty w matematyce finansowej rozumiane są jako ciągi płatności. Będziemy posługiwali się wartościami obecnymi dla ciągów płatności jednostkowych. Mogą to być płatności dokonywane na początku lub na końcu roku przez pewną liczbę lat. W przypadku płatności na początku każdego roku przez $n$ lat, wartość obecną takich przepływów finansowych oznaczamy symbolem ${\ddot {a}}_{{\overline {n}}|}$ i jest ona równa

${\ddot {a}}_{{\overline {n}}|}=\sum _{k=0}^{n-1}v^{k}={\frac {1-v^{n}}{1-v}}={\frac {1-v^{n}}{d}}.\;$

Po przekształceniu otrzymujemy:

$d{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|}+v^{n}=1.\;$

Interpretacja: Zaciągnięty dług na kwotę 1 będzie spłacony po $n$ latach. Zdyskontowana wartość tej płatności jest równa $v^{n}$. Odsetki spłacane są na bieżąco, na początku każdego roku w wysokości $d$

Natomiast w przypadku płatności na koniec roku stosujemy oznaczenie $a_{{\overline {n}}|}$ i wartość obecną wyrażamy następująco

$a_{{\overline {n}}|}=\sum _{k=1}^{n}v^{k}={\frac {v(1-v^{n})}{1-v}}={\frac {1-v^{n}}{i}}.\;$

Po przekształceniu otrzymujemy:

$ia_{{\overline {n}}|}+v^{n}=1.\;$

Interpretacja tego wzoru jest taka sama jak zaprezentowana wyżej z tą tylko różnicą, że płatności odsetek wnoszone są na koniec roku w wysokości $d/v$ czyli $i$.

Analogiczna do powyższych formuła dla rent ciągłych ma postać:

$\delta {\bar {a}}_{{\overline {t}}|}+v^{t}=1$