Matematyka ubezpieczeń życiowych/Ubezpieczenia na wiele żyć

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Matematyka ubezpieczeń życiowych
Wprowadzenie
  1. Elementy teorii oprocentowania Etap rozwoju: 100% (w dniu 16.07.2008)
  2. Model demograficzny Etap rozwoju: 100% (w dniu 18.06.2008)
  3. Podstawowe ubezpieczenia życiowe Etap rozwoju: 75% (w dniu 12.11.2008)
  4. Renty życiowe Etap rozwoju: 25% (w dniu 17.06.2008)
  5. Składki netto Etap rozwoju: 25% (w dniu 15.07.2008)
  6. Rezerwy składek netto Etap rozwoju: 25% (w dniu 16.07.2008)
  7. Składki i rezerwy brutto Etap rozwoju: 00% (w dniu 1.06.2008)
  8. Wielorakie szkodowości Etap rozwoju: 00% (w dniu 1.06.2008)
  9. Ubezpieczenia na wiele żyć Etap rozwoju: 50% (w dniu 11.11.2008)
  10. Fundusze emerytalne Etap rozwoju: 00% (w dniu 1.06.2008)
  11. Literatura i strony WWW Etap rozwoju: 100% (w dniu 1.06.2008)

Dodatki:

  1. Wymagania egzaminacyjne Etap rozwoju: 100% (w dniu 15.07.2008)
Crystal Clear app kjobviewer.png Crystal Clear mimetype pdf.png

Człowiek jest istotą społeczną i zwykł odwzajemniać swe uczucia. Troska o zapewnienie bytu współmałżonka po śmierci występuje zwykle u obu współmałżonków. Oprócz zwykłych polis ubezpieczeniowych wystawianych pojedynczym osobom, ubezpieczyciele oferują więc również ubezpieczenia obejmujące kilka osób. Niniejszy rozdział prezentuje aparat matematyczny stosowany do opisu takich produktów.

Spis treści

[edytuj] Status wspólnego życia

Zdarzenia przed, którymi wykupujący ubezpieczenie stara się zabezpieczyć są różne (może umrzeć dowolna osoba z rozważanej grupy). Wspólną ich cechą jest przerwanie stanu, w którym wszystkie osoby objęte ubezpieczeniem żyją. W związku z tym wprowadza się pojęcie statusu wspólnego życia jako odpowiednika życia pojedynczej osoby. Status taki dla grupy m osób w wieku odpowiednio x_{1}, x_{2},\ldots, x_{m} jest oznaczany jako u:=x_{1}:x_{2}:\ldots:x_{m}. Zmienna T oznaczająca czas trwania statusu (jako odpowiednik czasu życia pojedynczej osoby) przyjmuje wartość:

T=T(u)=\min\Big(T(x_{1}), T(x_{2}), \ldots, T(x_{m})\Big).

Prawdopodobieństwo przeżycia dla takiego statusu jest wtedy równe:

{}_{t}p_{u}={}_{t}p_{x_{1}:x_{1}:\ldots:x_{1}}
     =Pr\Big(T(x_{1})>t \wedge T(x_{2})>t\wedge\ldots\wedge T(x_{m})>t\Big).

Jeśli przyjąć, że osoby objęte ubezpieczeniem pochodzą z tej samej populacji a ich zgony są zdarzeniami niezależnymi[1] to dzięki tej niezależności otrzymamy wzór:

{}_{t}p_{u}={}_{t}p_{x_{1}:x_{1}:\ldots:x_{1}}
     =\prod_{k=1}^{m}{}_{t}p_{x_{k}}.

Różniczkując względem t logarytm powyższego prawdopodobieństwa łatwo otrzymujemy:

\mu_{u+t}
     =-\frac{d}{d t}\ln{}_{t}p_{u}
     =-\frac{d}{d t}\sum_{k=1}^{m}\ln{}_{t}p_{x_{k}}
     =\sum_{k=1}^{m}\mu_{x_{k}+t}.

[edytuj] Status ostatniego przeżywającego

W ubezpieczeniach na wiele żyć istotne jest nie tylko to kiedy umrze pierwsza osoba z grupy co jest potencjalnym powodem do wypłacania świadczenia, ale także to jak długo będzie żyć ostatnia osoba z grupy czyli zwykle ostatnia osoba uprawniona do świadczeń. Wprowadza się więc pojęcie statusu ostatniego przeżywającego (ang. last-survivor status) i oznacza następująco

 u=\overline{x_{1}:x_{2}:\ldots:x_{m}}.

Zmienna T przyjmuje wtedy wartość

 T(u)=\max(T_{1}, T_{2},\ldots,T_{m}).

[edytuj] Analityczne prawa śmiertelności dla wielu żyć

[edytuj] Populacja Gompertza

Załóżmy, że śmiertelnością w całej populacji rządzi prawo Gompertza \mu_{x}=B\,c^{x}, gdzie B > 0, c > 1. Będziemy szukali pojedynczego wieku (w) mogącego zastąpić status wspólnego życia (x:y). (Podobne rozważania można jednak przeprowadzić dla większej liczby żyć.)

\mu_{x:y}(s)=\mu_{x+s:y+s}=\mu_{w+s}\qquad s\geqslant0

Z wcześniejszych rozważań na temat statusu wspólnego życia wiemy, że przy założeniu niezależności zmiennych T(x) i T(y) mamy:

\mu_{x+t}+\mu_{y+t}=\mu_{x:y}(t)\;

zatem

B\,c^{x+s}+B\,c^{y+s}=B\,c^{w+s}\;


     c^{x}+c^{y}=c^{w}\;

co definiuje poszukiwane w.

Dla t > 0 wynika stąd


    {}_{t}p_{w} = \exp\bigg(-\int\limits_{0}^{t}\mu_{w+s}ds\bigg)
                = \exp\bigg(-\int\limits_{0}^{t}\mu_{x:y}(s)ds\bigg)
                = {}_{t}p_{x:y}

Tak wiec dla w zdefiniowanego powyżej, wszystkie prawdopodobieństwa, wartości oczekiwane i wariancje dla statusu wspólnego życia (x:y) są równe wartościom dla pojedynczego życia (w). W takiej sytuacji nie ma więc konieczności tworzenia dodatkowych tablic wielowymiarowych z wartościami aktuarialnymi dla wielu żyć.

[edytuj] Populacja Makehama

Założenie, że śmiertelnością w populacji rządzi prawo Makehama czyni rozważania bardziej złożonymi. Mamy bowiem

\mu_{x:y}(s)=\mu_{x+s}+\mu_{y+s}=2A+B\,c^{s}\left(c^{x}+c^{y}\right)

gdzie A > 0, B > 0, c > 1

Nie możemy zastąpić statusu wspólnego życia jednym życiem z powodu występowania składnika 2A. (Nie istnieje takie w, niezależne od s, które spełniałoby założenia.) Zamiast tego zastąpimy (x:y) innym statusem wspólnego życia (w:w). Wtedy

\mu_{w:w}(s)=2\mu_{w+s}=2\left(A+B\,c^{s}\,c^{w}\right)

gdzie (w) wybieramy tak aby

2cw = cx + cy

W przeciwieństwie do przypadku populacji Gompertza gdzie jednowymiarowe funkcje są oparte na tablicach dla pojedynczego życia, tutaj funkcje są oparte na statusie wspólnego życia (w:w) dla rówieśników.

[edytuj] Ubezpieczenia na wiele żyć w okresach ułamkowych

Rozważymy teraz założenie jednostajnego rozkładu zgonów (UDD) dla każdego z wielu żyć. Przy tym dodatkowym założeniu możemy obliczyć jednorazową składkę w ubezpieczeniu wypłacającym w momencie śmierci świadczenie opłacone składkami płatnymi częściej niż raz w roku. Przypomnijmy, że w przypadku pojedynczych żyć mieliśmy przy założeniu UDD zależność

\bar{A}_{x}=\frac{i}{\delta}A_{x}

Podobna, choć nie identyczna zależność będzie występować i tutaj.


    \bar{A}_{x:y} =\frac{i}{\delta}A_{x:y}+
                   \frac{i}{\delta}\left(1-\frac{2}{\delta}+\frac{2}{i}\right)
                   \sum\limits_{k=0}^{\infty}v^{k+1}{}_{k}p_{x:y}\,q_{x+k}\,q_{y+k}

Widzimy, że pierwszy człon otrzymanego wzoru byłby równy \bar{A}_{x:y} gdyby rozkład czasu wygasania statusu wspólnego życia T(x:y) miał jednostajny rozkład w ciągu roku. Nie jest tak gdy T(x:y)=\min\left\{T(x),T(y)\right\} a T(x) i T(y) mają niezależnie jednostajny rozkład w ciągu roku. Rozkład T(x:y) w ciągu roku pod warunkiem, że (x) i (y) umrą w różnych latach jest wprawdzie jednostajny, ale z kolei w przypadku gdy (x) i (y) umierają w tym samym roku E(\min\left\{T(x),T(y)\right\}) będzie się znajdować bliżej jego początku. W konsekwencji niezbędny jest drugi człon otrzymanego wzoru związany wcześniejszą wypłatą świadczenia. Można przy tym pokazać, że:


    \frac{i}{\delta}\left(1-\frac{2}{\delta}+\frac{2}{i}\right)\approx \frac{i}{6}-\frac{i}{360}+\ldots

[edytuj] Funkcje uwarunkowane kolejnością zgonów

Dotychczas rozpatrywaliśmy wyłącznie statusy symetryczne. Nie miało dla nas znaczenia, która osoba umiera jako pierwsza, a która jako ostatnia. Czasami jednak kwestia kolejności zgonów ma znaczenie. Inna bowiem jest sytuacja rodziny w której jako pierwszy umiera jej główny (a czasem jedyny) żywiciel a inna gdy w rodzinie umiera osoba nie osiągająca tak znacznych (czy w ogóle jakichkolwiek) dochodów.

Aby rozpatrywać te sytuacje wprowadza się kolejne oznaczenia. Ponad składową danego statusu zapisujemy numer oznaczający, jako która z kolei dana osoba umrze.

Rozpatrzymy tutaj przykładowo dwie wielkości:

  • {}_{n}q_{x:y}^{1} – prawdopodobieństwo tego, że (x) umrze jako pierwszy (a więc przed śmiercią (y)) przed upływem n lat

Matematyka ubezpieczeń życiowych-2.svg

  • {}_{n}q_{x:y}^{\;\;\;2} – prawdopodobieństwo tego, że (y) umrze jako drugi (a więc po śmierci (x)) przed upływem n lat
Matematyka ubezpieczeń życiowych-1.svg

Z powyższego opisu widać, że przypadki opisane drugim zdarzeniem są zawarte w zbiorze przypadków opisanych pierwszym. Oczekujemy więc, że zachodzić będzie nierówność {}_{n}q_{x:y}^{1}\geqslant{}_{n}q_{x:y}^{\;\;\;2}.

Można łatwo wykazać, że:

{}_{n}q_{x:y}^{\;\;\;1}+{}_{n}q_{x:y}^{\;\;\;2}={}_{n}q_{y}

oraz

{}_{n}q_{x:y}^{1}={}_{n}q_{x:y}^{\;\;\;2}+{}_{n}p_{y}\,{}_{n}q_{x}

co potwierdza nierówność wynikającą z opisu poszczególnych zdarzeń.

Podobnie dla ubezpieczeń mamy


    \bar{A}_{x:y}^{\;\;\;1}+\bar{A}_{x:y}^{\;\;\;2}=\bar{A}_{y}.

[edytuj] Reinterpretacja niektórych oznaczeń

Status \overline{n}| wygasa z chwilą upłynięcia n lat (n\geqslant0). Możemy więc na nowo zinterpretować oznaczenia takie jak (ograniczając się do samego opisu sytuacji uprawniającej do uzyskania świadczenia):

  • A_{x:\overline{n}|} – świadczenie jest wypłacane gdy wygaśnie status x (czyli gdy (x) umrze) lub gdy wygaśnie status \overline{n}| (czyli gdy upłynie n lat)
  • A_{x:\overline{n}|}^{1} – świadczenie jest wypłacane gdy status x wygaśnie jako pierwszy czyli przed wygaśnięciem statusu \overline{n}| to znaczy przed upływem n lat
  • A_{x:\overline{n}|}^{\;\;\;1} – świadczenie jest wypłacane gdy status \overline{n}| wygaśnie jako pierwszy czyli przed wygaśnięciem statusu x (czyli gdy ubezpieczony przeżyje co najmniej n lat)

Przypisy

  1. ↑ w rzeczywistości może to nie być prawdą
Źródło „http://pl.wikibooks.org/wiki/Matematyka_ubezpiecze%C5%84_%C5%BCyciowych/Ubezpieczenia_na_wiele_%C5%BCy%C4%87”