Matematyka dla liceum/Funkcje i ich własności/Dziedzina funkcji

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

< Matematyka dla liceum | Funkcje i ich własności

Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

[edytuj] Własności funkcji

Dla każdej funkcji możemy podać jej własności. Są nimi:

dziedzina funkcji
zbiór wartości funkcji
miejsca zerowe funkcji
zbiór tych argumentów, dla których funkcja jest dodatnia
zbiór tych argumentów, dla których funkcja jest ujemna
monotoniczność
najmniejsza i największa wartość funkcji
różnowartościowość
parzystość
nieparzystość
okresowość

[edytuj] Dziedzina funkcji

DEFINICJA

Dziedziną funkcji nazywamy zbiór wszystkich argumentów x, dla których funkcja ta jest określona.

Dziedzinę funkcji f najczęściej oznaczamy przez $D f$ .

[edytuj] Wyznaczanie dziedziny funkcji

Podczas wyznaczania dziedziny funkcji musimy pamiętać, że:

dzielenie przez zero jest niewykonalne, w przypadku ułamka mianownik musi być różny od 0,
liczba podpierwiastkowa nie może być ujemna
liczba podpierwiastkowa w mianowniku pewnego ułamka musi być liczbą dodatnią

Kiedy wyznaczamy dziedzinę pewnej funkcji, staramy się patrzeć prościej na to, co widzimy. Czyli kiedy zobaczymy taki prosty wzór:

$f(x) = \frac{x^2}{x+2}$

Nasz tok rozumowania będzie wyglądał tak:

Jest to po prostu ułamek $\frac{a}{b}$ , dlatego mianownik (czyli b) ma być różne od zera
Zauważamy, że $a = x 2$ . Zastanawiamy się, czy jest tu jakiś ułamek lub pierwiastek, lecz na szczęście nie ma. Zatem w tym przypadku $x \in \mathbb{R}$
Patrzymy na mianownik. Mamy $b = x + 2$ . Niestety, ponieważ jest to mianownik (pamiętamy „nigdy cholero nie dziel przez zero!”), musimy założyć, że $b \neq 0$ , czyli $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$ .
Na koniec podsumowujemy wszystko. Czyli odrzucamy wszystkie x, które zostały odrzucone w którymś punkcie. Czyli otrzymujemy $x \neq -2$ , zatem dziedziną będzie $D_f = R \backslash \{-2\}$ .

Spójrzmy teraz na bardziej skomplikowany

$f(x) = \frac{\sqrt{x-3}^2}{\sqrt{x}(x-4)(x-3)}$

I znowu banał...

Mamy ułamek $\frac{a}{b}$ , gdzie a może być dowolne, a b różne od zera
Patrzymy na licznik a. I znowu mamy a = c². Ponieważ kwadraty nas nie interesują, nie wpływają na dziedzinę funkcji patrzymy na c:
- No i mamy $c = \sqrt{x-3}$ . Wiemy, że liczba podpierwiastkowa (w tym przypadku $x - 3$ ) musi być nieujemna, więc rozwiązujemy nierówność x $x - 3 \geq 0$ i po prostym przekształceniu otrzymujemy $x \geq 3$
Teraz patrzymy na mianownik , który ma być różny od 0. Wykorzystujemy własności mówiącą, że iloczyn pewnych liczb wynosi zero, gdy któraś z tych liczb jest równa 0. Czyli w skrócie . I rozwiązujemy, wykluczając te liczby:
- $d = 0 \implies \sqrt{x}=0 \implies x=0$
- $e = 0 \implies x-3 = 0 \implies x=3$
- $f =0 \implies x-4 = 0 \implies x=4$
Zatem $x \neq 0$ , $x \neq 3$ , $x \neq 4$ . Ponadto, aby wyrażenie $\sqrt{x}$ miało sens, x nie może być liczbą ujemną, zatem $x \geq 0$ .
I podsumowujemy: $x \geq 3$ , $x \geq 0$ , $x \neq 0$ , $x \neq 3$ , $x \neq 4$ . Zatem $D_f = (3;+\infty) \backslash \{4\}$ .

Przykład 1. Określmy dziedzinę funkcji $f(x) = \frac{1}{x}$ . Wyrażenie $\frac{1}{x}$ ma sens liczbowy jedynie wtedy, gdy $x \neq 0$ , ponieważ gdyby x było równe zeru musielibyśmy wykonać dzielenie przez 0, a wszyscy dobrze wiemy, że nie wolno dzielić przez 0 (1:0 nie ma sensu liczbowego). Wobec czego możemy wywnioskować, że $D_f=\mathbb{R} \backslash \{0\}$ .

Przykład 2. $f(x)=\frac{3x+2}{(x-1)(x-2)}$ Aby określić dziedzinę musimy wyznaczyć te wartości x, dla których mianownik jest różny od zera, a następnie wykluczyć te liczby z dziedziny:

(x - 1)(x - 2) = 0

z własności iloczynu wiemy, że iloczyn ma wartość zero, jeśli którykolwiek z czynników ma wartości zero. Wobec czego:

x - 1 = 0 lub x - 2 = 0

x = 1 lub x = 2

Czyli $D_f=\mathbb{R} \backslash \{1,2\}$ .

Przykład 3. $f(x)=\frac{2x+2}{\sqrt{x-2}}$ Ponieważ liczba podpierwiastkowa musi być liczbą nieujemną, ponadto mianownik nie może być równy zeru, więc liczba podpierwiastkowa musi być większa od zera. Czyli $x-2>0 \Rightarrow x>2$ , a wtedy $D_f=(2;+\infty)$ .

Przykład 4. $f(x)=\frac{1}{x^2+4}$ Mianownik musi być różny od zera, wobec czego $x^2+4 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq -4$ . Ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny (czyli zawsze $x^2 \geq 0$ ), więc $x 2$ nigdy nie będzie równy liczbie -4. Otrzymujemy $D_f=\mathbb{R}$ .