Matematyka dla liceum/Wielomiany

Wiadomości wstępne

Jednomian

Zacznijmy od czegoś prostego, czyli od zdefiniowania czym są jednomiany.

DEFINICJA Jednomian to iloczyn czynników, w którym każdy czynnik jest liczbą lub pewną zmienną.

Jednomianem może być:

$4\;$	$x\;$	$2a\;$
$3abc\;$	$4b^3\;$	$\tfrac{5}{7}a^2$

Wielomiany

Już znamy pojęcie jednomianu. Teraz kilka jednomianów możemy do siebie dodać np. do jednomianu $x$ możemy dodać $2a$ otrzymując $x + 2a$. Innym przykładem sumy jednomianów może być:

• $x^3 + y^2 + z^3\,$,
• $\frac{4}{3}x^7 + x^5 + x$,
• $a^2 + 2ab + b^2\,$,

a takie coś nazywamy wielomianami.

DEFINICJA Wielomian to suma jednomianów .

Wielomiany możemy podzielić ze względu na liczbę zmiennych np. $-a^2 + b^2 + 4c + d$ będzie wielomianem czterech zmiennych a, b, c i d. Wielomian $3x + 2y$ będzie wielomianem dwóch zmiennych x i y, a wielomian $4x^2 + 3x + 1$ będzie wielomianem jednej zmiennej x. W tym podręczniku mówiąc o wielomianach, będziemy mieli najczęściej na myśli właśnie wielomiany jednej zmiennej.

Wielomiany jednej zmiennej

Zauważmy, że wielomiany jednej zmiennej są pewną funkcją, dlatego też dany wielomian będziemy najczęściej zapisywać jako $W(x)$, $P(x)$, $Q(x)$ np.:

• $W(x) = x^2 + 2x - 1\,$,
• $P(x) = 2x - 1\,$,
• $Q(x) = 2x^{123} - 2x^{122} + 2x^{121} - \dots + 2x^3 - 2x^2 + 2x^1 - 2$.

Przyjmujemy, że dziedziną wielomianu jednej zmiennej jest zbiór liczb rzeczywistych.

Spójrzmy teraz na poniższą, pełną definicję wielomianu jednej zmiennej.

DEFINICJA Funkcja W określona wzorem $W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\dots+a_1x^1+a_0$, gdzie $a_n \neq 0$ nazywana jest wielomianem jednej zmiennej stopnia n.

Liczby $a_0$, $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$ nazywane są współczynnikami wielomianu. W wielomianie $W(x) = 6x^3 + 4x^2 + 3x + 2$ współczynnikami będą $a_3 = 6$, $a_2 = 4$, $a_1 = 3$ i $a_0 = 2$.

A ile wynosi współczynnik przy 23 potędze w wielomianie $2x^3 + x$? Odpowiedź wydaje się prosta, $a_{23} = 0$, ponieważ $2x^3 + x = 0x^{23} + 2x^3 + x$.

W powyższej definicji został wprowadzony stopień wielomianu. Stopień wielomianu to największe takie n, że $a_n \neq 0$ np. $P(x) = 3x^6 + x^2 + 1$ jest wielomianem 6. stopnia, ale wielomian $Q(x) = 0x^{100} + 23x + 1$ jest wielomianem pierwszego stopnia, ponieważ $a_1 = 23$ i $a_{100} = 0$.

Zauważmy, że funkcja stała $f(x) = a$ jest wielomianem zerowego stopnia. Funkcja liniowa $f(x) = ax + b,\ a \neq 0$ jest wielomianem pierwszego stopnia, a funkcja kwadratowa $g(x) = ax^2 + bx + c,\ a \neq 0$ jest wielomianem drugiego stopnia.

Uporządkowanie wielomianu

Wielomiany mogą być uporządkowane rosnąco lub malejąco, według rosnących lub malejących wykładników potęg.

Wielomianami uporządkowanymi malejąco będą:

• $W_1(x)=10x^3 + 5x^2 + 7x + 10$,
• $W_2(x)=x^{50} + 2x^{21} + 4x$,
• $W_3(x)=x+1$.

Natomiast wielomianami uporządkowanymi rosnąco będą:

• $P_1(x)=10 + 7x + 5x^2 + 10x^3$
• $P_2(x)=4x + 2x^{21} + x^{50}$
• $P_3(x)=1+x$

Równość wielomianów

Wielomiany są funkcją, gdzie zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, zatem dwa wielomiany P i Q będą sobie równe, jeśli dla wszystkich $x$ zachodzi $P(x) = Q(x)$, a z tego z kolei wynika poniższe twierdzenie, które przedstawimy bez dowodu:

TWIERDZENIE Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia, gdy współczynniki przy odpowiednich potęgach są sobie równe oraz mają te same dziedziny.

Na przykład wielomiany $A(x) = 10x^3 + 3x^2 + 4x$ oraz $B(x) = 10x^3 + 3x^2 + 4x$ są równe, ale $C(x)=9x^5 + 4x^2 + x$ oraz $D(x)=10x^5 + 4x^2 + x$ nie są równe. Podobnie wielomian $W(x) = x^4 + x$ jest równy wielomianowi $P(x) = \frac{2x + 2x^4}{2}$, ale nie jest równy wielomianowi $P(x) = 2x^4 + 2x$. Pamiętajmy, że dziedzina funkcji też ma znaczenie: wielomian $P(x) = \frac{2x^3}{x^2}$ nie jest równy wielomianowi $Q(x) = 2x \,$.

Wielomiany możemy do siebie dodawać i odejmować. W następnym podrozdziale dowiemy się, jak to robić.

Dodawanie i odejmowanie wielomianów

Wielomiany możemy dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić.

Dodawanie wielomianów

Aby dodać wielomian musimy dodać wyrazy podobne oraz uporządkować je.

$A(x)=4x^5+x^3+2x^2+8x+20$
$B(x)=13x^5+7x^4+x^3+11$

$A(x)+B(x)=4x^5+x^3+2x^2+8x+20+13x^5+7x^4+x^3+11=17x^5+7x^4+2x^3+2x^2+8x+31$

Dodawanie wielomianów jest przemienne oraz łączne:

$A(x)+B(x)=B(x)+A(x)$ - przemienność

$(A(x)+B(x))+C(x)=A(x)+(B(x)+C(x))$ - łączność

Odejmowanie wielomianów

Odejmowanie wielomianów jest podobne do dodawania. Od współczynników pierwszego wielomianu musimy odjąć współczynniki drugiego:

$A(x)=4x^5+x^3+2x^2+8x+20$
$B(x)=13x^5+7x^4+x^3+11$

$A(x)-B(x)=4x^5+x^3+2x^2+8x+20-(13x^5+7x^4+x^3+11)=-9x^5-7x^4+2x^2+8x+9$

Odejmowanie wielomianów podobnie jak zwykłe odejmowanie nie jest przemienne ani łączne:

$A(x)-B(x) \neq B(x)-A(x)$

$(A(x)-B(x))-C(x) \neq A(x)-(B(x)-C(x))$

Ćwiczenia

1) Dodaj wielomiany

• $A(x)=6x^3+13x^2+20x$ oraz $B(x)=10x^4+7x^3+2x^2+10x+10$
• $C(x)=11x^{20}+120x^{13}+10x^{10}+5x+7$ oraz $D(x)=11x^{21}+3x^{19}+9x^{10}+x-4$

2) Odejmij wielomiany

• $A(x)=6x^3+13x^2+20x$ oraz $B(x)=10x^4+7x^3+2x^2+10x+10$
• $C(x)=11x^{20}+120x^{13}+10x^{10}+5x+7$ oraz $D(x)=11x^{21}+3x^{19}+9x^{10}+x-4$

3) $W(x)=4x^6+9x^4+8x^3+5x^2+x+1 \mbox{ i } P(x)=3x^6+x^5+2x^4+2x^2+3x+10$ Podaj wzór wielomianu Q(x) jeśli:

• W(x)+Q(x)=P(x)
• W(x)-Q(x)=P(x)

Mnożenie wielomianów

Mnożenie wielomianów polega na wymnożeniu przez siebie wyrazów obu wielomianów:

$A(x)=x^4+4x^2-x+2\,$

$B(x)=x^4+x^3+10\,$

$A(x) \cdot B(x)=(x^4+4x^2-x+2)(x^4+x^3+10)=\,$

Mnożymy każdy wyraz pierwszego wielomianu przez każdy wyraz drugiego:

$x^4 \cdot x^4+x^4 \cdot x^3+x^4 \cdot 10+4x^2 \cdot x^4 +4x^2 \cdot x^3+4x^2 \cdot 10-x \cdot x^4-x \cdot x^3-x \cdot 10 + 2 \cdot x^4+ 2 \cdot x^3+ 2 \cdot 10=$

$x^8+x^7+10x^4+4x^6+4x^5+40x^2-x^5-x^4-10x+2x^4+2x^3+20=\,$

Redukujemy wyrazy podobne i porządkujemy otrzymany wielomian:

$x^8+x^7+4x^6+3x^5+11x^4+2x^3+40x^2-10x+20\,$

Dzielenie wielomianów

Wykonamy dzielenie wielomianu (x³-2x²-2x-3) przez (x-3) za pomocą metody podobnej do pisemnego dzielenia liczb.

Przykład

Opis

(x³-2x²-2x-3):(x-3)=x²+x+1 -x³+3x² ------------- x²-2x-3 -x²+3x --------- x-3 -x+3 ----- = =

1. x³:x=x² 2. x²·x=x³ - przepisujemy ze zmienionym znakiem 3. x²·(-3)=(-3x²) - przepisujemy ze zmien. znakiem 4. -2x²+3x²=x² 5. -2x i -3 przepisujemy 6. x²:x=x 7. x·x=x² - przepisujemy ze zmienionym znakiem 8. x·(-3)=(-3x) - przepisujemy ze zmien. znakiem 9. -2x+3x=x 10. -3 przepisujemy 11. x:x=1 12. 1·x=x - przepisujemy ze zmienionym znakiem 13. 1·(-3)=(-3) - przepisujemy ze zmien. znakiem 14. -x+x=0; -3+3=0; = =

Wynik:

(x³-2x²-2x-3) = (x-3)*(x²+x+1)

Dodatek:

(x³ -2x²..):(..)=..

-x³ +3x²
-------
    ^^(-2x²+3x²)=x²

(dzielna):(dzielnik)=wynik

Schemat, jak wykonać dzielenie (uwaga: jednomian to np. -2x² lub np. 7)

1. Nad kreską: dzielimy pierwszy jednomian z dzielnej przez pierwszy z dzielnika i wpisujemy w wynik, następnie wynik mnożymy po kolei przez jednomiany z dzielnika i zapisujemy ze zmienionym znakiem poniżej (nad kreską).
2. Dodajemy do siebie oba wielomiany nad kreską, jak w ramce "dodatek", zapisując wynik pod kreską; pod kreską uzyskujemy nową dzielną.
3. Nad kolejnymi kreskami: bierzemy pierwszy jednomian z nowej dzielnej (spod kreski) i znowu dzielimy przez pierwszy z dzielnika, dopisując do wyniku, po czym mnożymy wynik przez... tak jak w punkcie 1. i 2. dopóki w dzielnej jest niewiadoma x.

• W razie gdyby na końcu została jakaś reszta (tzn. dzielna bez x), zapisujemy w wyniku: (iloraz)(dzielnik)+(reszta)
• Ważne: zawsze bierzemy jednomian ze znakiem, nie można pomylić i zamiast np. -x³ wziąć x³ bez minusa!

Zamiast dzielenia możemy zastosować o wiele prostszy schemat Hornera.

Rozkład wielomianów stopnia trzeciego na czynniki

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Przykład:

$T(x)=x^3-3x^2-4x=x(x^2-3x-4)$

Niech: $P(x)=x^2-3x-4=0$

$\Delta~ = 9 + 16 = 25$ $\sqrt{\Delta~} = 5$

$x_{1}~ = \frac {3-5}{2} = \frac {(-2)}{2} = (-1)$ $x_{2}~ = \frac {3+5}{2} = \frac {8}{2} = 4$

$P(x)=x^2-3x-4=(x+1)(x-4)$

Zatem: $T(x)=x^3-3x^2-4x=x(x^2-3x-4)=x(x+1)(x-4)$

Grupowanie wyrazów

Przykład:

$W(x)=x^3-5x^2+2x-10=(x^3-5x^2)+(2x-10)=x^2$(x - 5)+2(x - 5)$=(x-5)(x^2+2)$

$Q(x)=2x^3-8x^2+x-4=(2x^3-8x^2)+(x-4)=2x^2$(x - 4)+(x - 4)$=(x-4)(2x^2+1)$

Zastosowanie twierdzenia Bézouta

TWIERDZENIE Liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x – p.

To twierdzenie nosi nazwę Twierdzenia Bézouta. Dla dowodu załóżmy, że liczba $p$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)$. Na mocy twierdzenia o dzieleniu z resztą mamy $W(x)=(x-p)Q(x) + C$, gdzie $C$ jest pewną stałą, a $Q(x)$ - wielomianem. Podstawiając $x=p$ dostajemy $W(p)=(p-p)Q(p)+C=C$, zatem wielomian $W(x)$ jest podzielny przez dwumian $x-p$. Odwrotnie, niech $W(x)=(x-p)P(x)$, gdzie $P(x)$ jest pewnym wielomianem. Wówczas $W(p)=(p-p)P(p)=0$, co kończy dowód.

Na podstawie tego twierdzenia można powiedzieć, że jeżeli wielomian jednej zmiennej posiada pierwiastek, to rozkłada się na czynniki.

Przykład:

$W(x)=x^3-x^2-14x+24$

Pierwiastkiem tego wielomianu jest x = (-4), ponieważ:

$W((-4))=(-4)^3-(-4)^2-14\cdot(-4)+24=(-64)-16+56+24=0$

Wielomian W(x), na podstawie twierdzenia Bezouta, jest podzielny przez dwumian Q(x) = x + 4

Wykonujemy dzielenie W(x) : Q(x).

Otrzymujemy $W(x)=x^3-x^2-14x+24=(x+4)(x^2-5x+6)$

Niech: $P(x)=x^2-5x+6$. Dokonujemy rozkładu P(x).

$P(x)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$

Ostatecznie $W(x)=x^3-x^2-14x+24=(x+4)(x-2)(x-3)$

Równania wielomianowe

Na początek definicja.

DEFINICJA Równanie wielomianowe to równanie otrzymane poprzez przyrównanie danego wielomianu do zera.

Zobaczmy na przykłady:

• $4x + 1 = 0$
• $3x^2 + 2x - 5 = 0$
• $x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x^1 - 1 = 0$

Rozwiązywanie równania wielomianowego polega na znalezieniu wszystkich $x \in \mathbb{R}$, dla których wielomian jest równy zero. Niestety problem ten z reguły nie jest łatwy, jednak w standardowych zadaniach trzeba będzie z reguły skorzystać:

• ze wzorów skróconego mnożenia
• z dzielenia wielomianów i twierdzenia Bézout'a
• z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych
• metody podstawiania (tzn. sprawdzamy, czy dla danego x zachodzi W(x) = 0)

Twierdzenie Bézout Liczba a jest miejscem zerowym wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-a).

TWIERDZENIE Jeśli $a = \tfrac{p}{q}, p,q \in \mathbb{Z}$ jest wymiernym pierwiastkiem wielomianu $W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$, to $p$ dzieli $a_0$ i $q$ dzieli $a_n$.

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia

$x^3-6x^2+9x=0\,$

Wyciągamy x przed nawias
$x(x^2-6x+9)=0\,$

Zauważmy, że wyrażenie $x^2-6x+9\,$ można zapisać korzystając ze wzoru $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\,$ , czyli:

$x(x-3)^2=0\,$

Teraz przyrównujemy:
$x=0 \vee x-3=0\,$

$x=0 \vee x=3\,$

Rozwiązaniem równania są liczby 0 i 3.

Wiadomości wstępne

Nierównością wielomianową nazywamy nierówność postaci: W(x)<G(x), W(x)>G(x), W(x)<=G(x) lub W(x)>=G(x), gdzie W(x) i G(x) są wielomianami tej samej zmiennej.

Przykłady

$x^2 + 2 > 0$, której rozwiązaniem jest zbiór liczb rzeczywistych. $x^2 < 4$, której rozwiązaniem jest zbiór (-2, 2). $x^2 < 0$, której rozwiązaniem jest zbiór pusty.

Sposób rozwiązywania

Aby rozwiązać nierówność wielomianową, należy wykonać następujące kroki:

• Przenosimy wszystkie liczby i niewiadome na lewą stronę, tak aby, prawa strona była równa zeru.

• Za pomocą znanych już nam sposobów (grupowanie, wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia, obliczenie miejsc zerowych funkcji kwadratowej) rozkładamy wielomian po lewej stronie na iloczyn wielomianów stopnia co najwyżej drugiego.

• Następnie, dla każdego z wielomianów po rozkładzie znajdujemy przedział, w którym jest dodatni, miejsce zerowe i przedział, w którym jest ujemny.

• Budujemy tabelkę znaków wielomianu w poszczególnych przedziałach.

• Zapisujemy przedziały, w których wielomian jest dodatni, ujemny bądź równy zeru.

• Formułujemy odpowiedź.

Przykładowo, rozwiążmy nierówność: $x^4 + \sqrt{20}x^3 + 2x^2 > -\sqrt{20}x - 1$

• Możemy ją przekształcić do postaci: $x^4 + \sqrt{20}x^3 + 2x^2 + \sqrt{20}x + 1 > 0$ i metodą grupowania rozłożyć lewą stronę w następujący sposób: $x^4 + \sqrt{20}x^3 + 2x^2 + \sqrt{20}x + 1 = x^4 + \sqrt{20}x^3 + x^2 + x^2 + \sqrt{20}x + 1 = (x^2 + 1)(x^2 + \sqrt{20}x + 1)$

• Pierwsze wyrażenie ($x^2 + 1$) nie ma miejsc zerowych, a więc nie da się go rozłożyć na wyrażenia stopnia pierwszego (gdyż $\Delta < 0$).

• $\Delta$ drugiego wyrażenia wynosi 16 ($\sqrt{20}^2 - 4$), a jego miejscami zerowymi są liczby $\frac{\sqrt{20} + 4}{2}$ i $\frac{\sqrt{20} - 4}{2}$. Wyrażenie to ma więc postać:

• $x^2 + \sqrt{20}x + 1 = (x-\frac{\sqrt{20} + 4}{2})(x-\frac{\sqrt{20} - 4}{2})$

A cała nierówność ma postać:

$(x^2 + 1)(x-\frac{\sqrt{20} + 4}{2})(x-\frac{\sqrt{20} - 4}{2})>0$

Możemy więc zbudować tabelę znaków wielomianu i jego czynników:

	$x^2 + 1$	$x-\frac{\sqrt{20} + 4}{2}$	$x-\frac{\sqrt{20} - 4}{2}$	cała lewa strona nierówności
$x \in (-\infty, \frac{\sqrt{20} - 4}{2})$	+	-	-	+
$x = \frac{\sqrt{20} - 4}{2}$	+	0	-	0
$x \in (\frac{\sqrt{20} - 4}{2}, \frac{\sqrt{20} + 4}{2})$	+	+	-	-
$x = \frac{\sqrt{20} + 4}{2}$	+	+	0	0
$x \in (\frac{\sqrt{20} + 4}{2}, \infty)$	+	+	+	+

Widzimy, że nierówność zachodzi (lewa strona jest dodatnia) gdy $x \in (-\infty, \frac{\sqrt{20} - 4}{2}) \cup (\frac{\sqrt{20} + 4}{2}, \infty)$ Matematyka dla liceum/Wielomiany/Równości i nierówności wielomianowe z wartością bezwzględną Matematyka dla liceum/Wielomiany/Równości i nierówności wielomianowe z parametrem Matematyka dla liceum/Wielomiany/Podsumowanie Matematyka dla liceum/Wielomiany/Zadania z rozwiązaniami

Ćwiczenia

1) Uporządkuj malejąco wielomiany:

• $W(x) = 10x^4+7x^9+x+10+13x^{13}$
• $W(x) = 11x^{20}+4x^5+4x^6+21x^{11}$

2) Uporządkuj rosnąco wielomiany:

• $W(x) = 10x^4+7x^9+x+10+13x^{13}$
• $W(x) = 11x^{20}+4x^5+4x^6+21x^{11}$

3) Czy poniższe wielomiany są równe:

• $A(x) = 41x^5+7x^2+x$ oraz $B(x) = 7x^2+41x^5+x$
• $C(x) = x^7+4x^3+x^9+x$ oraz $D(x) = 2x^7+4x^3+x^9+x$
• $C(x) = 11x^2+x+10$ oraz $D(x) = 11x^3+x^2+10$

4) Dla jakich wartości parametru a i b poniższe wielomiany są równe:

• $A(x) = ax^6+10x^4+x+1$ oraz $B(x) = 7x^6+bx^4+x+1$
• $C(x) = (a+1)x^7+(b-3)x^5+5$ oraz $D(x) = 11x^7+(b-3)x^5+5$