Matematyka dla liceum/Wielomiany

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Wiadomości wstępne

Jednomian[edytuj]

Zacznijmy od czegoś prostego, czyli od zdefiniowania czym są jednomiany.

Definicja
DEFINICJA

Jednomian to iloczyn czynników, w którym każdy czynnik jest liczbą lub pewną zmienną.

Jednomianem może być:

  • 4\;
  • x\;
  • 2a\;
  • 3abc\;
  • 4b^3\;
  • \tfrac{5}{7}a^2

Wielomiany[edytuj]

Już znamy pojęcie jednomianu. Teraz kilka jednomianów możemy do siebie dodać np. do jednomianu x możemy dodać 2a otrzymując x + 2a. Innym przykładem sumy jednomianów może być:

  •  x^3 + y^2 + z^3\, ,
  •  \frac{4}{3}x^7 + x^5 + x,
  •  a^2 + 2ab + b^2\, ,

a takie coś nazywamy wielomianami.

Definicja
DEFINICJA

Wielomian to suma jednomianów .

Wielomiany możemy podzielić ze względu na liczbę zmiennych np.  -a^2 + b^2 + 4c + d będzie wielomianem czterech zmiennych a, b, c i d. Wielomian  3x + 2y będzie wielomianem dwóch zmiennych x i y, a wielomian  4x^2 + 3x + 1 będzie wielomianem jednej zmiennej x. W tym podręczniku mówiąc o wielomianach, będziemy mieli najczęściej na myśli właśnie wielomiany jednej zmiennej.

Wielomiany jednej zmiennej[edytuj]

Zauważmy, że wielomiany jednej zmiennej są pewną funkcją, dlatego też dany wielomian będziemy najczęściej zapisywać jako W(x), P(x), Q(x) np.:

  •  W(x) = x^2 + 2x - 1\, ,
  •  P(x) = 2x - 1\, ,
  •  Q(x) = 2x^{123} - 2x^{122} + 2x^{121} - \dots + 2x^3 - 2x^2 + 2x^1 - 2 .

Przyjmujemy, że dziedziną wielomianu jednej zmiennej jest zbiór liczb rzeczywistych.

Spójrzmy teraz na poniższą, pełną definicję wielomianu jednej zmiennej.

Definicja
DEFINICJA

Funkcja W określona wzorem  W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\dots+a_1x^1+a_0 , gdzie  a_n \neq 0 nazywana jest wielomianem jednej zmiennej stopnia n.

Liczby a_0, a_1, a_2, ..., a_n nazywane są współczynnikami wielomianu. W wielomianie W(x) = 6x^3 + 4x^2 + 3x + 2 współczynnikami będą a_3 = 6, a_2 = 4, a_1 = 3 i a_0 = 2.

A ile wynosi współczynnik przy 23 potędze w wielomianie 2x^3 + x? Odpowiedź wydaje się prosta, a_{23} = 0, ponieważ 2x^3 + x = 0x^{23} + 2x^3 + x.

W powyższej definicji został wprowadzony stopień wielomianu. Stopień wielomianu to największe takie n, że a_n \neq 0 np.  P(x) = 3x^6 + x^2 + 1 jest wielomianem 6. stopnia, ale wielomian  Q(x) = 0x^{100} + 23x + 1 jest wielomianem pierwszego stopnia, ponieważ a_1 = 23 i a_{100} = 0.

Zauważmy, że funkcja stała f(x) = a jest wielomianem zerowego stopnia. Funkcja liniowa f(x) = ax + b,\ a \neq 0 jest wielomianem pierwszego stopnia, a funkcja kwadratowa g(x) = ax^2 + bx + c,\ a \neq 0 jest wielomianem drugiego stopnia.

Uporządkowanie wielomianu[edytuj]

Wielomiany mogą być uporządkowane rosnąco lub malejąco, według rosnących lub malejących wykładników potęg.

Wielomianami uporządkowanymi malejąco będą:

  • W_1(x)=10x^3 + 5x^2 + 7x + 10,
  • W_2(x)=x^{50} + 2x^{21} + 4x,
  • W_3(x)=x+1.

Natomiast wielomianami uporządkowanymi rosnąco będą:

  • P_1(x)=10 + 7x + 5x^2 + 10x^3
  • P_2(x)=4x + 2x^{21} + x^{50}
  • P_3(x)=1+x

Równość wielomianów[edytuj]

Wielomiany są funkcją, gdzie zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, zatem dwa wielomiany P i Q będą sobie równe, jeśli dla wszystkich x zachodzi P(x) = Q(x), a z tego z kolei wynika poniższe twierdzenie, które przedstawimy bez dowodu:

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia, gdy współczynniki przy odpowiednich potęgach są sobie równe oraz mają te same dziedziny.

Na przykład wielomiany  A(x) = 10x^3 + 3x^2 + 4x oraz  B(x) = 10x^3 + 3x^2 + 4x są równe, ale  C(x)=9x^5 + 4x^2 + x oraz  D(x)=10x^5 + 4x^2 + x nie są równe. Podobnie wielomian W(x) = x^4 + x jest równy wielomianowi P(x) = \frac{2x + 2x^4}{2}, ale nie jest równy wielomianowi P(x) = 2x^4 + 2x . Pamiętajmy, że dziedzina funkcji też ma znaczenie: wielomian P(x) = \frac{2x^3}{x^2} nie jest równy wielomianowi  Q(x) = 2x \,.

Wielomiany możemy do siebie dodawać i odejmować. W następnym podrozdziale dowiemy się, jak to robić.


Dodawanie i odejmowanie wielomianów

Wielomiany możemy dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić.

Dodawanie wielomianów[edytuj]

Aby dodać wielomian musimy dodać wyrazy podobne oraz uporządkować je.

A(x)=4x^5+x^3+2x^2+8x+20
B(x)=13x^5+7x^4+x^3+11

A(x)+B(x)=4x^5+x^3+2x^2+8x+20+13x^5+7x^4+x^3+11=17x^5+7x^4+2x^3+2x^2+8x+31

Dodawanie wielomianów jest przemienne oraz łączne:

A(x)+B(x)=B(x)+A(x) - przemienność

(A(x)+B(x))+C(x)=A(x)+(B(x)+C(x)) - łączność

Odejmowanie wielomianów[edytuj]

Odejmowanie wielomianów jest podobne do dodawania. Od współczynników pierwszego wielomianu musimy odjąć współczynniki drugiego:

A(x)=4x^5+x^3+2x^2+8x+20
B(x)=13x^5+7x^4+x^3+11

A(x)-B(x)=4x^5+x^3+2x^2+8x+20-(13x^5+7x^4+x^3+11)=-9x^5-7x^4+2x^2+8x+9

Odejmowanie wielomianów podobnie jak zwykłe odejmowanie nie jest przemienne ani łączne:

A(x)-B(x) \neq B(x)-A(x)

(A(x)-B(x))-C(x) \neq A(x)-(B(x)-C(x))

Ćwiczenia[edytuj]

1) Dodaj wielomiany

  • A(x)=6x^3+13x^2+20x oraz B(x)=10x^4+7x^3+2x^2+10x+10
  • C(x)=11x^{20}+120x^{13}+10x^{10}+5x+7 oraz D(x)=11x^{21}+3x^{19}+9x^{10}+x-4

2) Odejmij wielomiany

  • A(x)=6x^3+13x^2+20x oraz B(x)=10x^4+7x^3+2x^2+10x+10
  • C(x)=11x^{20}+120x^{13}+10x^{10}+5x+7 oraz D(x)=11x^{21}+3x^{19}+9x^{10}+x-4

3) W(x)=4x^6+9x^4+8x^3+5x^2+x+1 \mbox{ i } P(x)=3x^6+x^5+2x^4+2x^2+3x+10 Podaj wzór wielomianu Q(x) jeśli:

  • W(x)+Q(x)=P(x)
  • W(x)-Q(x)=P(x)


Mnożenie wielomianów

Mnożenie wielomianów polega na wymnożeniu przez siebie wyrazów obu wielomianów:

A(x)=x^4+4x^2-x+2\,

B(x)=x^4+x^3+10\,

A(x) \cdot B(x)=(x^4+4x^2-x+2)(x^4+x^3+10)=\,

Mnożymy każdy wyraz pierwszego wielomianu przez każdy wyraz drugiego:

x^4 \cdot x^4+x^4 \cdot x^3+x^4 \cdot 10+4x^2 \cdot x^4 +4x^2 \cdot x^3+4x^2 \cdot 10-x \cdot x^4-x \cdot x^3-x \cdot 10 + 2 \cdot x^4+ 2 \cdot x^3+ 2 \cdot 10=

x^8+x^7+10x^4+4x^6+4x^5+40x^2-x^5-x^4-10x+2x^4+2x^3+20=\,

Redukujemy wyrazy podobne i porządkujemy otrzymany wielomian:

x^8+x^7+4x^6+3x^5+11x^4+2x^3+40x^2-10x+20\,


Dzielenie wielomianów

Wykonamy dzielenie wielomianu (x³-2x²-2x-3) przez (x-3) za pomocą metody podobnej do pisemnego dzielenia liczb.

Przykład Opis
(x³-2x²-2x-3):(x-3)=x²+x+1

-x³+3x²
-------------
     x²-2x-3
    -x²+3x
    ---------
         x-3
        -x+3
        -----
         = =
1. x³:x=x²
2. x²·x=x³ - przepisujemy ze zmienionym znakiem
3. x²·(-3)=(-3x²) - przepisujemy ze zmien. znakiem
4. -2x²+3x²=x²
5. -2x i -3 przepisujemy
6. x²:x=x
7. x·x=x² - przepisujemy ze zmienionym znakiem
8. x·(-3)=(-3x) - przepisujemy ze zmien. znakiem
9. -2x+3x=x
10. -3 przepisujemy
11. x:x=1
12. 1·x=x - przepisujemy ze zmienionym znakiem
13. 1·(-3)=(-3) - przepisujemy ze zmien. znakiem
14. -x+x=0; -3+3=0; = =

Wynik:

(x³-2x²-2x-3) = (x-3)*(x²+x+1)

Dodatek:

(x³ -2x²..):(..)=..

-x³ +3x²
-------
    ^^(-2x²+3x²)=x²


(dzielna):(dzielnik)=wynik

Schemat, jak wykonać dzielenie (uwaga: jednomian to np. -2x² lub np. 7)

  1. Nad kreską: dzielimy pierwszy jednomian z dzielnej przez pierwszy z dzielnika i wpisujemy w wynik, następnie wynik mnożymy po kolei przez jednomiany z dzielnika i zapisujemy ze zmienionym znakiem poniżej (nad kreską).
  2. Dodajemy do siebie oba wielomiany nad kreską, jak w ramce "dodatek", zapisując wynik pod kreską; pod kreską uzyskujemy nową dzielną.
  3. Nad kolejnymi kreskami: bierzemy pierwszy jednomian z nowej dzielnej (spod kreski) i znowu dzielimy przez pierwszy z dzielnika, dopisując do wyniku, po czym mnożymy wynik przez... tak jak w punkcie 1. i 2. dopóki w dzielnej jest niewiadoma x.
  • W razie gdyby na końcu została jakaś reszta (tzn. dzielna bez x), zapisujemy w wyniku: (iloraz)(dzielnik)+(reszta)
  • Ważne: zawsze bierzemy jednomian ze znakiem, nie można pomylić i zamiast np. -x³ wziąć x³ bez minusa!

Zamiast dzielenia możemy zastosować o wiele prostszy schemat Hornera.


Rozkład wielomianów stopnia trzeciego na czynniki

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias[edytuj]

Przykład: T(x)=x^3-3x^2-4x=x(x^2-3x-4)

Niech: P(x)=x^2-3x-4=0

 \Delta~ = 9 + 16 = 25  \sqrt{\Delta~} = 5

 x_{1}~ = \frac {3-5}{2} = \frac {(-2)}{2} = (-1)  x_{2}~ = \frac {3+5}{2} = \frac {8}{2} = 4

P(x)=x^2-3x-4=(x+1)(x-4)

Zatem: T(x)=x^3-3x^2-4x=x(x^2-3x-4)=x(x+1)(x-4) 1-x3=x2-x

Grupowanie wyrazów[edytuj]

Przykład:

W(x)=x<math>=(x-4)(2x^2+1) ^3-15x^2+23x-<mat=(x-4)(2x^2+1) h>=(x-4)(2x^2+1)</math> 10=(x^3-=(x-<math>=(x-4)(2x^2+1) 4)(2x^2+1)</math> 5x^2)+(12x-=(x<math>=(x-4)(2x^2+1) -4)(2x^2+1)</math> 10)=x^2</math>'(x - 5)=(x-4)(2x^2+1) '+2(x - 5)=(x-5)(x^2+2)

<mat=(x-4)(2x^2+1) h>Q(=(x-4)(2x^2+1) x)=22x^3-28x^2+x-4==(x-4)(2x^2+1)

Zastosowanie twierdzenia Bézouta[edytuj]

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x – p.


To twierdzenie nosi nazwę Twierdzenia Bézouta. Dla dowodu załóżmy, że liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x). Na mocy twierdzenia o dzieleniu z resztą mamy W(x)=(x-p)Q(x) + C, gdzie C jest pewną stałą, a Q(x) - wielomianem. Podstawiając x=p dostajemy W(p)=(p-p)Q(p)+C=C, zatem wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-p. Odwrotnie, niech W(x)=(x-p)P(x), gdzie P(x) jest pewnym wielomianem. Wówczas W(p)=(p-p)P(p)=0, co kończy dowód.


Na podstawie tego twierdzenia można powiedzieć, że jeżeli wielomian jednej zmiennej posiada pierwiastek, to rozkłada się na czynniki.

Przykład:

W(x)=x^3-x^2-14x+24

Pierwiastkiem tego wielomianu jest x = (-4), ponieważ:

W((-4))=(-4)^3-(-4)^2-14\cdot(-4)+24=(-64)-16+56+24=0

Wielomian W(x), na podstawie twierdzenia Bezouta, jest podzielny przez dwumian Q(x) = x + 4

Wykonujemy dzielenie W(x) : Q(x).

Otrzymujemy W(x)=x^3-x^2-14x+24=(x+4)(x^2-5x+6)

Niech:  P(x)=x^2-5x+6. Dokonujemy rozkładu P(x).

P(x)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)

Ostatecznie W(x)=x^3-x^2-14x+24=(x+4)(x-2)(x-3)


Równania wielomianowe

Na początek definicja.

Definicja
DEFINICJA

Równanie wielomianowe to równanie otrzymane poprzez przyrównanie danego wielomianu do zera.

Zobaczmy na przykłady:

  •  4x + 1 = 0
  •  3x^2 + 2x - 5 = 0
  •  x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x^1 - 1 = 0

Rozwiązywanie równania wielomianowego polega na znalezieniu wszystkich x \in \mathbb{R}, dla których wielomian jest równy zero. Niestety problem ten z reguły nie jest łatwy, jednak w standardowych zadaniach trzeba będzie z reguły skorzystać:

  • ze wzorów skróconego mnożenia
  • z dzielenia wielomianów i twierdzenia Bézout'a
  • z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych
  • metody podstawiania (tzn. sprawdzamy, czy dla danego x zachodzi W(x) = 0)
Twierdzenie
Twierdzenie Bézout

Liczba a jest miejscem zerowym wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-a).

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Jeśli  a = \tfrac{p}{q}, p,q \in \mathbb{Z} jest wymiernym pierwiastkiem wielomianu  W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 , to p dzieli a_0 i q dzieli a_n.

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia[edytuj]

 x^3-6x^2+9x=0\,

Wyciągamy x przed nawias
 x(x^2-6x+9)=0\,

Zauważmy, że wyrażenie  x^2-6x+9\, można zapisać korzystając ze wzoru  (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\, , czyli:

 x(x-3)^2=0\,

Teraz przyrównujemy:
 x=0 \vee x-3=0\,

 x=0 \vee x=3\,

Rozwiązaniem równania są liczby 0 i 3.


Wiadomości wstępne

Nierównością wielomianową nazywamy nierówność postaci: W(x)<G(x), W(x)>G(x), W(x)<=G(x) lub W(x)>=G(x), gdzie W(x) i G(x) są wielomianami tej samej zmiennej.

Przykłady[edytuj]

x^2 + 2 > 0, której rozwiązaniem jest zbiór liczb rzeczywistych. x^2 < 4, której rozwiązaniem jest zbiór (-2, 2). x^2 < 0, której rozwiązaniem jest zbiór pusty.

Sposób rozwiązywania[edytuj]

Aby rozwiązać nierówność wielomianową, należy wykonać następujące kroki:

  • Przenosimy wszystkie liczby i niewiadome na lewą stronę, tak aby, prawa strona była równa zeru.
  • Za pomocą znanych już nam sposobów (grupowanie, wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia, obliczenie miejsc zerowych funkcji kwadratowej) rozkładamy wielomian po lewej stronie na iloczyn wielomianów stopnia co najwyżej drugiego.
  • Następnie, dla każdego z wielomianów po rozkładzie znajdujemy przedział, w którym jest dodatni, miejsce zerowe i przedział, w którym jest ujemny.
  • Budujemy tabelkę znaków wielomianu w poszczególnych przedziałach.
  • Zapisujemy przedziały, w których wielomian jest dodatni, ujemny bądź równy zeru.
  • Formułujemy odpowiedź.


Przykładowo, rozwiążmy nierówność: x^4 + \sqrt{20}x^3 + 2x^2 > -\sqrt{20}x - 1

  • Możemy ją przekształcić do postaci: x^4 + \sqrt{20}x^3 + 2x^2 + \sqrt{20}x + 1 > 0 i metodą grupowania rozłożyć lewą stronę w następujący sposób: x^4 + \sqrt{20}x^3 + 2x^2 + \sqrt{20}x + 1 = x^4 + \sqrt{20}x^3 + x^2 + x^2 + \sqrt{20}x + 1 = (x^2 + 1)(x^2 + \sqrt{20}x + 1)
  • Pierwsze wyrażenie (x^2 + 1) nie ma miejsc zerowych, a więc nie da się go rozłożyć na wyrażenia stopnia pierwszego (gdyż \Delta < 0).
  • \Delta drugiego wyrażenia wynosi 16 (\sqrt{20}^2 - 4), a jego miejscami zerowymi są liczby \frac{\sqrt{20} + 4}{2} i \frac{\sqrt{20} - 4}{2}. Wyrażenie to ma więc postać:
  • x^2 + \sqrt{20}x + 1 = (x-\frac{\sqrt{20} + 4}{2})(x-\frac{\sqrt{20} - 4}{2})

A cała nierówność ma postać:

(x^2 + 1)(x-\frac{\sqrt{20} + 4}{2})(x-\frac{\sqrt{20} - 4}{2})>0

Możemy więc zbudować tabelę znaków wielomianu i jego czynników:

  x^2 + 1 x-\frac{\sqrt{20} + 4}{2} x-\frac{\sqrt{20} - 4}{2} cała lewa strona nierówności
 x \in (-\infty, \frac{\sqrt{20} - 4}{2}) + - - +
 x = \frac{\sqrt{20} - 4}{2} + 0 - 0
 x \in (\frac{\sqrt{20} - 4}{2}, \frac{\sqrt{20} + 4}{2}) + + - -
 x = \frac{\sqrt{20} + 4}{2} + + 0 0
 x \in (\frac{\sqrt{20} + 4}{2}, \infty) + + + +

Widzimy, że nierówność zachodzi (lewa strona jest dodatnia) gdy  x \in (-\infty, \frac{\sqrt{20} - 4}{2}) \cup (\frac{\sqrt{20} + 4}{2}, \infty) Matematyka dla liceum/Wielomiany/Równości i nierówności wielomianowe z wartością bezwzględną Matematyka dla liceum/Wielomiany/Równości i nierówności wielomianowe z parametrem Matematyka dla liceum/Wielomiany/Podsumowanie Matematyka dla liceum/Wielomiany/Zadania z rozwiązaniami

Ćwiczenia

1) Uporządkuj malejąco wielomiany:

  • W(x) = 10x^4+7x^9+x+10+13x^{13}
  • W(x) = 11x^{20}+4x^5+4x^6+21x^{11}

2) Uporządkuj rosnąco wielomiany:

  • W(x) = 10x^4+7x^9+x+10+13x^{13}
  • W(x) = 11x^{20}+4x^5+4x^6+21x^{11}

3) Czy poniższe wielomiany są równe:

  • A(x) = 41x^5+7x^2+x oraz B(x) = 7x^2+41x^5+x
  • C(x) = x^7+4x^3+x^9+x oraz D(x) = 2x^7+4x^3+x^9+x
  • C(x) = 11x^2+x+10 oraz D(x) = 11x^3+x^2+10

4) Dla jakich wartości parametru a i b poniższe wielomiany są równe:

  • A(x) = ax^6+10x^4+x+1 oraz B(x) = 7x^6+bx^4+x+1
  • C(x) = (a+1)x^7+(b-3)x^5+5 oraz D(x) = 11x^7+(b-3)x^5+5