Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Równania i nierówności z parametrem

równania z parametrem, nierówności z parametrem

Przykład 1. Dla jakiej wartości parametru m równanie $x^{2}-m\cdot x+2=0$ ma dwa różne miejsca zerowe?

Przykład 2. Dla jakiej wartości parametru m równanie $x^{2}-(m-2)\cdot x+4=0$ ma jedno miejsce zerowe?

Przykład 3. Dla jakiej wartości parametru m równanie $(m^{2}-1)x^{2}+(m+1)\cdot x+1=0$ ma jedno miejsce zerowe?

Przykład 4. Dla jakiej wartości parametru m nierówność $m\cdot x^{2}+(m+3)\cdot x-m+1<0$ jest spełniona w zbiorze liczb rzeczywistych?

Przykład 5. Dla jakiej wartości parametru m suma kwadratów pierwiastków równania $x^{2}+(m-3)\cdot x+m-2=0$ osiąga minimum?

Przykład 6. Dla jakiej wartości parametru m równanie $(1-m)x^{2}-2m\cdot x+m+2=0$ ma dwa różne rozwiązania ujemne?

Przykład 7. Dla jakiej wartości parametru m równanie $(1-m)\cdot x^{2}-2m\cdot x+m+2=0$ ma dwa różne rozwiązania dodatnie?

Przykład 8. Ustal liczbę rozwiązań funkcji $\left|x^{2}-6x+5\right|=m$ w zależności od parametru m, a następnie naszkicuj wykres funkcji h(x) obrazujący liczbę rozwiązań tego równania.

Przykład 9. Dla jakiej wartości parametru m równanie $x^{2}-4m\cdot x+4m^{2}-1=0$ ma dwa różne rozwiązania należące do przedziału (-3,1)?

Przykład 1

Dla jakiej wartości parametru m równanie $x^{2}-mx+2=0$ ma dwa różne miejsca zerowe?

Wypiszmy współczynniki:

a = 1, b = -m, c = 2

Równanie ma dwa różne miejsca zerowe gdy $\Delta >0$ . Policzmy więc deltę:

$\Delta =(-m)^{2}-4\cdot 1\cdot 2=m^{2}-8$

Skoro równanie będzie miało dwa różne pierwiastki gdy $\Delta >0$ to musimy rozwiązać odpowiednią nierówność:

$m^{2}-8>0$

$(m-{\sqrt {8}})\cdot (m+{\sqrt {8}})>0$ pomijamy szkicowanie wykresu, nierówność rozwiązujemy pamięciowo

$m_{1}=-{\sqrt {8}},m_{2}={\sqrt {8}}$

$m\in (-\infty ,-{\sqrt {8}})\cup ({{\sqrt {8}},+\infty })$

Podany wynik warto sprawdzić podstawiając liczby należące i nienależące do przedziału.

Przykład 2

Dla jakiej wartości parametru m równanie $x^{2}-(m-2)\cdot x+4=0$ ma jedno miejsce zerowe?

Wypiszmy współczynniki:

a=1, b =-(m-2), c=4

Funkcja ma jedno miejsce zerowe gdy $\Delta =0$ . Obliczmy więc kiedy delta się zeruje.

$\Delta =[-(m-2)]^{2}-4\cdot 1\cdot 4=[-m+2]^{2}-4\cdot 1\cdot 4=m^{2}-4m+4-16=m^{2}-4m-12$

Teraz tworzymy drugą deltę i obliczamy miejsca zerowe równania $m^{2}-4m-12$

$\Delta _{m}=(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot (-12)=16+48=64$

${\sqrt {\Delta _{m}}}=8$

$m_{1}={\frac {4-8}{2}}=-2$

$m_{2}={\frac {4+8}{2}}=6$

Czyli funkcja ma jedno miejsce zerowe dla $m=-2$ lub $m=6$ . Podany wynik możesz z łatwością sprawdzić podstawiając w odpowiednie miejsca wartości m.

Przykład 3

Dla jakiej wartości parametru m równanie $(m^{2}-1)\cdot x^{2}+(m+1)\cdot x+1=0$ ma jedno miejsce zerowe?

Patrząc na ten przykład pozornie nie istnieje różnica pomiędzy nim, a przykładem poprzednim. Jest jednak jeden bardzo ważny element - co jeśli m będzie równe 1 lub -1? Wtedy po podstawieniu w odpowiednie miejsce współczynnik a "zwinie się", i otrzymamy funkcję liniową. Musimy więc rozpatrzeć tutaj 3 przypadki. Pierwszy gdy m=1, drugi gdy m=-1 i trzeci gdy $m\neq 1$ i $m\neq -1$ .

Pierwszy przypadek dla m= -1

$[(-1)^{2}-1]\cdot x^{2}+(-1+1)\cdot x+1=0$

$0x^{2}+0x+1=0$

$1=0$

Otrzymaliśmy równanie sprzeczne. Więc parametr m=-1 nie spełnia równania.

Drugi przypadek dla m=1

$[1^{2}-1]\cdot x^{2}+2x+1=0$

$0x^{2}+2x+1=0$

$2x=-1$

$x=-{\frac {1}{2}}$

Czyli funkcja ma jedno miejsce zerowe dla $m=1$ .

Trzeci przypadek dla $m\neq 1$ i $m\neq -1$ . Teraz możemy policzyć deltę bez obawy, że rozwiązujemy równość liniową.

$\Delta =(m+1)^{2}-4\cdot (m^{2}-1)\cdot 1=m^{2}+2m+1-4m^{2}+4=-3m^{2}+2m+5$

Znowu mamy równanie kwadratowe.

$\Delta _{m}=2^{2}-4\cdot (-3)\cdot 5=4+60=64$

${\sqrt {\Delta _{m}}}=8$

$m_{1}={\frac {-2-8}{-6}}={\frac {-10}{-6}}={\frac {5}{3}}$

$m_{2}={\frac {-2+8}{-6}}=-1$

Jak widać -1 odpada na mocy założenia " $m\neq 1$ i $m\neq -1$ ". Gdybyśmy więc od razu obliczyli deltę to otrzymalibyśmy błędny wynik! Zawsze trzeba dokładnie przyjrzeć się przykładowi zanim zacznie się go rozwiązywać.

Równanie ma więc jedno miejsce zerowe dla $m=1$ i $m={\frac {5}{3}}$ .

Przykład 4

Dla jakiej wartości parametru m nierówność $m\cdot x^{2}+(m+3)\cdot x-m+1<0$ jest spełniona w zbiorze liczb rzeczywistych?

Znowu mamy parametr przy $x^{2}$ . Zastanówmy się jak musi wyglądać wykres takiej nierówności aby była spełniona dla każdego x. Musi to być parabola całkowicie znajdująca się pod osią OX z ramionami skierowanymi w dół (pomijamy szkicowanie osi OY ponieważ nie ma ona żadnego wpływu na położenie naszej paraboli):

Może to być także stała (a = 0) funkcja liniowa, która znajduje się poniżej osi OX. Sprawdźmy więc co się dzieje gdy m=0.

1 przypadek m=0

$0x^{2}+3x-0+1<0$

$3x<-1$

$x<-{\frac {1}{3}}$

Nierówność jest spełniona tylko dla $x<-{\frac {1}{3}}$ , czyli x nie należy do zbioru liczb rzeczywistych. Teraz zastanówmy się jak doprowadzić parabolę do stanu jak na ilustracji. Po pierwsze współczynnik kierunkowy a musi być mniejszy od 0. Po drugie, nie może być miejsc wspólnych z osią OX, czyli $\Delta$ musi być mniejsza od 0. Otrzymamy w ten sposób układ dwóch warunków:

${\begin{cases}a<0\\\Delta <0\end{cases}}$

1. $a<0\iff m<0$

2. $\Delta <0$

$\Delta =(m+3)^{2}-4\cdot m\cdot (-m+1)$

$m^{2}+6m+9-4m\cdot (-m+1)<0$

$m^{2}+6m+9+4m^{2}-4m<0$

$5m^{2}+2m+9<0$

$\Delta _{m}=2^{2}-4\cdot 5\cdot 9=4-180=-176$

Delta jest zawsze dodatnia ( $a>0$ i $\Delta _{m}<0$ ). Czyli układ nigdy nie jest spełniony.

$m\in \varnothing$

Przykład 5

Dla jakiej wartości parametru m suma kwadratów pierwiastków równania $x^{2}+(m-3)\cdot x+m-2=0$ osiąga minimum?

Zastanówmy się jakie warunki muszą zostać spełnione aby rozwiązać to zadanie:

${\begin{cases}\Delta \geq 0\\x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-min\end{cases}}$

Pierwszy warunek jest po to aby pierwiastki w ogóle istniały, drugi aby obliczyć minimum.

$\Delta =(m-3)^{2}-4\cdot 1\cdot (m-2)=m^{2}-6m+9-4m+8=m^{2}-10m+17$

$\Delta _{m}=(-10)^{2}-4\cdot 1\cdot 17=32$

$m_{1}={\frac {10-4{\sqrt {2}}}{2}}=5-2{\sqrt {2}}$

$m_{1}={\frac {10+4{\sqrt {2}}}{2}}=5+2{\sqrt {2}}$

$m\in (-\infty ,5-2{\sqrt {2}}>\cup <{5+2{\sqrt {2}},+\infty })$

W poprzednim rozdziale wyprowadziliśmy wzór na sumę kwadratów pierwiastków, który wygląda następująco:

$(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=({\frac {-b}{a}})^{2}-2\cdot ({\frac {c}{a}})$

Utwórzmy z tego funkcję i podstawmy odpowiednie wartości:

$f(m)=({\frac {-m+3}{1}})^{2}-2\cdot ({\frac {m-2}{1}})$

$f(m)=m^{2}-6m+9-2m+4=m^{2}-8m+13\$

Funkcja o współczynniku kierunkowym dodatnim osiąga minimum w punkcie wierzchołka:

$f_{min}=m_{w}={\frac {8}{2}}=4$

Punkt $m=4\notin (-\infty ,5-2{\sqrt {2}})\cup ({5+2{\sqrt {2}},+\infty })$ . Funkcja więc przyjmie najmniejszą wartość na jednym z krańców określoności:

$f(5-2{\sqrt {2}})=(5-2{\sqrt {2}})^{2}-8\cdot (5-2{\sqrt {2}})+13=25-20{\sqrt {2}}+8-40+16{\sqrt {2}}+13=6-4{\sqrt {2}}$

$f(5+2{\sqrt {2}})=(5+2{\sqrt {2}})^{2}-8\cdot (5+2{\sqrt {2}})+13=25+20{\sqrt {2}}+8-40-16{\sqrt {2}}+13=6+4{\sqrt {2}}$

Funkcja osiąga minimum dla $m=5-2{\sqrt {2}}$

Przykład 6

Dla jakiej wartości parametru m równanie $(1-m)x^{2}-2mx+m+2=0$ ma dwa różne rozwiązania ujemne?

Wskażmy warunki jakie muszą istnieć aby otrzymać poprawny wynik.

Od razu zauważamy, że współczynnik a musi być różny od 0. Ponieważ gdyby było równy zeru równanie kwadratowe "przeszło by" w równanie liniowe, które nie może mieć dwóch różnych rozwiązań.

$a\neq 0$

Teraz drugi warunek, aby istniały dwa różne pierwiastki:

$\Delta >0$

Aby istniały dwa pierwiastki ujemne ich iloczyn musi być dodatni, a suma ujemna. Dlaczego? Ponieważ iloczyn dowolnych liczb ujemnych jest dodatni (np. $-3\cdot -5=15$ ), a suma dowolnych liczb ujemnych jest ujemna (np. $-3+(-5)=-8$ ). Mamy więc:

$x_{1}+x_{2}<0$ i $x_{1}\cdot x_{2}>0$

Otrzymujemy w ten sposób układ, który należy rozwiązać:

${\begin{cases}a\neq 0\\\Delta >0\\x_{1}+x_{2}<0\\x_{1}\cdot x_{2}>0\end{cases}}$

1. $a\neq 0\iff m\neq 1$ - można odgadnąć pamięciowo.

2. $\Delta =(-2m)^{2}-4\cdot (1-m)\cdot (m+2)=4m^{2}-4(-m+2-m^{2})=4m^{2}+4m-8+4m^{2}=8m^{2}+4m-8=2m^{2}+m-2$

$\Delta >0\iff 2m^{2}+m-2>0$

$\Delta _{m}=1^{2}-4\cdot 2\cdot (-2)=1+16=17$

$m_{1}={\frac {-1-{\sqrt {17}}}{4}}$

$m_{2}={\frac {-1+{\sqrt {17}}}{4}}$

$m\in (-\infty ,-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {17}})\cup (-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt {17}},+\infty )$

3. ${\frac {-b}{a}}<0$

${\frac {2m}{1-m}}<0$

${\frac {2m}{1-m}}<0\iff 2m(1-m)<0$

$2m(1-m)<0$

$m_{1}=0$

$m_{2}=1$

$m\in (-\infty ,0)\cup (1,+\infty )$

4. ${\frac {c}{a}}>0$

${\frac {m+2}{1-m}}>0\iff (m+2)(1-m)>0$

$m_{1}=-2$

$m_{2}=1$

$m\in (-2,1)$

Podane wyniki zaznaczamy na osi liczbowej (w przeciwnym wypadku łatwo się pogubić)

Wszystkie kolory przecinają się w przedziale:

$(-2,-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {17}})$

który jest rozwiązaniem całego zadania.

$m\in (-2,-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {17}})$

Przykład 7

Tego przykładu już nie będziemy robić w całości. Wskażemy tylko prawidłowy tok myślenia.

Właściwie to spora część elementów jest taka sama jak w poprzednim przykładzie. Współczynnik a musi być różny od zera i delta większa od zera. Jednak aby istaniały dwa rozwiązania dodatnie muszą być jeszcze spełnione podane warunki:

${\begin{cases}x_{1}\cdot x_{2}>0\\x_{1}+x_{2}>0\end{cases}}$

Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią, a ich suma także jest liczbą dodatnią. Mamy więc układ podobny jak w poprzednim przykładzie:

${\begin{cases}a\neq 0\\\Delta >0\\x_{1}\cdot x_{2}>0\\x_{1}+x_{2}>0\end{cases}}$

Przykład 8

Ustal liczbę rozwiązań funkcji $|x^{2}-6x+5|=m$ w zależności od parametru m, a następnie naszkicuj wykres funkcji h(x) obrazujący liczbę rozwiązań tego równania.

Podany przykład najłatwiej rozwiązać metodą graficzną. Najpierw wprowadźmy pewne oznaczenia, które nam ułatwią rozwiązanie takiego zadania:

${\begin{matrix}\underbrace {|x^{2}-6x+5|=} \\f(x)\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {m} \\g(x)\end{matrix}}$

Wyróżniliśmy w ten sposób dwie funkcje - jedna jest funkcją kwadratową z nałożoną wartościa bezwzględną, natomiast druga jest to funkcja o wzorze y=m (np. y=1, y=2, y=3 ... y=m, jest to funkcja liniowa, stała). W celu naszkicowania wykresu funkcji f(x) należy rozpatrzeć dwa przypadki - pierwszy, gdy wartość pod modułem jest mniejsza od 0, i drugi gdy jest większa bądź równa zeru. Skorzystamy jednak z pewnego ułatwienia, które już wcześniej miałeś okazję poznać w dziale Przekształcanie wykresu funkcji. Jako, że moduł jest nałożony na "całą" funkcję f(x) to przenosimy wszystko spod osi OX nad nią. Obliczmy najpierw wartości f(x).

$\Delta =16$

$x_{1}=1$

$x_{2}=5$

$p=3$

$q=-4$

Teraz nakładamy moduł i powstaje nam funkcja |f(x)|. Wygląda następująco (linią przerywaną jest oznaczona funkcja bez nałożenia modułu):

Wartość p nie zmienia się, jednak q zostaje symetrycznie odbite względem osi OX.

q' = 4

Teraz gdy już wiemy jak wygląda wykres funkcji f(x) zastanówmy się na funkcją g(x). Skoro jest to funkcja stała o dowolnej wartości to może ona przecinać funkcję f(x) w różnych miejscach:

Punkty wspólne f(x) i g(x) to rozwiązania tych funkcji. Z łatwością odczytujemy więc z obrazka ilość rozwiązań:

0 rozwiązań dla $m\in (-\infty ,0)$

2 rozwiązańia dla $m=0$

4 rozwiązania dla $m\in (0,4)$

3 rozwiązania dla $m=4$

2 rozwiązania dla $m\in (4,+\infty )$

Ukończyliśmy w ten sposób pierwszą część zadania. Teraz pozotaje nam jeszcze szkic funkcji h(x). Jest to bardzo proste, i nie wymaga dłuższego tłumaczenia. Jest to po prostu obraz naszych wyników:

Przykład 9

Dla jakiej wartości parametru m równanie $x^{2}-4mx+4m^{2}-1=0$ ma dwa różne rozwiązania należące do przedziału (-3,1)?

Zastanówmy się jakie założenia należy postawić aby ustawić w taki sposób pierwiastki. Już na początku zakładamy, że $\Delta >0$ aby istniały dwa różne rozwiązania. Dalej domyślamy się, że na pewno wierzchołek paraboli musi należeć do zbioru (-3,1) $((x_{w}\in (-3,1))$ . Jednak sam ten warunek nie rozwiązuje całego problemu:

Pomimo, że wierzchołek znajduję się w podanym przedziale to pierwiastki nie należa do zbioru (-3,1). Na pierwszy rzut oka rozwiązanie całego problemu może się wydawać trudne, jednak jest ono bardzo proste. Wartość równania na krańcach przedziału musi być po prostu większa od zera: