Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Podsumowanie

Podsumowanie

• $f(x)=ax^2+bx+c, \;\; x\in\mathbb{R} \quad -$ funkcja kwadratowa w postaci ogólnej. Dodatkowo $a\ne0$.

• $\Delta\,= b^2 - 4ac$    - Delta (inaczej: wyróżnik kwadratowy)

• Parabola     - nazwa wykresu funkcji kwadratowej (przypomina 'wzniesienie' lub też 'dolinę')
  • Dla a > 0 ramiona paraboli są skierowane ku górze.
  • Dla a < 0 ramiona paraboli są skierowane ku dołowi.
  • (Dla a = 0 funkcja jest funkcją liniową)

• Wierzchołek paraboli - ma współrzędne (x_w, y_w) lub (p, q):

$p=\frac{-b}{2a}$   oraz   $q=\frac{-\Delta}{4a}$  (p, q to odpowiednio x, y wierzchołka).

wierzchołek jest miejscem, gdzie funkcja osiąga ekstremum (minimum lub maksimum, w zależności, jak są skierowane ramiona).

• Miejsca zerowe (pierwiastki) - ich ilość zależy od wartości delty $\Delta\,$:
  • Dla $\Delta\,>0$  są 2 miejsca zerowe równe $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\; x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
  • Dla $\Delta\,=0$  jest 1 miejsce zerowe, powyższe wzory sprowadzają się do $x_0=\frac{-b}{2a}$
  • Dla $\Delta\,<0$  nie ma miejsc zerowych

• Postać iloczynowa - zawiera w swoim zapisie wartości pierwiastków, w zależności od delty $\Delta\,$:
  • Dla $\Delta\,> 0$  postać z dwoma pierwiastkami  $y=a(x-x_1)(x-x_2)\,$
  • Dla $\Delta\,= 0$  powyższy wzór można zapisać jako  $y=a(x-x_0)^2\,$
  • Dla $\Delta\,< 0$  nie istnieje postać iloczynowa

• Postać kanoniczna - zawiera w swoim zapisie wartości współrzędnych wierzchołka paraboli:

$y = a(x - p)^2 + q \quad \mbox{czyli} \quad y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}$

zapis ten pomaga w narysowaniu wykresu funkcji - wystarczy wykres  $y = ax^2\,$  przesunąć o wektor  $[ p,\, q ]$.

Rozszerzone

• Wzory Viete'a

$x_{1} + x_{2} = \frac{-b}{a} \qquad x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$

Dodatkowe

• Współczynnik c to miejsce przecięcia się funkcji z osią OY.

• Wierzchołek znajduje się dokładnie w połowie odległości pomiędzy miejscami zerowymi, x₁ i x₂.