Matematyka dla liceum/Zaczynamy/Rozwiązywanie równań i nierówności

Równania

Pewnie pamiętasz, czym jest równanie. Równanie jest to większe wyrażenie składające się z mniejszych wyrażeń połączonych znakiem równości. Najprostsze równanie wygląda mniej więcej tak:

wyrażenie po lewej = wyrażenie po prawej

Lewa strona równania często jest oznaczana przez L, a prawa przez P.

W równaniu z reguły występują jakieś niewiadome oznaczone najczęściej małymi literami.

Przykładami równania mogą być:

• $x=1$,
• $t+2=3$,
• $x+2y=7$,
• $z^{2}-5=-1$,
• $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

Gdy zadanie zawiera polecenie „rozwiąż równanie”, oznacza to, że musimy znaleźć taką liczbę, która podstawiona do równania zamiast pewnej zmiennej (czyli niewiadomej) x, f, czy np. a spełni je, tzn. po lewej i po prawej stronie będziemy mieli te same wartości.

Dla równania $x=1$ jego rozwiązaniem będzie x równy 1, co wydaje się zresztą oczywiste. Gdy zamiast x podstawimy 1 otrzymamy:

$1=1$,

rzeczywiście obydwie strony równania są sobie równe.

Rozwiązaniem tego równania nie będzie np. $x=3$. Dlaczego? Podstawmy zamiast x liczbę 3:

$3=1$,

widać, że coś nie pasuje! Przecież trzy nigdy nie będzie równe jeden: jeśli mamy jedno jajko, to nie zrobimy jajecznicy z trzech jaj.

A następny przykład, $t+2=3$? Ktoś spostrzegawczy mógłby od razu zauważyć, że gdy zamiast t damy 1, otrzymamy:

$1+2=3$

$3=3$

zatem $t=1$ będzie rozwiązaniem tego równania.

Podobnie dla równania $z^{2}-5=-1$ rozwiązaniem będzie $z=2$ lub $z=-2$, ponieważ:

$2^{2}-5=-1$

$-1=-1$

$(-2)^{2}-5=-1$

$4-5=-1$ i jest wszystko się zgadza.

Rozwiązaniem nie będzie $z=3$, ponieważ:

$3^{2}-5=-1$

$4=-1$ i teraz nic nie pasuje.

Tak naprawdę powinniśmy unikać zapisu typu $4=-1$, bo znak równości powinna oznaczać spełnioną równość, a tu przecież ona nie zachodzi. Możemy co najwyżej zapisać $4\neq -1$ (4 nie jest równe -1). W takim razie jak to ładniej zapisać?

Zacznijmy od początku. Mamy równanie $z^{2}-5=-1$ i chcemy pokazać, że $z=3$ nie jest rozwiązaniem. Rozbijamy to równanie na dwie części, na wyrażenie po lewej i wyrażenie po prawej, co zapisujemy następująco:

$L=z^{2}-5$,

$P=-1$.

Jeśli $z=3$, to:

$L=3^{2}-5=4$,

ale

$4\neq -1$,

a więc:

$L\neq P$.

Równanie nie jest spełnione, zatem $z=3$ nie jest rozwiązaniem tego równania.

Gdyby zaszła równość $L=P$, to równanie zostałoby spełnione przez $z=3$, a zatem 3 byłoby rozwiązaniem tego równania.

Nie powinniśmy jednak rozwiązywać równań w tak „brutalny” sposób (tzw. metoda brute force). Zdarza się, że równania mają często więcej niż jedno rozwiązanie, a strzelając, możemy po prostu niektóre pominąć.

Przekształcanie równań

Aby ładnie , a przede wszystkim poprawnie rozwiązać równanie, powinniśmy je upraszczać przekształcając je krok po kroku do prostszych, ale mu równoważnych równań.

W jaki sposób należy przekształcać równanie? Skorzystamy z faktu, że rozwiązania równania nie ulegną zmianie, gdy:

1. dodamy (lub odejmiemy) z obu stron równania pewną wartość,
2. wymnożymy (lub podzielimy) obie strony równania przez dowolną stałą różną od zera.

Gdy mamy równanie, np. $x+5=7$, to liczbę 5 możemy przenieść na prawą stronę równania zmieniając znak na przeciwny, otrzymujemy:

$x=7-5$, czyli

$x=2$

i doszliśmy do rozwiązania. Zauważmy, że przeniesienie 5 na przeciwną stronę równania jest równoważne dodaniu do obydwu stron równania -5, dlatego też podczas tej operacji należy zmienić znak na przeciwny:

$x+5-5=7-5$

$x=7-5$.

Zapamiętajmy, że przenosząc pewną liczbę z jednej strony na drugą musimy zmienić znak na przeciwny. Zobaczmy na trzy kolejne przykłady:

• jeśli $2x+5=6$, to $2x=6-5$,
• jeśli $3x=x+2$, to $3x-x=2$,
• jeśli $x^{2}-2=3+x$, to $x^{2}-2-x=3$.

Jeśli równanie chcemy wymnożyć lub podzielić przez pewną liczbę, wówczas najlepiej o tym poinformować wstawiając „/⋅ ...” lub „/: ...”, na przykład:

• ${\frac {x}{2}}=3\ \ \left/{\cdot }\ 2\right.$ - obustronnie mnożymy przez 2
• $3x=6\ \ \left/{:}\ 3\right.$ - obustronnie dzielimy przez 3
• ${\frac {3}{4}}x=2\ \ \left/{\cdot }\ {\frac {4}{3}}\right.$ - obustronnie mnożymy przez ${\frac {4}{3}}$.

To koniec teorii. Przejdźmy do praktyki. Rozwiążmy cztery prościutkie równania:

• $2x+3=5$ (1)
• $-x+2=0$ (2)
• $100x-{\frac {1}{2}}=0$ (3)
• ${\frac {7x+2}{2}}=6$ (4)

Idziemy po kolei. Zacznijmy od (1):

$2x+3=5\ \ \left/{-}\ 3\right.$

$2x=5-3=2\ \ \left/{:}\ 2\right.$ - obustronnie dzielimy przez 2

$x=1$, które jest poszukiwanym rozwiązaniem.

Przejdźmy do drugiego przykładu:

$-x+2=0$

$-x=-2\ \ \left/{\cdot }\ (-1)\right.$

$x=2$

Teraz zrobimy (3):

$100x-{\frac {1}{2}}=0$

$100x={\frac {1}{2}}\ \ \left/{:}\ 100\right.$

$x={\frac {1}{200}}$

Pozostał ostatni przykład:

${\frac {7x+2}{2}}=6\ \ \left/{\cdot }\ 2\right.$

$7x+2=12$

$7x=10\ \ \left/{:}\ 7\right.$

$x={\frac {10}{7}}=1{\frac {3}{7}}$

I to już wszystko na temat równań. Przejdźmy teraz do nierówności.

Nierówność liniowa z jedną niewiadomą

Mamy do rozwiązania następujące problemy:

• 2x > 3 (1)
• 5x - 2 < 2 (2)
• $-2x+4\geq -3x+5$ (3)
• $-{\frac {1}{2}}x+3\geq 5$ (4)

Jednak na początek trochę teorii.

Nierówności przekształcamy w prawie taki sam sposób jak równania, z jednym wyjątkiem: jeśli obustronnie mnożymy (lub dzielimy) przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak na przeciwny, na przykład:

dla ${\frac {x}{2}}<2$ będziemy mieli:

${\frac {x}{2}}<2\ /{\cdot }\ 2$

$x<2\cdot 2$ (nie zmieniamy znaku na przeciwny, 2 nie jest ujemne)

ale dla ${\frac {x}{-2}}\leq 2$ będzie:

${\frac {x}{-2}}\leq 2\ /{\cdot }\ (-2)$ (musimy zmienić znak na przeciwny, -2 jest ujemne)

$x\geq 2\cdot (-2)$

Przejdźmy do rzeczy, czyli rozwiążmy powyższe przykłady.

Zaczniemy od (1):

$2x>3$

$2x>3\ \ /{:}\ 2$

$x>1{\frac {1}{2}}$

Rozwiążmy teraz nierówność (2):

$5x-2<2$

$5x<2+2=4\ \ /{:}5$

$x<{\frac {4}{5}}$

Teraz możemy przejść do kolejnego przykładu (3):

$-2x+4\geq -3x+5$

$-2x+3x\geq 5-4$

$x\geq 1$

I został ostatni przykład (4):

$-{\frac {1}{2}}x+3\geq 5$

$-{\frac {1}{2}}x\geq 5-3$

$-{\frac {1}{2}}x\geq 2\ \ /{\cdot }\ -2$

$x\leq -4$

Przypisy

---