Matematyka dla liceum/Geometria analityczna/Okrąg i koło

Wprowadzamy następującą definicję okręgu:

Okrąg to figura geometryczna składająca się z wszystkich punktów których odległość od punktu S wynosi R. Punkt S nazywamy środkiem okręgu, a wartość R promieniem okręgu.

Analogicznie wprowadzamy definicję koła:

Koło to figura geometryczna składająca się z wszystkich punktów których odległość od punktu S wynosi R, lub jest mniejsza od R. Punkt S nazywamy środkiem koła, a wartość R promieniem koła.

Okrąg i koło można przedstawić w układzie współrzędnych jako rozwiązanie równania (okrąg) lub nierówności (koło). Spróbujmy wyznaczyć równanie okręgu. Niech punkt $S = (x_s, y_s)$ będzie środkiem okręgu, a $r > 0$ jego promieniem. Zgodnie z definicją okrąg to zbiór punktów odległych od $S$ o $r$, zatem dla przykładowego punktu $P = (x, y)$ możemy zdefiniować wektor $\overrightarrow{S P} = [x - x_s, y - y_s]$, którego długość będzie równa $r$. Czyli:

$\sqrt{ (x - x_s)^2 + (y - y_s)^2} = r$,

ponieważ obie strony równania są nieujemne możemy podnieść je równoważnie do kwadratu:

$(x - x_s)^2 + (y - y_s)^2 = r^2$,

otrzymując równanie okręgu w postaci kanonicznej.

Wykonajmy podane działania:

$x^2 - 2x_s \cdot x + {x_s}^2 + y^2 - 2y_s \cdot y + {y_s}^2 = r^2$

Teraz podstawmy:

$a = -2*x_s, b = -2*y_s, c = {x_s}^2 + {y_s}^2 - r^2$

i otrzymujemy:

${x}^2 + y^2 + ax + by + c = 0$

czyli równanie okręgu w postaci zredukowanej.