Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Ciąg geometryczny

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

< Matematyka dla liceum | Ciągi liczbowe

Matematyka dla liceum
Ciąg arytmetyczny	Spis treści	Suma częściowa ciągu

[edytuj] Ciąg geometryczny

[edytuj] Definicja

Ciąg geometryczny trochę przypomina ciąg arytmetyczny, tylko zamiast różnicy iloraz jest stały. Zobaczmy to na kilku przykładach:

$(a_n) = (1, 2, 4, 8, 16, \dots)$
$(b_n) = (2, 6, 18, 54, 162, \dots)$
$(c_n) = (100, 20, 4, \frac{4}{5}, \frac{4}{25}, \dots)$
$(d_n) = (10, 100, 1000, 10000, 100000, \dots)$

Popatrzmy na ciąg $(a n)$ . Iloraz ma być stały, no i rzeczywiście $\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{8}{4} = \frac{16}{8} = \dots = 2$ . Podobnie w ciągu $(b n)$ mamy $\frac{6}{2} = \frac{18}{6} = \frac{54}{18} = \dots = 3$ . Czyli widzimy, że w ciągu geometrycznym ${a_{n+1} \over a_{n}}$ jest stałe.

DEFINICJA

Ciąg, w którym iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest stały nazywamy ciągiem geometrycznym.

Iloraz $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ nazywamy ilorazem ciągu i oznaczamy najczęściej jako q, czyli:

$q = \frac{a_{n+1}}{a_n}$

(iloraz ciągu)

Jak stąd wynika, musi być $q\neq 0$ w przeciwnym wypadku $a 2 = a 3 = 0$ i powyższy wzór nie daje się zastosować.

Liczba q została tak dobrana, aby zachodziło:

$a_{n+1} = a_n \cdot q$ ...

Ciąg geometryczny posiada co najmniej trzy wyrazy.

[edytuj] Wzór ogólny

Podobnie, jak to robiliśmy w przypadku ciągu arytmetycznego, wyprowadzimy wzór na n-ty element ciągu geometrycznego. Mamy pierwszy element $a 1$ , a także iloraz q i wiemy, że zachodzi $a_{n+1} = a_n \cdot q$ . Wypiszmy wyrazy tego ciągu:

$a 1$
$a_2 = a_1 \cdot q$
$a_3 = a_2 \cdot q = (a_1 \cdot q) \cdot q = a_1 \cdot q^2$
$a_4 = a_3 \cdot q = (a_1 \cdot q^2) \cdot q = a_1 \cdot q^3$
$a_5 = a_4 \cdot q = (a_1 \cdot q^3) \cdot q = a_1 \cdot q^4$
...

Widzimy, że $a n$ jest postaci $a_1 \cdot q^{pewna\ liczba}$ , a ta pewna liczba dla n=5 wynosi 4, dla n=4 wynosi 3, dla n=3 wynosi 2. Ok, czyli liczba ta jest równa n-1, więc otrzymujemy wzór:

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

(wzór ogólny ciągu geometrycznego)

W ciągu geometrycznym $(a n)$ także zachodzi:

$a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}$

TWIERDZENIE

Niech (a_n) będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie q. Jeśli:
1) $a_1>0 \and q>1$ , to (a_n) jest ciągiem rosnącym;
2) $a_1>0 \and q \in (0,1)$ , to (a_n) jest ciągiem malejącym;
3) $a_1<0 \and q>1$ , to (a_n) jest ciągiem malejącym;
4) $a_1<0 \and q \in (0,1)$ , to (a_n) jest ciągiem rosnącym;
5) $q < 0$ , to (a_n) nie jest ciągiem monotonicznym.