Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny

Definicja

Ciąg geometryczny trochę przypomina ciąg arytmetyczny, tylko zamiast różnicy iloraz jest stały. Zobaczmy to na kilku przykładach:

• $(a_n) = (1, 2, 4, 8, 16, \dots)$
• $(b_n) = (2, 6, 18, 54, 162, \dots)$
• $(c_n) = (100, 20, 4, \frac{4}{5}, \frac{4}{25}, \dots)$
• $(d_n) = (10, 100, 1000, 10000, 100000, \dots)$

Popatrzmy na ciąg $(a_n)$. Iloraz ma być stały, no i rzeczywiście $\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{8}{4} = \frac{16}{8} = \dots = 2$. Podobnie w ciągu $(b_n)$ mamy $\frac{6}{2} = \frac{18}{6} = \frac{54}{18} = \dots = 3$. Czyli widzimy, że w ciągu geometrycznym ${a_{n+1} \over a_{n}}$ jest stałe.

DEFINICJA Ciąg, w którym iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów jest stały nazywamy ciągiem geometrycznym.

Iloraz $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ nazywamy ilorazem ciągu i oznaczamy najczęściej jako q, czyli:

$q = \frac{a_{n+1}}{a_n}$

(iloraz ciągu)

Jak stąd wynika, musi być $q\neq 0$ w przeciwnym wypadku $a_2=a_3=0$ i powyższy wzór nie daje się zastosować.

Liczba q została tak dobrana, aby zachodziło:

$a_{n+1} = a_n \cdot q$...

Ciąg geometryczny posiada co najmniej trzy wyrazy.

Wzór ogólny

Podobnie, jak to robiliśmy w przypadku ciągu arytmetycznego, wyprowadzimy wzór na n-ty element ciągu geometrycznego. Mamy pierwszy element $a_1$, a także iloraz q i wiemy, że zachodzi $a_{n+1} = a_n \cdot q$. Wypiszmy wyrazy tego ciągu:

• $a_1$
• $a_2 = a_1 \cdot q$
• $a_3 = a_2 \cdot q = (a_1 \cdot q) \cdot q = a_1 \cdot q^2$
• $a_4 = a_3 \cdot q = (a_1 \cdot q^2) \cdot q = a_1 \cdot q^3$
• $a_5 = a_4 \cdot q = (a_1 \cdot q^3) \cdot q = a_1 \cdot q^4$
• ...

Widzimy, że $a_n$ jest postaci $a_1 \cdot q^{pewna\ liczba}$, a ta pewna liczba dla n=5 wynosi 4, dla n=4 wynosi 3, dla n=3 wynosi 2. Ok, czyli liczba ta jest równa n-1, więc otrzymujemy wzór:

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

(wzór ogólny ciągu geometrycznego)

W ciągu geometrycznym $(a_n)$ także zachodzi:

$a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}$

TWIERDZENIE Niech (an) będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie q. Jeśli: 1) $a_1>0 \and q>1$, to (an) jest ciągiem rosnącym; 2) $a_1>0 \and q \in (0,1)$, to (an) jest ciągiem malejącym; 3) $a_1<0 \and q>1$, to (an) jest ciągiem malejącym; 4) $a_1<0 \and q \in (0,1)$, to (an) jest ciągiem rosnącym; 5) $q<0$, to (an) nie jest ciągiem monotonicznym.