Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Funkcja potęgowa i jej własności

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

< Matematyka dla liceum | Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Matematyka dla liceum
Przypomnienie działań na potęgach	Spis treści	Rozwiązywanie równań i nierówności potęgowych

Spis treści

1 Funkcja potęgowa
- 1.1 Wykres

[edytuj] Funkcja potęgowa

DEFINICJA

Funkcja potęgowa jest to funkcja określona wzorem $f (x) = x p$ .

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Dziedzina funkcji potęgowej:

Jeśli $p \in \mathbb{N}_+$ , to $D_f=\mathbb{R}$
Jeśli $p \in \mathbb{Z}$ , to $D_f = R \backslash \{0\}$
Jeśli :
- dla $p > 0$ , to $D_f=\mathbb{R}_+\cup\{0\}$
- dla $p < 0$ , to $D_f=\mathbb{R}_+$

[edytuj] Wykres

[edytuj] O wykładniku równym zero

W tym przypadku wykres jest dość prosty - wykresem funkcji jest prosta. Jedynym faktem do zaznaczenia jest to, że $D=\mathbb{R} \backslash \{0\}$ . Dziedzina jest bez zera, ponieważ wartość wyrażenia $00$ jest nieokreślona.

[edytuj] O wykładniku dodatnim parzystym

Wszystkie te wykresy przecinają się w trzech punktach o współrzędnych (0;0), (-1;1), a także (1;1).

Własności:

$D_f = \mathbb{R}$
$ZW_f = \mathbb{R}_+ \cup \{0\}$
Miejsce zerowe funkcji: $x 0 = 0$
Wartości dodatnie: $f(x)>0 \iff x \in \mathbb{R} \backslash \{0\}$
Wartości ujemne: $f(x)<0 \iff x \in \varnothing$ , funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych
Ekstrema:

Minimum: dla $x = 0$ $f (x) = 0$

Maksimum: nie przyjmuje wartości największej
Monotoniczność:

Rośnie dla $x \in (0,+\infty)$

Maleje dla $x \in (-\infty,0)$
Funkcja nie jest różnowartościowa
Funkcja jest parzysta
Funkcja nie jest nieparzysta

[edytuj] O wykładniku dodatnim nieparzystym

Łatwo zauważyć, że wykresy te przecinają się w trzech punktach o współrzędnych (0;0), (-1;-1), a także (1;1).

Własności:

$D_f = \mathbb{R}$
$ZW_f = \mathbb{R}$
Miejsce zerowe funkcji: $x 0 = 0$
Wartości dodatnie: $f(x)>0 \iff x \in \mathbb{R}_+ \backslash \{0\}$
Wartości ujemne: $f(x)<0 \iff x \in \mathbb{R}_- \backslash \{0\}$
Ekstrema:

Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej

Maksimum: nie przyjmuje wartości największej
Monotoniczność:

Rośnie dla $x \in \mathbb{R}$
Funkcja jest różnowartościowa
Funkcja nie jest parzysta
Funkcja jest nieparzysta

[edytuj] O wykładniku ujemnym parzystym

Wszystkie te wykresy przecinają się w dwóch punktach o współrzędnych (-1;1), a także (1;1). Ponadto zachodzi:

$y>1 \iff x \in (-1;0) \cup (0;1)$

Własności:

$D_f = \mathbb{R} \backslash \{0\}$
$ZW_f = \mathbb{R}_+$
Miejsce zerowe funkcji: brak
Wartości dodatnie: $f(x)>0 \iff x \in D_f$
Wartości ujemne: $f(x)<0 \iff x \in \varnothing$
Ekstrema:

Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej

Maksimum: nie przyjmuje wartości największej
Monotoniczność:

Rośnie dla $x \in (-\infty;0)$

Maleje dla $x \in (0;+\infty)$
Funkcja nie jest różnowartościowa
Funkcja jest parzysta
Funkcja nie jest nieparzysta
Asymptoty: $x = 0$ i $y = 0$

[edytuj] O wykładniku ujemnym nieparzystym

Wykresy te przecinają się w dwóch punktach o współrzędnych (-1;-1), a także (1;1). Można zauważyć, że zachodzi także:

$y>1 \iff x \in (0;1)$

Własności:

$D_f = \mathbb{R} \backslash \{0\}$
$ZW_f = \mathbb{R} \backslash \{0\}$
Miejsce zerowe funkcji: brak
Wartości dodatnie: $f(x)>0 \iff x \in (0;+\infty)$
Wartości ujemne: $f(x)<0 \iff x \in (-\infty;0)$
Ekstrema:

Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej

Maksimum: nie przyjmuje wartości największej
Monotoniczność:

Maleje w przedziale $x \in (-\infty;0)$ i przedziale $x \in (0;+\infty)$
Funkcja jest różnowartościowa
Funkcja nie jest parzysta
Funkcja jest nieparzysta
Asymptoty: $x = 0$ i $y = 0$