Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Funkcja potęgowa i jej własności

Funkcja potęgowa

DEFINICJA Funkcja potęgowa jest to funkcja określona wzorem $f(x)=x^p$.

Dziedzina funkcji potęgowej:

1. Jeśli $p \in \mathbb{N}_+$, to $D_f=\mathbb{R}$
2. Jeśli $p \in \mathbb{C}$, to $D_f = R \backslash \{0\}$
3. Jeśli $p \in \mathbb{W}$:
   • dla $p>0$, to $D_f=\mathbb{R}_+\cup\{0\}$
   • dla $p<0$, to $D_f=\mathbb{R}_+$

Bardziej formalne oznaczenie zbioru C (liczb całkowitych) to $\mathbb{Z}$, natomiast W (liczb wymiernych) to $\mathbb{Q}.$

Wykres

O wykładniku równym zero

W tym przypadku wykres jest dość prosty - wykresem funkcji jest prosta. Jedynym faktem do zaznaczenia jest to, że $D=\mathbb{R} \backslash \{0\}$. Dziedzina jest bez zera, ponieważ wartość wyrażenia $0^0$ jest nieokreślona.

O wykładniku dodatnim parzystym

Wszystkie te wykresy przecinają się w trzech punktach o współrzędnych (0;0), (-1;1), a także (1;1).

Własności:

1. $D_f = \mathbb{R}$
2. $ZW_f = \mathbb{R}_+ \cup \{0\}$
3. Miejsce zerowe funkcji: $x_0=0$
4. Wartości dodatnie: $f(x)>0 \iff x \in \mathbb{R} \backslash \{0\}$
5. Wartości ujemne: $f(x)<0 \iff x \in \varnothing$, funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych
6. Ekstrema:

   Minimum: dla $x=0$ $f(x)=0$

   Maksimum: nie przyjmuje wartości największej

7. Monotoniczność:

   Rośnie dla $x \in (0,+\infty)$

   Maleje dla $x \in (-\infty,0)$

8. Funkcja nie jest różnowartościowa
9. Funkcja jest parzysta
10. Funkcja nie jest nieparzysta

O wykładniku dodatnim nieparzystym

Łatwo zauważyć, że wykresy te przecinają się w trzech punktach o współrzędnych (0;0), (-1;-1), a także (1;1).

Własności:

1. $D_f = \mathbb{R}$
2. $ZW_f = \mathbb{R}$
3. Miejsce zerowe funkcji: $x_0=0$
4. Wartości dodatnie: $f(x)>0 \iff x \in \mathbb{R}_+ \backslash \{0\}$
5. Wartości ujemne: $f(x)<0 \iff x \in \mathbb{R}_- \backslash \{0\}$
6. Ekstrema:

   Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej

   Maksimum: nie przyjmuje wartości największej

7. Monotoniczność:

   Rośnie dla $x \in \mathbb{R}$

8. Funkcja jest różnowartościowa
9. Funkcja nie jest parzysta
10. Funkcja jest nieparzysta

O wykładniku ujemnym parzystym

Wszystkie te wykresy przecinają się w dwóch punktach o współrzędnych (-1;1), a także (1;1). Ponadto zachodzi:

$y>1 \iff x \in (-1;0) \cup (0;1)$

Własności:

1. $D_f = \mathbb{R} \backslash \{0\}$
2. $ZW_f = \mathbb{R}_+$
3. Miejsce zerowe funkcji: brak
4. Wartości dodatnie: $f(x)>0 \iff x \in D_f$
5. Wartości ujemne: $f(x)<0 \iff x \in \varnothing$
6. Ekstrema:

   Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej

   Maksimum: nie przyjmuje wartości największej

7. Monotoniczność:

   Rośnie dla $x \in (-\infty;0)$

   Maleje dla $x \in (0;+\infty)$

8. Funkcja nie jest różnowartościowa
9. Funkcja jest parzysta
10. Funkcja nie jest nieparzysta
11. Asymptoty: $x=0$ i $y=0$

O wykładniku ujemnym nieparzystym

Wykresy te przecinają się w dwóch punktach o współrzędnych (-1;-1), a także (1;1). Można zauważyć, że zachodzi także:

$y>1 \iff x \in (0;1)$

Własności:

1. $D_f = \mathbb{R} \backslash \{0\}$
2. $ZW_f = \mathbb{R} \backslash \{0\}$
3. Miejsce zerowe funkcji: brak
4. Wartości dodatnie: $f(x)>0 \iff x \in (0;+\infty)$
5. Wartości ujemne: $f(x)<0 \iff x \in (-\infty;0)$
6. Ekstrema:

   Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej

   Maksimum: nie przyjmuje wartości największej

7. Monotoniczność:

   Maleje w przedziale $x \in (-\infty;0)$ i przedziale $x \in (0;+\infty)$

8. Funkcja jest różnowartościowa
9. Funkcja nie jest parzysta
10. Funkcja jest nieparzysta
11. Asymptoty: $x=0$ i $y=0$