Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Funkcja wykładnicza i jej własności

Funkcja wykładnicza

DEFINICJA Funkcja wykładnicza jest to funkcja określona wzorem $f(x)=a^x$ dla $a>0$ i $a \neq 1$.

Przykładem funkcji wykładniczej może być:

• $y=2^x$
• $y=\left(2\frac{1}{2}\right)^x$
• $y=10^{2x}$, co jest równoznaczne $y=(10^2)^x=100^x$

Wykres i własności

Patrząc na funkcję $y=2^x$ i $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ (kolor czerwony) wydaje nam się, że są one symetryczne względem osi OY. Podobnie jest z funkcjami $y=3^x$ i $y=\left(\frac{1}{3}\right)^x$ (kolor granatowy), a także $y=\left(\frac{3}{2}\right)^x$ i $y=\left(\frac{2}{3}\right)^x$ (kolor zielony). Możemy przypuszczać, że wykresy $f(x)=a^x$, a także $g(x)=\left(\frac{1}{a}\right)^x$ są symetryczne względem osi OY i rzeczywiście tak jest: $f(x)=a^x=(a^{-1})^{-x}=\left(\frac{1}{a}\right)^{-x}=g(-x)$.

Własności:

1. $D = R$
2. $ZW = R_+$, czyli $a^x > 0$
3. Wykres funkcji $y=a^x$ jest symetryczny względem osi OY do wykresu funkcji $y=\left(\frac{1}{a}\right)^x$
4. Funkcja nie posiada miejsc zerowych
5. Funkcja przecina oś OY w punkcie $(0;1)$, ponieważ $\forall_{a \neq 0}\ a^0 = 1$
6. Funkcja jest różnowartościowa
7. Dla $a \in (1; +\infty)$ funkcja jest rosnąca
8. Dla $a \in (0; 1)$ funkcja jest malejąca