Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Działania na zbiorach

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Suma zbiorów[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B, matematycznie zapisujemy ją tak: A \cup B = \{ x: x \in A \or x \in B \} .

Sumę zbiorów A i B ilustruje poniższy diagram Venna:

Set union.png


Przykład.

Jeżeli  A=\{1,2,5\} i  B=\{1,3,4\} , to  A \cup B=\{1,2,3,4,5\} . Pomimo tego, że 1 występuje w obydwu zbiorach, w sumie tych zbiorów występuje tylko jeden raz.

Iloczyn zbiorów[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Iloczynem/Częścią wspólną zbioru A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B, formalnie zapisujemy ją tak:  A \cap B=\{ x: x \in A \and x \in B \} . Iloczyn zbiorów nazywany jest także częścią wspólną zbiorów lub przekrojem zbiorów.

Set intersection.png


Przykład.

Jeśli  A=\{1,2,5\} i  B=\{1,3,4\} , to  A \cap B=\{1\} . Liczba 1 jest jedynym wspólnym elementem tych zbiorów.

Różnica zbiorów[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A, a które nie należą do zbioru B, możemy ją zapisać tak:  A \backslash B = \{ x: x \in A \and x \notin B \} . Różnica zbiorów A i B zapisywana jest też  A-B .

Set difference2.svg


Jeśli  A=\{1,2,5\} i  B=\{1,3,4\} , to  A \backslash B=\{2,5\} . Jedynym wspólnym elementem obydwu zbiorów jest liczba 1, więc otrzymany zbiór będzie bardzo podobny do zbioru A, lecz nie posiadający liczby 1.

Dopełnienie zbioru[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Dopełnieniem zbioru A z przestrzeni U nazywamy zbiór tych elementów przestrzeni U, które nie należą do zbioru A. Dopełnienie zbioru A oznaczamy jako  A' lub  A^c . Dopełnienie możemy zapisać tak:  A'=\{ x: x \in U \and x \notin A \} .

Z definicji dopełniania wynika także, że jest to po prostu różnica przestrzeni U i zbioru A:  A'=U \backslash A. Zbiór U zwany jest zbiorem uniwersum. Czasami zamiast U używa się innego oznaczenia przestrzeni np. X.

Absolute complement.svg


Przykład.

Jeśli  A=\{1,2,3\} , a przestrzenią U jest zbiór wszystkich liczby całkowitych dodatnich, to dopełnieniem zbioru A będzie zbiór  A'=\{4,5,6,7,8,\dots\} .

Przykład.

Jeśli  A=\{2,3,5,6\} , a przestrzenią U jest zbiór wszystkich liczby całkowitych dodatnich jednocyfrowych, to dopełnieniem zbioru A będzie zbiór  A'=\{1,4,7,8,9\} , ponieważ:

 U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}
 A=\{2,3,5,6\}
 A'=U \backslash A=\{1,4,7,8,9\}

Własności działań na zbiorach i prawa De Morgana[edytuj]

Prawa przedstawione wyżej mają pewne własności, które zaraz przedstawimy. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą prawa:

  •  (A \cup B)'=A' \cap B' -- I prawo De Morgana
  •  (A \cap B)'=A' \cup B' -- II prawo De Morgana
  •  A \cup B = B \cup A -- przemienność dodawania zbiorów
  •  A \cap B = B \cap A -- przemienność mnożenia zbiorów
  •  (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) -- łączność dodawania zbiorów
  •  (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) -- łączność mnożenia zbiorów
  •  A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) -- rozdzielność dodawania zbiorów względem mnożenia
  •  A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) -- rozdzielność mnożenia zbiorów względem dodawania


Przykład.

Mamy zbiór  A=\{1,2,3,4\} ,  B=\{1,3,5\} ,  C=\{3,5,9\} . Obliczyć  D=A \cap (B \cup C) :

 D=A \cap (B \cup C)=(A \cap B) \cup (A \cap C)=
 =(\{1,2,3,4\} \cap \{1,3,5\}) \cup (\{1,2,3,4\} \cap \{3,5,9\})=
 =\{1,3\} \cup \{3\}=\{1,3\}

(W rozwiązaniu celowo wykorzystano własności działań na zbiorach. Gdyby ich nie użyto rozwiązanie byłoby odrobinę krótsze.)