Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Wartość bezwzględna liczby

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Definicja
DEFINICJA

Wartość bezwzględna liczby jest określona wzorem:
 |x|=\left\{\begin{matrix} x, & \mbox{ dla } x \geqslant 0 \\ -x, & \mbox{ dla } x<0 \end{matrix} \right. .

Wartość bezwzględna liczby nazywana jest także czasami modułem lub wartością absolutną liczby.

Zobaczmy kilka przykładów:

  •  |4|=4
  •  |-5|=5
  •  |30-40|=|-10|=10
  •  |4-3|=|1|=1
  •  |3-\pi|=\pi-3

Bezwzględna wartość to odległość liczby od zera.

Własności[edytuj]

Dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y zachodzą poniższe własności:

  •  |x| \geqslant 0
  •  |x| = x
  •  |x| = \sqrt{x^2}
  •  |x \cdot y|=|x| \cdot |y|
  •  \left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|},~y \neq 0

Interpretacja geometryczna[edytuj]

Wartość bezwzględną liczby można interpretować jako odległość współrzędnej tego punktu od punktu zerowego:

Wartość bezwzględna jako odległość.png

Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną[edytuj]

Przy rozwiązywaniu równania można wykorzystać własność:

  •  |x|=a \iff (x=a \or x=-a)


Przykład 1. W przypadku równań z jedną wartością bezwzględną można posłużyć się tylko definicją, np.:

|x+4|=2

x+4=2 \or x+4=-2

x=-2 \or x=-6

Przykład 2. Jeżeli wartości bezwzględnych jest więcej, równanie liczy się inną metodą. Oto przykładowe równanie:

|x+4|+|x-2|=6

Tutaj również należy posłużyć się definicją. Pierwsze wyrażenie objęte wartością bezwzględną jest ujemne w przedziale (-\infty; -4) i dodatnie w przedziale (-4; +\infty). Natomiast drugie wyrażenie jest ujemne w przedziale (-\infty; 2) i dodatnie w przedziale (2; +\infty). Dostajemy więc trzy przedziały, które należy rozpatrzeć (jeśli tego nie widzimy od razu, warto rozrysować sobie cztery wcześniejsze zbiory na osi liczbowej i zobaczyć, jaką pozycję względem siebie zajmują):

  1. (-\infty; -4) gdzie oba wyrażenia są ujemne
  2. [-4; 2) gdzie pierwsze jest nieujemne a drugie ujemne
  3. [2; +\infty) gdzie oba wyrażenia są nieujemne

Wykres math.svg

W przypadku pierwszej wartości bezwzględnej, jeżeli x<(-4) trzeba będzie zmienić w niej znaki występujące przy liczbach, gdyż musi ona być dodatnia. Tą metodą tworzy się przedziały. I teraz należy obliczyć równanie do każdego z przedziałów.


 x \in (-\infty; -4)

W tym przypadku zmienią się znaki dla każdej wartości bezwzględnej:

-x-4-x+2=6

x=-4

Liczba ta nie należy do przedziału, więc w przedziale x \in (-\infty; -4) równanie nie ma rozwiązań.


x \in [-4; 2)

x+4-x+2=6

6=6

Tożsamość. Oznacza to, że w przedziale x \in [-4; 2) każda liczba spełnia równanie.


x \in [2; \infty)

x+4+x-2=6

x=2

Liczba należy do przedziału, czyli x=2 jest rozwiązaniem równania.


Podsumowując wcześniejsze obliczenia otrzymujemy wniosek, iż:

x \in [-4; 2]

Przykład 3.

|x+4|-|2x+3|+3|x-1|=7


Najprostszą metodą wyznaczania przedziałów jest wyobrażenie sobie liczb pod modułem jako miejsc zerowych funkcji liniowych.

x+4=0 \implies x=-4

2x+3=0 \implies x=-{3 \over 2}

x-1=0 \implies x=1


W ten sposób wyznaczone zostały przedziały, więc teraz wystarczy już tylko wykonać obliczenia.

x \in (-\infty; -4)

-x-4+2x+3-3x+3=7

x=-{5 \over 2}

W tym przedziale nie ma rozwiązań.


x \in \left[-4; -{3 \over 2}\right)

x+4+2x+3-3x+3=7

10=7

Sprzeczność. W tym przedziale także nie ma rozwiązań.


x \in \left[-{3 \over 2} ; 1\right)

x+4-2x-3-3x+3=7

x=-{3 \over 4}

Ta liczba należy do przedziału, więc jest rozwiązaniem równania.


x \in [1 ; \infty)

x+4-2x-3+3x-3=7

x={9 \over 2}

Ta liczba należy do przedziału więc jest rozwiązaniem równania.


Podsumowując:

x \in \left\{-{3 \over 4} ; {9 \over 2}\right\}


To samo można zapisać w postaci:

x=-{3 \over 4} \or x={9 \over 2}

Rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną[edytuj]

Drachen p.png

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Przy rozwiązywaniu nierówności można wykorzystać poniższe własności:

  •  |x| < a \iff -a < x < a \iff (x>-a \and x<a)
  •  |x| \leqslant a \iff -a \leqslant x \leqslant a \iff (x \geqslant -a \and x \leqslant a)
  •  |x| > a \iff (x < -a \or x > a)
  •  |x| \geqslant a \iff (x \leqslant -a \or x \geqslant a)

W przypadku niektórych nierówności możemy posłużyć się którąś z powyższych własności np.:


 |x+5| \leqslant 10 wykorzystując własność  |x| \leqslant a \iff (x \geqslant -a \and x \leqslant a) , gdzie zamiast x postawiamy x+5, a zamiast a liczbę 10 otrzymujemy:

 |x+5| \leqslant 10 \iff (x+5 \geqslant -10 \and x+5 \leqslant 10)
 (x \geqslant -15 \and x \leqslant 5)

Odp.  x \in [-15;5] .