Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Wartość bezwzględna liczby

DEFINICJA Wartość bezwzględna liczby jest określona wzorem: $|x|=\left\{\begin{matrix} x, & \mbox{ dla } x \geqslant 0 \\ -x, & \mbox{ dla } x<0 \end{matrix} \right.$.

Wartość bezwzględna liczby nazywana jest także czasami modułem lub wartością absolutną liczby.

Zobaczmy kilka przykładów:

• $|4|=4$
• $|-5|=5$
• $|30-40|=|-10|=10$
• $|4-3|=|1|=1$
• $|3-\pi|=\pi-3$

Własności

Dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y zachodzą poniższe własności:

• $|x| \geqslant 0$
• $|x| = |-x|$
• $|x| = \sqrt{x^2}$
• $|x \cdot y|=|x| \cdot |y|$
• $\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|},~y \neq 0$

Interpretacja geometryczna

Wartość bezwzględną liczby można interpretować jako odległość współrzędnej tego punktu od punktu zerowego:

Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną

Przy rozwiązywaniu równania można wykorzystać własność:

• $|x|=a \iff (x=a \or x=-a)$

Przykład 1. W przypadku równań z jedną wartością bezwzględną można posłużyć się tylko definicją, np.:

$|x+4|=2$

$x+4=2 \or x+4=-2$

$x=-2 \or x=-6$

Przykład 2. Jeżeli wartości bezwzględnych jest więcej, równanie liczy się inną metodą. Oto przykładowe równanie:

$|x+4|+|x-2|=6$

Tutaj również należy posłużyć się definicją. Pierwsze wyrażenie objęte wartością bezwzględną jest ujemne w przedziale $(-\infty; -4)$ i dodatnie w przedziale $(-4; +\infty)$. Natomiast drugie wyrażenie jest ujemne w przedziale $(-\infty; 2)$ i dodatnie w przedziale $(2; +\infty)$. Dostajemy więc trzy przedziały, które należy rozpatrzeć (jeśli tego nie widzimy od razu, warto rozrysować sobie cztery wcześniejsze zbiory na osi liczbowej i zobaczyć, jaką pozycję względem siebie zajmują):

1. $(-\infty; -4)$ gdzie oba wyrażenia są ujemne
2. $[-4; 2)$ gdzie pierwsze jest nieujemne a drugie ujemne
3. $[2; +\infty)$ gdzie oba wyrażenia są nieujemne

W przypadku pierwszej wartości bezwzględnej, jeżeli $x<(-4)$ trzeba będzie zmienić w niej znaki występujące przy liczbach, gdyż musi ona być dodatnia. Tą metodą tworzy się przedziały. I teraz należy obliczyć równanie do każdego z przedziałów.

$x \in (-\infty; -4)$

W tym przypadku zmienią się znaki dla każdej wartości bezwzględnej:

$-x-4-x+2=6$

$x=-4$

Liczba ta nie należy do przedziału, więc w przedziale $x \in (-\infty; -4)$ równanie nie ma rozwiązań.

$x \in [-4; 2)$

$x+4-x+2=6$

$6=6$

Tożsamość. Oznacza to, że w przedziale $x \in [-4; 2)$ każda liczba spełnia równanie.

$x \in [2; \infty)$

$x+4+x-2=6$

$x=2$

Liczba należy do przedziału, czyli x=2 jest rozwiązaniem równania.

Podsumowując wcześniejsze obliczenia otrzymujemy wniosek, iż:

$x \in [-4; 2]$

Przykład 3.

$|x+4|-|2x+3|+3|x-1|=7$

Najprostszą metodą wyznaczania przedziałów jest wyobrażenie sobie liczb pod modułem jako miejsc zerowych funkcji liniowych.

$x+4=0 \implies x=-4$

$2x+3=0 \implies x=-{3 \over 2}$

$x-1=0 \implies x=1$

W ten sposób wyznaczone zostały przedziały, więc teraz wystarczy już tylko wykonać obliczenia.

$x \in (-\infty; -4)$

$-x-4+2x+3-3x+3=7$

$x=-{5 \over 2}$

W tym przedziale nie ma rozwiązań.

$x \in \left[-4; -{3 \over 2}\right)$

$x+4+2x+3-3x+3=7$

$10=7$

Sprzeczność. W tym przedziale także nie ma rozwiązań.

$x \in \left[-{3 \over 2} ; 1\right)$

$x+4-2x-3-3x+3=7$

$x=-{3 \over 4}$

Ta liczba należy do przedziału, więc jest rozwiązaniem równania.

$x \in [1 ; \infty)$

$x+4-2x-3+3x-3=7$

$x={9 \over 2}$

Ta liczba należy do przedziału więc jest rozwiązaniem równania.

Podsumowując:

$x \in \left\{-{3 \over 4} ; {9 \over 2}\right\}$

To samo można zapisać w postaci:

$x=-{3 \over 4} \or x={9 \over 2}$

Rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną

Przy rozwiązywaniu nierówności można wykorzystać poniższe własności:

• $|x| < a \iff -a < x < a \iff (x>-a \and x<a)$
• $|x| \leqslant a \iff -a \leqslant x \leqslant a \iff (x \geqslant -a \and x \leqslant a)$
• $|x| > a \iff (x < -a \or x > a)$
• $|x| \geqslant a \iff (x \leqslant -a \or x \geqslant a)$

W przypadku niektórych nierówności możemy posłużyć się którąś z powyższych własności np.:

Przykład 4. Rozwiążmy nierówność $|x+5| \leqslant 10$ wykorzystując własność $|x| \leqslant a \iff (x \geqslant -a \and x \leqslant a)$, gdzie zamiast x postawiamy x+5, a zamiast a liczbę 10 otrzymujemy:

$|x+5| \leqslant 10 \iff (x+5 \geqslant -10 \and x+5 \leqslant 10)$

$(x \geqslant -15 \and x \leqslant 5)$

Odp. $x \in [-15;5]$.