Matematyka dla liceum/Trygonometria/Tożsamości trygonometryczne

Tożsamości trygonometryczne

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

$tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

$ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

$tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1$

---

Dowód prawdziwości $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left ( \frac{a}{c} \right )^2 + \left ( \frac{b}{c}\right )^2 = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1$

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa możemy stwierdzić, że $\frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1$ ponieważ

$a^2 + b^2 = c^2 \Big/ \cdot \frac{1}{c^2}$

$\frac{a^2 + b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2}$

$\frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1$

Dowód prawdziwości $tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

$tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{ \frac{a}{c} }{ \frac{b}{c} } = \frac{a}{c} \cdot \frac{c}{b} = \frac{a}{b}$

Dowód prawdziwości $ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

$ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{ \frac{b}{c} }{ \frac{a}{c} } = \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a} = \frac{b}{a}$

Dowód prawdziwości $tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1$

$tg\alpha \cdot ctg\alpha = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1$

Pozostałe tożsamości trygonometryczne

Funkcje sumy i różnicy kątów

$\sin ( \alpha + \beta ) = \sin\alpha\cdot\cos\beta + cos\alpha\cdot\sin\beta$

$\sin ( \alpha - \beta ) = \sin\alpha\cdot\cos\beta - cos\alpha\cdot\sin\beta$

$\cos ( \alpha + \beta ) = \cos\alpha\cdot\cos\beta - sin\alpha\cdot\sin\beta$

$\cos ( \alpha - \beta ) = \cos\alpha\cdot\cos\beta + sin\alpha\cdot\sin\beta$

$tg (\alpha + \beta) = \frac{ tg\alpha + tg\beta }{ 1-tg\alpha \cdot tg\beta }$ ,     jeżeli     $\cos\alpha \neq \; 0 \land \cos\beta \neq \; 0 \land \cos (\alpha + \beta)\neq \;0$

$tg (\alpha - \beta) = \frac{ tg\alpha - tg\beta }{ 1+tg\alpha \cdot tg\beta }$ ,     jeżeli     $\cos\alpha \neq \; 0 \land \cos\beta \neq \; 0 \land \cos (\alpha - \beta) \neq \; 0$

$ctg (\alpha + \beta) = \frac{ ctg\alpha \cdot ctg\beta - 1 }{ ctg\alpha + ctg\beta }$ ,     jeżeli     $\sin\alpha \neq \; 0 \land \sin\beta \neq \; 0 \land \sin (\alpha + \beta) \neq \; 0$

$ctg (\alpha - \beta) = \frac{ ctg\alpha \cdot ctg\beta + 1 }{ ctg\beta - ctg\alpha }$ ,     jeżeli     $\sin\alpha \neq \; 0 \land \sin\beta \neq \; 0 \land \sin (\alpha - \beta) \neq \; 0$

Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych

Dla dowolnych kątów o miarach $\alpha$ i $\beta$

$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

Funkcje kąta podwójnego

$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$

$tg 2\alpha = \frac{ 2tg\alpha }{ 1-tg^2 \alpha }$,     jeżeli     $\cos\alpha \neq \; 0 \land \cos 2\alpha \neq \; 0$

$ctg 2\alpha = \frac{ ctg^2 \alpha - 1 }{ 2ctg\alpha }$,     jeżeli     $\sin 2\alpha \neq \; 0$