Algebra abstrakcyjna/Działania

Działania

Działanie wewnętrzne

Działaniem wewnętrznym (lub krócej działaniem) w zbiorze A nazywamy dowolne odwzorowanie produktu kartezjańskiego $A\times A$ w zbiór A. Innymi słowy mówimy, że w zbiorze A określone jest działanie wewnętrzne, jeśli każdej parze uporządkowanej (a,b) elementów zbioru A przyporządkowany jest dokładnie jeden element zbioru A (zwany wynikiem działania na elementach a i b).

Jeżeli $*\colon A\times A\to A$ jest działaniem wewnętrznym w A, to zazwyczaj wynik działania $*$ na elementach a,b∈A oznaczamy przez: $a*b$ (nie zaś przez $*(a,b)$ ).

Dla oznaczenia działań wewnętrznych stosujemy często symbole: $*,+,\cdot$. W przypadku użycia symbolu $+$ mówić możemy o notacji addytywnej (działanie nazywamy wówczas dodawaniem, zaś wynik - sumą); w przypadku użycia $\cdot$ o multiplikatywnej (działanie nazywamy mnożeniem, zaś wynik iloczynem). Przy stosowaniu notacji multiplikatywnej często symbol działania pomija się, tzn. zamiast $a\cdot b$ piszemy $ab$.

Działanie zewnętrzne

Niech A i F będą dowolnymi zbiorami niepustymi. Działaniem zewnętrznym w zbiorze A nazywamy dowolne odwzorowanie produktu kartezjańskiego FxA w zbiór A. Zbiór F nazywamy zbiorem operatorów.

Działanie łączne

Mówimy, że działanie $*$ w zbiorze A jest łączne, jeśli dla dowolnych a,b,c∈A zachodzi równość $(a*b)*c=a*(b*c)\quad$.

Działanie przemienne

Mówimy, że działanie $*$ w zbiorze A jest przemienne, jeśli dla dowolnych a,b∈A zachodzi równość $a*b=b*a\quad$.

Jeżeli dane działanie jest przemienne, to zazwyczaj oznaczamy je addytywnie.

Działanie rozdzielne

Niech w zbiorze A określone będą działania $*$ oraz $+$. Mówimy, ze działanie $*$ jest rozdzielne względem działania $+$, jeśli dla dowolnych $a,b,c\in A$ zachodzą równości:

• $a*(b+c)=(a*b)+(a*c)$ (rozdzielność lewostronna działania $*$ względem działania $+$),

• $(a+b)*c=(a*c)+(b*c)$ (rozdzielność prawostronna działania $*$ względem działania $+$).

Element neutralny

Mówimy, że element $e\in A$ jest elementem neutralnym działania $*$ określonego w A, jeśli dla każdego $a\in A$ zachodzi równość $a*e=e*a=a$.

Element neutralny działania $*$ w A, o ile istnieje, jest wyznaczony jednoznacznie. Gdyby bowiem $e,e'\in A$ były elementami neutralnymi działania $*$, to: $e=e*e'$, bo e' jest elementem neutralnym oraz $e'=e*e'$, bo e jest elementem neutralnym, wobec czego: $e=e'$.

Element odwrotny

Niech działanie $*$ w zbiorze A ma element neutralny e i niech a∈A. Każdy element b∈A spełniający równość $a*b=b*a=e$ nazywamy elementem odwrotnym do a. Jeśli istnieje dokładnie jeden element odwrotny do a, to oznaczamy go symbolem $a^{-1}$. W notacji addytywnej element odwrotny do a nazywamy elementem przeciwnym do a i oznaczamy –a. Ponadto, zamiast pisać $a+(-b)$ piszemy zazwyczaj $a-b$.

Jasne jest, że jeśli element b jest odwrotny do a, to element a jest odwrotny do b.

Ponadto, jeżeli działanie $*$ w zbiorze A jest łączne, to element odwrotny do elementu $a\in A$, o ile istnieje, jest wyznaczony jednoznacznie. Gdyby bowiem $b,b'\in A$ były odwrotne do a, to: $b'=b'*e=b'*(a*b)=(b'*a)*b=e*b=b$.

Element neutralny zawsze posiada element odwrotny. Jest nim on sam.

Działania - przykłady

Działania wewnętrzne

Niech X będzie dowolnym zbiorem. Przez $2^{X}$ oznaczamy zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X. Działania $\cup :2^{X}\times 2^{X}\to 2^{X}$ i $\cap :2^{X}\times 2^{X}\to 2^{X}$ są działaniami wewnętrznymi w $2^{X}$. Działania te są łączne, przemienne i każde z nich jest rozdzielne względem drugiego. Elementem neutralnym względem działania $\cup$ jest $\emptyset$. Elementem neutralnym względem działania $\cap$ jest X. Jedynymi elementami posiadającymi elementy odwrotne względem tych działań są ich elementy neutralne.

Niech $X=\{x\}$ będzie zbiorem jednoelementowym. Jedynym działaniem wewnętrznym w X jest działanie przyporządkowujące parze elementów (x,x) element x. Jest to oczywiście działanie łączne, przemienne, z elementem neutralnym równym x i elementem odwrotnym do x równym x.

Niech X będzie dowolnym zbiorem. Przez $S(X)$ oznaczmy zbiór wszystkich bijekcji z X na X. Jako działanie wewnętrzne w X przyjmijmy składanie funkcji. Jest to działanie łączne, nieprzemienne (o ile X jest co najmniej 3-elementowy). Elementem neutralnym jest funkcja identycznościowa na X. Elementem przeciwnym do danej funkcji jest jej funkcja odwrotna.

Działania zewnętrzne

Oznaczmy przez ${\mathcal {U}}$ zbiór wszystkich skończonych podzbiorów zbioru liczb naturalnych, zaś przez ${\mathcal {W}}$ zbiór wszystkich nieskończonych podzbiorów zbioru liczb naturalnych. Zdefiniujmy działanie $f:{\mathcal {U}}\times {\mathcal {W}}\to {\mathcal {W}}$ następująco: dla $A\in {\mathcal {U}}$ i $B\in {\mathcal {W}}$ przyjmujemy: $f(A,B)=B\setminus A$. Funkcja $f$ jest działaniem zewnętrznym w zbiorze ${\mathcal {W}}$.