Algebra abstrakcyjna/Działania

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Działania[edytuj]

Działanie wewnętrzne[edytuj]

Działaniem wewnętrznym (lub krócej działaniem) w zbiorze A nazywamy dowolne odwzorowanie produktu kartezjańskiego w zbiór A. Innymi słowy mówimy, że w zbiorze A określone jest działanie wewnętrzne, jeśli każdej parze uporządkowanej (a,b) elementów zbioru A przyporządkowany jest dokładnie jeden element zbioru A (zwany wynikiem działania na elementach a i b).

Jeżeli jest działaniem wewnętrznym w A, to zazwyczaj wynik działania na elementach a,b∈A oznaczamy przez: (nie zaś przez ).

Dla oznaczenia działań wewnętrznych stosujemy często symbole: . W przypadku użycia symbolu mówić możemy o notacji addytywnej (działanie nazywamy wówczas dodawaniem, zaś wynik - sumą); w przypadku użycia o multiplikatywnej (działanie nazywamy mnożeniem, zaś wynik iloczynem). Przy stosowaniu notacji multiplikatywnej często symbol działania pomija się, tzn. zamiast piszemy .

Działanie zewnętrzne[edytuj]

Niech A i F będą dowolnymi zbiorami niepustymi. Działaniem zewnętrznym w zbiorze A nazywamy dowolne odwzorowanie produktu kartezjańskiego FxA w zbiór A. Zbiór F nazywamy zbiorem operatorów.

Działanie łączne[edytuj]

Mówimy, że działanie w zbiorze A jest łączne, jeśli dla dowolnych a,b,c∈A zachodzi równość .

Działanie przemienne[edytuj]

Mówimy, że działanie w zbiorze A jest przemienne, jeśli dla dowolnych a,b∈A zachodzi równość .

Jeżeli dane działanie jest przemienne, to zazwyczaj oznaczamy je addytywnie.

Działanie rozdzielne[edytuj]

Niech w zbiorze A określone będą działania oraz . Mówimy, ze działanie jest rozdzielne względem działania , jeśli dla dowolnych zachodzą równości:

  • (rozdzielność lewostronna działania względem działania ),
  • (rozdzielność prawostronna działania względem działania ).

Element neutralny[edytuj]

Mówimy, że element jest elementem neutralnym działania określonego w A, jeśli dla każdego zachodzi równość .

Element neutralny działania w A, o ile istnieje, jest wyznaczony jednoznacznie. Gdyby bowiem były elementami neutralnymi działania , to: , bo e' jest elementem neutralnym oraz , bo e jest elementem neutralnym, wobec czego: .

Element odwrotny[edytuj]

Niech działanie w zbiorze A ma element neutralny e i niech a∈A. Każdy element b∈A spełniający równość nazywamy elementem odwrotnym do a. Jeśli istnieje dokładnie jeden element odwrotny do a, to oznaczamy go symbolem . W notacji addytywnej element odwrotny do a nazywamy elementem przeciwnym do a i oznaczamy –a. Ponadto, zamiast pisać piszemy zazwyczaj .

Jasne jest, że jeśli element b jest odwrotny do a, to element a jest odwrotny do b.

Ponadto, jeżeli działanie w zbiorze A jest łączne, to element odwrotny do elementu , o ile istnieje, jest wyznaczony jednoznacznie. Gdyby bowiem były odwrotne do a, to: .

Element neutaralny zawsze posiada element odwrotny. Jest nim on sam.

Działania - przykłady[edytuj]

Działania wewnętrzne[edytuj]

Niech X będzie dowolnym zbiorem. Przez oznaczamy zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X. Działania i są działaniami wewnętrznymi w . Działania te są łączne, przemienne i każde z nich jest rozdzielne względem drugiego. Elementem neutralnym względem działania jest . Elementem neutralnym względem działania jest X. Jedynymi elementami posiadającymi elementy odwrotne względem tych działań są ich elementy neutralne.

Niech będzie zbiorem jednoelementowym. Jedynym działaniem wewnętrznym w X jest działanie przyporządkowujące parze elementów (x,x) element x. Jest to oczywiście działanie łączne, przemienne, z elementem neutralnym równym x i elementem odwrotnym do x równym x.

Niech X będzie dowolnym zbiorem. Przez oznaczmy zbiór wszystkich bijekcji z X na X. Jako działanie wewnętrzne w X przyjmijmy składanie funkcji. Jest to działanie łączne, nieprzemienne (o ile X jest co najmniej 3-elementowy). Elementem neutralnym jest funkcja identycznościowa na X. Elementem przeciwnym do danej funkcji jest jej funkcja odwrotna.

Działania zewnętrzne[edytuj]

Oznaczmy przez zbiór wszystkich skończonych podzbiorów zbioru liczb naturalnych, zaś przez zbiór wszystkich nieskończonych podzbiorów zbioru liczb naturalnych. Zdefiniujmy działanie następująco: dla i przyjmujemy: . Funkcja jest działaniem zewnętrznym w zbiorze .