Algebra abstrakcyjna/Pierścienie - podstawy

Pierścienie - podstawy

Pierścień - definicja

Zespół (A,+,*) składający się z niepustego zbioru A oraz dwóch działań + i * określonych w A nazywamy pierścieniem, jeśli spełnione są warunki:

• (P1) (A,+) jest grupą abelową;
• (P2) a,b,cA[(ab)c=a(bc);
• (P3) a,b,cA [a(b+c)=(ab)+(ac), (a+b)c=(ac)+(bc)].

Każdy pierścień jest strukturą algebraiczną

Zero i jedynka

Element neutralny dodawania w pierścieniu A nazywamy zerem pierścienia A, i oznaczamy zazwyczaj symbolem 0. Def.Jeśli mnożenie * w pierścieniu A ma jedynkę, to jedynkę tę nazywamy jedynką pierścienia A. Jedynkę pierścienia oznaczamy zazwyczaj symbolem 1.

Twierdzenie: W niezerowym pierścieniu z jedynką zachodzi związek 01.

Dowód: Przypuśćmy, że A jest niezerowym pierścieniem z 1, w którym 0=1. Wtedy dla każdego aA zachodzą równości a*1=a oraz a*1=a*0=0. Stąd A={0}. Sprzeczność.

Rodzaje pierścieni

Pierścień (A,+,*) może być:

• przemienny - jeśli działanie * jest przemienne;
• zerowy - jeśli zbiór A jest jednoelementowy (w przeciwnym przypadku o pierścieniu A mówimy, ze jest pierścieniem niezerowym);
• pierścień z jedynką - jeśli mnożenie * w pierścieniu A ma jedynkę;