Algebra abstrakcyjna/Podgrupy

Podgrupy

Definicja podgrupy

Niepusty podzbiór H grupy G nazywamy podgrupą grupy G wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:

• (pG) $\forall a,b\in H\quad ab^{-1}\in H$.

Twierdzenie o podgrupach

Niepusty podzbiór H grupy G jest podgrupą grupy (G,*) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki:

• (pG1) $e\in H$,
• (pG2) $\forall a,b\in H\quad ab\in H$,
• (pG3) $\forall a\in H\quad a^{-1}\in H$.

Dowód:

Przypuśćmy, że niepusty podzbiór H grupy G spełnia warunek (pG). Biorąc dowolny element $a\in H$, na mocy warunku (pG) otrzymujemy $aa^{-1}=e\in H$. Zatem spełniony jest warunek (pG1). Ponieważ $e\in H$ i $a\in H$, więc z warunku (pG) wynika, że $ea^{-1}=a^{-1}\in H$. Spełniony jest więc warunek (pG3). Dla dowolnych $a,b\in H$ równość $ab=a(b^{-1})^{-1}$ oraz warunki (pG3) i (pG) pociągają przynależność $ab\in H$. Zatem warunek (pG2) również jest spełniony.

Implikacja w drugą stronę jest oczywista.

Działanie zawężone do podgrupy

Jeśli zbiór H jest podgrupą grupy G, to zawężenie działania w zbiorze G do podzbioru H jest działaniem w zbiorze H. Co więcej, zbiór H z tym działaniem tworzy grupę Fakt, ze H jest podgrupą grupy G zapisuje się: H<G.

Podgrupy grupy liczb całkowitych

Każda podgrupa grupy $\mathbb {Z}$ jest postaci $n\mathbb {Z}$, gdzie $n\in \mathbb {N} \setminus \{0\}$.

Dowód:

Ponieważ {0}=0Z, więc podgrupa zerowa jest żądanej postaci. Przypuśćmy teraz, że H jest podgrupą niezerową grupy Z. Do H należy więc pewna liczba całkowita m0. Ponieważ z warunku mH wynika, że -mH, więc zbiór liczb naturalnych należących do H nie jest pusty. Niech n będzie najmniejszą liczbą naturalną należącą do H. Wtedy dla każdego kN mamy knH i na mocy warunku (pG3) również każda z liczb –kn należy do H. Zatem nZH. Pokażemy, ze zachodzi też inkluzja przeciwna. Weźmy w tym celu dowolną liczbę aH i podzielmy ją z resztą przez n: a=nq+r, gdzie 0r<n. Ponieważ aH oraz -nqH, więc r=a+(-nq)H. Wobec tego, że n jest najmniejszą liczbą naturalną należącą do H, może jedynie być r=0. Stąd a=nqnZ. Łącząc obie inkluzje dostajemy żądany związek H=nZ.