Algebra liniowa/Formy liniowe i kwadratowe

Definicje

Forma to funkcja z potęgi kartezjańskiej przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów. Forma n-liniowa to – zgodnie z wcześniejszym opisem wyznacznika – jest addytywna i jednorodna ze względu na każdy warunek. Wyróżnia się m.in. formy:

• symetryczne - jak niektóre iloczyny skalarne;
• antysymetryczne – jak wyznacznik;
• inne.

Forma kwadratowa to funkcja jednej zmiennej określona przez formę dwuliniową: Q(v) = B(v,v).

Wzór polaryzacyjny

2ab = (a+b)^2 - a^2 - b^2;

2B(u,v) = Q(a+b) - Q(a) - Q(b).

Twierdzenie Sylvestera

Formy kwadratowe są bezwładne, tzn. ich sygnatura nie zależy od bazy.

Iloczyny skalarne

Rzeczywisty iloczyn skalarny to forma dwuliniowa, symetryczna i dodatnio określona, tj. określona nieujemnie i niezdegenerowana. Istotne jest tu słowo „rzeczywisty” – rozważa się też inne iloczyny skalarne, gdzie warunki symetrii i dwuliniowości są osłabione.