Astronomiczne podstawy geografii/Odległości

Obliczanie odległości pomijając krzywiznę Ziemi

Aby obliczyć tę długość wystarczy, że znamy:

-położenie geograficzne punktu ($A=x1,y1$) oraz

-położenie geograficzne punktu ($B=x2,y2$)

Wzór na odległość dwóch punktów na Ziemii pomijając jej krzywiznę

${\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+\left(\cos \left({\frac {x_{1}\cdot \pi }{180}}\right)\cdot (y_{2}-y_{1})\right)^{2}}}\cdot {\frac {40075,704}{360}}\,$

Korzystając z powyższego wzoru możemy obliczyć odległość między:

-Gdańskiem 54° 22′ N (54,366667 N), 18° 38′ E (18,633333 E) a

-Słupskiem 54° 28' N (54,466667 N), 17° 1′ E (17,016667 E).

Zatem:

${\sqrt {(54,466667-54,366667)^{2}+\left(\cos \left({\frac {54,366667\cdot \pi }{180}}\right)\cdot (17,016667-18,633333)\right)^{2}}}\cdot {\frac {40075,704}{360}}=\;$
$=105,4388154\ \mathrm {km} \,$

Wstęp teoretyczny

Jak wiadomo, kula ziemska jest geoidą, która w pewnym przybliżeniu może być uważana za kulę. Aby obliczyć odległość na kuli musimy posłużyć się pewną sztuczką.

Rys1.

Na rysunku zaznaczamy punkty, pomiędzy którymi obliczamy odległość [A,B] oraz biegun północny [P]. Biegun północny bierzemy tylko dla wygody, równie dobrze mógłby to być biegun południowy lecz nasz wzór byłby znacznie bardziej skomplikowany. Punkty te stworzyły nam trójkąt sferyczny $ABP$, gdzie $|AB|$ to odległość między punktami.

Obliczanie odległości

Aby obliczyć tę długość wystarczy nam że znamy: długość łuku $AP$ (w stopniach), długość $BP$ (w stopniach) oraz różnice pomiędzy długościami geograficznymi obu punktów. Oczywiście te wartości znamy z danych z zadania.A jak nie znamy to obliczamy w następujący sposób:

Wykorzystujemy wzór:

$\cos AB=\cos AP\cdot \cos BP+\sin AP\cdot \sin BP\cdot \cos P\,$

mamy już cosinus naszej odległości teraz wystarczy wziąć arcus cosinus tej liczby i mamy odległość w stopniach pomiędzy naszymi punktami.

Żeby teraz zmienić tę odległość na kilometry wystarczy zobaczyć jaką to stanowi część obwodu Ziemi i pomnożyć razy jej obwód. Jeden stopień to 111,1 km.

$l=\arccos(\cos AB)\cdot 111,1\ \mathrm {km} \,$

to odległość w kilometrach pomiędzy tymi punktami.

Po zestawieniu wzorów możemy posługiwać się takim wzorem

$l=\arccos(\cos AP\cdot \cos BP+\sin AP\cdot \sin BP\cdot \cos P)\cdot 111,1\ \mathrm {km}$

Jednakże wzór częściowy jest również wygodny zwłaszcza jeśli posługujemy się tablicami lub kalkulatorem

Ćwiczenia

Obliczamy odległość pomiędzy Gdańskiem 54° 22′ N 18° 38′ E a Słupskiem 54° 28' N 17° 1′ E

$l=\arccos(\cos 35^{\circ }\,38'\cdot \cos 35^{\circ }\,32'+\sin 35^{\circ }\,38'\cdot \sin 35^{\circ }\,32'\cdot \cos 1^{\circ }\,37')$

$l=0{,}9553\cdot 111{,}1\ \mathrm {km} =106{,}1385\ \mathrm {km}$

Zadania

Oblicz odległości z Gdańska do:
a) Krakowa (50° 04' N 19° 56' E)
b) Berlina (52° 31' N 13° 24'E)
c) Nowego Jorku (40° 42' N 74° 00' W)
d) Kapsztadu (33° 58'S 18° 25' E)
e) Welington (41° 17' S 174° 47'E)
f) Montevideo (34° 53' S 56° 10' W)

Przypisy

---

Powrót do spisu treści