Fortran/Wersja do druku

Fortran

Aktualna, edytowalna wersja tego podręcznika jest dostępna w Wikibooks, bibliotece wolnych podręczników pod adresem
https://pl.wikibooks.org/wiki/Fortran

Całość tekstu jest objęta licencją CC-BY-SA 3.0 i jednocześnie GNU FDL.

Udziela się zezwolenia na kopiowanie, rozpowszechnianie lub modyfikację tego dokumentu zgodnie z zasadami Licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Na tych samych warunkach 3.0 Unported lub dowolnej późniejszej wersji licencji opublikowanej przez Creative Commons, która zawiera te same elementy co niniejsza licencja. Treść licencji dostępna jest pod adresem http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode.

Udziela się zezwolenia na kopiowanie, rozpowszechnianie lub modyfikację tego dokumentu zgodnie z zasadami Licencji wolnej dokumentacji GNU (niewersjonowanej, bez części nienaruszalnych oraz tekstów przedniej i tylnej okładki)

Spis treści

1. O podręczniku
2. Wstęp
   1. Historia języka Fortran
   2. Wprowadzenie do języka Fortran
3. Podstawowe wiadomości
   1. Zmienne
   2. Instrukcje sterujące
   3. Podstawowe działania matematyczne
   4. Procedury i funkcje
   5. Podstawowe operacje wejścia i wyjścia
4. Wiadomości zaawansowane
   1. Preprocesor
   2. Operacje na łańcuchach
   3. Styl programowania
   4. Typy złożone
   5. Zarządzanie pamięcią
   6. Odnajdowanie błędów
5. Przykłady
   1. Iloczyn macierzy
   2. Metoda najmniejszych kwadratów
6. Dodatek A
   1. Fortran a C
   2. Łączenie języka C z językiem Fortran
7. Dodatek B
   1. Inne dialekty języka Fortran
8. Licencja

O podręczniku

Dla kogo przeznaczony jest ten podręcznik

Niniejszy podręcznik ma za zadanie wprowadzić każdą chętną osobę w świat programowania w języku Fortran. Nie jest wymagana przy tym umiejętność programowania (jeśli umiesz już programować w innym języku, będziesz mógł pominąć pewne informacje).

Jak ja mogę pomóc?

Twoja pomoc może dotyczyć wszystkiego w tym podręczniku. Możesz zarówno edytować podręcznik w celu powiększenia jego wartości merytorycznej. Jeśli dopiero się uczysz, to poprawiaj zauważone przez Ciebie błędy (przede wszystkim językowe). Nie bój się edycji.

Konwencje przyjęte w tym podręczniku

Aby łatwiej było czytać oraz edytować ten podręcznik wprowadzone zostają pewne zasady.

Kod źródłowy wyróżniamy poprzez wpisywanie go w odległości dwóch pustych znaków (spacji) od lewej krawędzi ekranu. Oto efekt:

 oto kod źródłowy

W ten sam sposób możemy prezentować dialog programu z użytkownikiem.

Nawigacja

Aby ułatwić nawigację korzystamy z szablonu {{Subst:Naw}}. Przykład jego użycia możesz zobaczyć np. poprzez przeglądnięcie kodu źródłowego któregoś z modułów tego podręcznika.

Język

Edytując ten podręcznik pamiętaj o tym, że czytać go mogą zarówno inżynierowie, jak i początkujący programiści. Staraj się zatem, by język użyty do opisu działania programów był jak najbardziej przystępny oraz zrozumiały.

Autorzy

Wkład w powstanie tego podręcznika mieli:

• Dmuchawiec
• DrJolo
• Kj

Historia języka Fortran

Karta perforowana dla języka Fortran

Historia języka Fortran

Zanim w 1956 roku skonstruowano pierwszy komputer tranzystorowy (TX-0), istniał już język programowania wysokiego poziomu. Był nim, stworzony w latach 1954-1957, język Fortran. Wymyślił go wraz ze swoim zespołem John Backus, pracownik firmy IBM. Pierwszym wyzwaniem, z jakim musieli się zmierzyć twórcy Fortranu była wydajność. Obawiano się, że jeśli program napisany w języku wysokiego poziomu będzie zbyt wolny w stosunku do języków assemblerowych, to nikomu nie będzie chciało się go używać. Dołożono zatem wszelkich starań, aby nowy język był jak najbardziej zoptymalizowany. Efektem tego jest wydajność, porównywalna z językiem C. Kolejne standaryzacje przynosiły coraz więcej nowości oraz możliwości języka. W dniu dzisiejszym praktycznie wszystkie obliczenia aerodynamiczne, wytrzymałościowe i cieplne prowadzone są właśnie z użyciem języka Fortran.

Czasy współczesne

Czy Fortran jest wciąż używany ?

• NASA poszukuje programisty znającego 60-letni język Fortran używany w oprogramowaniu sterującym sondą Voyager
• dlaczego fizycy wciąż używają Fortrana

Wersje języka Fortran

1. FORTRAN Automatic Coding System for IBM704 - 1957r, pierwszy kompilator języka FORTRAN
2. FORTRAN 66 - wersja języka fortran, która rozpowszechniła się na komputerach.
3. FORTRAN 77 - wersja która zdominowała obliczeniach numeryczne w latach 80. Pojawiła się w niej m.in. pętla while. Ostatnia wersja z zapisem obsługującym karty perforowane. Popularna do początku XXI wieku. Na początku XXI wieku występował dobry kompilator g77, jednak obecnie (2012r.) nie jest on rozwijany z przyczyn technicznych.
4. Fortran 90 - przełomowa wersja Fortranu (od tej wersji nazwę języka pisze się małymi literami). Nowy zapis, niedostosowany do kart perforowanych, struktury, wskaźniki, przeciążanie operatorów, moduły.
5. Fortran 95 - niewielkie zmiany w stosunku do Fortranu 90. Dodana obsługa wątków. Ostatni proceduralny Fortran. Niektóre profesjonalne kompilatory zatrzymały się na tej wersji (NAG, Lahey, Absoft).
6. Fortran 2003 - pierwszy obiektowy Fortran.
7. Fortran 2008 - najnowszy standard języka Fortran. Obsługa równoległości - współtablice ( ang. Coarrays)

Zobacz także

Aby przeczytać całą historię języka Fortran, odwiedź polską Wikipedię.

Wprowadzenie do języka Fortran

O języku Fortran

Język Fortran jest językiem kompilowanym. Oznacza to, że aby uruchomić nasz pierwszy program w Fortranie musimy go skompilować, czyli przetworzyć z postaci czytelnej dla człowieka na kod maszynowy. Historyczne uwarunkowania doprowadziły do tego, że kompilatory języka Fortran generują zoptymalizowany kod, dzięki czemu wykonanie programu, napisanego w Fortranie jest bardzo szybkie. Oprócz tego ważną cechą Fortranu jest jego przenośność. Podobnie, jak język C, także i Fortran jest językiem przenośnym - ale tylko w postaci kodu źródłowego. Natomiast w przeciwieństwie do języka C, Fortran posiada niejako "wbudowane" funkcje obsługi wejścia i wyjścia (Input-Output - I/O) oraz funkcje matematyczne. Np. potęgowanie posiada swój specjalny operator (o nich później). Język Fortran oferuje też ciekawe możliwości dla osób piszących programy pod systemy wieloprocesorowe lub programy równoległe.

Użycie Fortranu do symulacji kolizji dwóch galaktyk

Zastosowanie języka Fortran

Z rozdziału historia poznałeś niektóre zastosowania języka Fortran. Jednak nie są to jedyne jego zastosowania. W jednym z dialektów napisano nawet system operacyjny.

Czego potrzebujesz

Aby rozpocząć przygodę z językiem Fortran musisz koniecznie zaopatrzyć się w:

• dowolny system operacyjny
• dowolny edytor tekstowy, który nie formatuje tekstu, lub ma funkcję zapisywania plików bez formatowania.
• kompilator języka Fortran - tutaj natrafisz na bardzo duży wybór

Edytor

Zamiast zwykłego edytora możesz wybrać Zintegrowane Środowisko Programistyczne (IDE), na przykład Code::Blocks for Fortran lub wtyczkę Photran do środowiska Eclipse, lub środowisko Firmy Intel dla linuxa Intel® Parallel Studio XE for Linux* wersja niekomercyjna.

Kompilator

Jak już wspomniałem, wybór kompilatora może sprawić Ci trudność. Będzie on zależał od systemu operacyjnego oraz możliwości Twojego budżetu. Oczywiście do nauki wystarczy Ci najprostszy, darmowy kompilator. W niniejszym podręczniku będziemy opierali się na najnowszym dziecku projektu GCC - gfortran. Krótką listę dostępnych kompilatorów, zawiera artykuł w polskiej Wikipedii. Niezłym punktem startu jest też anglojęzyczna strona The Fortran Company, na której oprócz informacji o komercyjnych pakietach, znajdziesz też sporo darmowych bibliotek i tutoriali.

Dość ciekawą rzeczą jest natomiast działanie kompilatora. Każdy kompilator języka Fortran składa się z dwóch części

• kompilatora właściwego, przetwarzającego program na kod maszynowy
• biblioteki uruchomieniowej

To właśnie w tym drugim elemencie przechowywane są najbardziej podstawowe funkcje. Bibliotekę uruchomieniową możemy porównać do biblioteki języka C w systemach UNIX (tak naprawdę, w systemach Uniksowych część biblioteki uruchomieniowej korzysta z biblioteki języka C). Kompilatory Fortranu umożliwiają także łączenie w jeden program kilku modułów napisanych zarówno w języku Fortran, jak i C. Temu zagadnieniu poświęcony jest ostatni rozdział tego podręcznika (Łączenie języka C z językiem Fortran).

instalacja

Instalacja gfortrana na ubuntu:

  apt-get install gfortran

Po udanej instalacji sprawdzamy wersję:

  gfortran --version

Przykładowy wynik :

GNU Fortran (Ubuntu 5.4.1-2ubuntu1~16.04) 5.4.1 20160904
Copyright (C) 2015 Free Software Foundation, Inc.

GNU Fortran comes with NO WARRANTY, to the extent permitted by law.
You may redistribute copies of GNU Fortran
under the terms of the GNU General Public License.
For more information about these matters, see the file named COPYING

Pierwsze spojrzenie na FORTRAN 77

Witaj świecie!

Przykład w języku FORTRAN77.Program składa się z 15 linii kodu. Na początku jest 10 linii komentarza, który objaśnia działanie programu.

Następnie jest 5 linii "suchego kodu". Każda linia (w naszym przykłądzie) jest oddalona 6 znaków od lewej krawędzi. 6 pierwszych znaków jest wykorzystywanych do celów "technicznych" (mówiąc w uproszczeniu). Program jest określony słowem kluczowym PROGRAM i nazwą przykładową. Następnie pojawia się instrukcja IMPLICIT NONE (nieobowiązkowa, ale bardzo zalecana), aby kompilator nie rozpoznawał domyślnie typów zmiennych. Trzecia instrukcja programu zawiera instrukcję wypisania na ekranie napisu. Program jest zatrzymany instrukcją STOP.

Program jest zawarty pomiędzy parą słów kluczowych PROGRAM - END. Instrukcja PROGRAM mówi, że nastąpi deklaracja programu głównego. Instrukcja END mówi, że nastąpił koniec bloku programu głównego.

C PROGRAM TINY. PROGRAM WYŚWIETLA NAPIS "Hello World!"
C Na podstawie:
C
C1) Clive G. Page 
C Professional Programmer’s Guide to Fortran77
C University of Leicester, UK
C 7th June 2005
C
C 2) en.wikibook Fortran 77 Tutorial
C kompilacja - Marcin Kulbaka 2021
      PROGRAM TINY
      IMPLICIT NONE
      WRITE(UNIT=*, FMT=*) 'Hello, world!'
      STOP
      END

kompilacja programu:

gfortran HELLO.F -o hello.run

Aby uruchomić program należy wywołać ścieżkę dostępu do pliku, np.:

./hello.run

Organizacja znaków w kolumnach

Język FORTRAN 77 był tworzony z uwzględnieniem zapisu na kartach perforowanych. W użyciu były jeszcze stare komputery, zbyt cenne aby były beztrosko zezłomowane.

Karta perforowana posiada 80 kolumn i może pomieścić jedną linię kodu.

 kol. 1    : pusty, lub "c" lub "*" dla komentarza
 kol. 1-5  : etykieta instrukcji (opcjonalna)
 kol. 6    : kontynuacja linii (opcjonalna)
 kol. 7-72 : instrukcja
 kol. 73-80: numer sekwencji (opcjonalny, obecnie rzadko używany)

Jeżeli w karcie pierwsza kolumna jest literą C, lub znakiem *, wówczas linia zawiera komentarz. Komentarz jest ignorowany (zazwyczaj) przez kompilator. Zawiera instrukcje opisujące program. Co robi program, jak robi, kto napisał, kiedy napisał, z jakich książek korzystano, jakie wzory. Komentarze mogą być zauważalnie dłuższe od "suchego kodu". Często programista po latach pracy pamięta niewiele i taka pomoc jest bezcenna.

Jeżeli w kolumnach 1-5 jest liczna całkowita, wówczas jest ona etykietą jakiejś instrukcji. Może ona oznaczać np. adres do skoku GOTO.

Jeżeli w kolumnie 6 jest znak, wówczas linia taka jest kontynuacją linii z poprzedniej karty. Rozwiązuje to problem długich instrukcji na kartach.

Kolumny 7-72 zawierają "normalne" instrukcje programu.

Pierwsze spojrzenie na Fortran 90/95

Witaj świecie!

Przykład programu Hello w języku Fortran 95.

Zgodnie z tradycją pierwszym przykładem języka programowania powinien być program wyświetlający radosny napis "Hello World!". Oto kod tego programu w Fortranie 95 (albo w Fortranie 90, gdyż niewiele się między sobą różnią):

 !
 ! To jest program przykładowy w Fortranie 90/95  
 !
program helloworld            ! nieobowiązkowy ale zalecany początek programu
    implicit none
    print *, "Hello, world!" ! wyświetlenie na ekranie napisu
end program helloworld        ! koniec programu - obowiązkowy, jeśli wcześniej jest słowo program

Zapiszmy nasz program w pliku hello.f95. Aby go uruchomić musisz wykonać czynność, zwaną kompilacją. Nasze przykłady oprzemy na kompilatorze gfortran. Aby uzyskać program wykonywalny w konsoli musisz wykonać:

gfortran hello.f95 -o hello

Aby uruchomić program należy wywołać ścieżkę dostępu do pliku, np.:

./hello

lub po prostu jego nazwę, jeśli katalog w którym się znajduje został dopisany do zmiennej środowiskowej $PATH.

Wiedza elementarna

• Język Fortran (niezależnie od wersji) nie rozróżnia wielkości znaków, czyli print* i PRINT* to dla kompilatora dokładnie ta sama instrukcja.
• W jednym wierszu można umieścić do 132 znaków.
• Spacje są ważne - służą do oddzielania słów kluczowych i identyfikatorów (oprócz spacji tę funkcję pełnią także inne białe znaki i znaki przestankowe). Nie wolno wstawiać spacji (ani innego znaku) wewnątrz słowa kluczowego lub identyfikatora.
• Komentarzem jest tekst od symbolu wykrzyknika do najbliższego znaku końca linii. Wyjątkiem jest sytuacja, gdy znak ! pojawia się w cytowaniu.
• Znak końca linii jest znakiem kończącym instrukcję.
• Jeśli chcemy kontynuować instrukcję w następnym wierszu musimy na końcu linii postawić znak &. Jeśli jednak chcemy przełamać napis otoczony cudzysłowem lub apostrofami to znak & musimy umieścić na końcu pierwszego i na początku drugiego wiersza.
• W przypadku, gdy chcemy umieścić kilka instrukcji w jednym wierszu oddzielamy je znakiem ;
• Język Fortran pozwala na używanie niezadeklarowanych zmiennych (co nie jest zalecane) - typ zmiennej zależy wówczas od pierwszej litery nazwy zmiennej. Nazwy zaczynające się na I,J,K,L,M,N to liczby całkowite, pozostałe to liczby zmiennoprzecinkowe. Możemy zrezygnować z tej możliwości (zalecamy!) umieszczając instrukcję implicit none zaraz po wierszu ze słowem program.
• Używany alfabet to litery małe: a-z i duże: A-Z, cyfry 0-9, znak podkreślenia _. Dozwolone są również następujące znaki specjalne: spacja, enter oraz +-*/<=>().,'";:!&%$?. Oprócz tego znane nam kompilatory w komentarzach i łańcuchach tekstowych pozwalają na użycie innych znaków, w tym polskich liter "z ogonkami".
• Struktura programu rozdziela część deklaracyjną od wykonywalnej - tzn. po użyciu jakiejkolwiek instrukcji wykonywalnej, nie można już deklarować zmiennych, stałych itp.
• Do cytowania napisów (stałych tekstowych) można używać zarówno znaku cudzysłowu " jak i apostrofu '. Przy czym jeśli rozpoczęliśmy cytowanie jednym znakiem, to trzeba zamknąć je tym samym - dzięki temu bez problemu można umieścić w łańcuchu same znaki cytowania np. "User's guide" (ten sam efekt uzyskamy pisząc 'User''s guide').

Zmienne

Czym jest i do czego służy zmienna?

Zmienną w programie komputerowym można rozumieć jako twór, który na 2 cechy:

1. posiada unikalną nazwę (dzięki której można ją zidentyfikować)
2. posiada wartość, czyli porcję informacji (niskopoziomowo jest to ciąg bitów).

typ zmiennej

Typ zmiennej określa jej własności. Czy można porównać zmienną logiczną (prawda/ fałsz) ze zmienną tekstową? Czy liczba zmiennoprzecinkowa o podwójnej precyzji przechowa dobrze wartość 1.003? To zależy od typu zmiennej

Na typ zmiennej składają się

1. Zbiór wartości, jakie może przechować dany typ
2. Zbiór relacji, jakie może tworzyć dany typ z innymi typami
3. Zbiór operacji, jakie można wykonać na danym typie

Zmienna w pamięci komputera to ciąg bitów. Program musi wiedzieć, w jaki sposób ją traktować. Inaczej działa się na liczbach całkowitych a inaczej jest na liczbach zmiennoprzecinkowych.

Typy dzielą się na proste i złożone. Typ prosty przechowuje jedną wartość (np. jedna wartość całkowita).

Typ złożony określa zmienną, która może zawierać ma w sobie inne zmienne. W języku FORTAN77 taką wartością jest np. tablica. Jedna tablica może być ciągiem np. 100 wartości zmiennoprzecinkowych.

W nowszych standardach języka Fortran wprowadzono bardziej zaawansowane wersje typów złożonych. Do problematyki typów złożonych należy podchodzić z rozsądkiem. Zbyt "wybujałe" struktury danych zaczynają sprawiać problemy z ich zrozumieniem. Przeglądanie dużych, zaawansowanych struktur danych jest często mniej wydajne (pojawiają się dyskusje o wyższości FORTRAN77 nad Pythonem albo C++). Te problemy wynikają często z faktu, że w FORTRAN77 mamy proste tablice z jednym typem danych (np. tablica 1000 liczb jednego typu), natomiast w "nowoczesnym języku obiektowym" możliwe jest utworzenie np. tablicy 1000 obiektów. Każdy obiekt jest "autonomiczną" strukturą danych zawierającą zarówno dane jak i algorytmy działające na tych danych. Wtedy można zaprogramować "obliczanie", kiedy każde przetworzenie "nowoczesnego obiektu" wiąże się z wywołaniem metody dla danego obiektu. Każde wywołanie podprogramu wiąże się zwykle ze stratą ponad 100 taktów procesora. Rezultatem niepotrzebnego wywoływania tego samego algorytmu 1000 razy jest program obiektowy działający np. 100 razy wolniej od prymitywnego FORTRANA77.

Przykład. Można utworzyć tablicę 1000 liczb. chcemy podnieść je po kolei do kwadratu i zapisać w drugiej tablicy. W Fortranie 77 wystarczy jeden podprogram z pętlą. Przeglądamy całą tablicę, wykonujemy na każdej liczbie działanie i zapisujemy do drugiej tablicy. W wersji obiektowej możemy pożeglować do granic wyobraźni. Mamy 2 tablice obiektów. Jeden obiekt wykonuje metodę, aby wydać przechowywaną wartość. Drugi obiekt wykonuje działanie aby zapisać w sobie wczytaną wartość (uwzględniając podniesienie do potęgi).

Jednym z pierwszych zastosowań języków takich jak FORTRAN77 było robienie tabel funkcji. Tablice wystarczały do tego celu. Jedna tablica mogła przechowywać wartość dziedziny, druga - przeciwdziedziny. Coś, jakby x i f(x).

W takim duchu można traktować "starszy" standard FORTRAN77.

pamięć operacyjna w języku Fortran

Język Fortran jest językiem kompilowanym bezpośrednio do kodu maszynowego.

Standard FORTRAN77 nie przewiduje dynamicznego alokowania pamięci. Pamięć jest alokowana na stosie (np tablica statyczna).

Nowsze standardy języka Fortran posiadają możliwość dynamicznej alokacji pamięci na stercie. Zarządzanie pamięcią zależy od użytkownika. Programista może spróbować zaalokować pamięć na stercie. Jeżeli operacja się uda, wówczas programista wykonuje jakieś działania na niej, potem ją zwalnia i ok.

Język Fortran nie posiada mechanizmów odśmiecania, kontrolujących wykorzystywanie pamięci (w przeciwieństwie np. do języka Java). Spowodowane jest to tym, że obliczenia numeryczne zazwyczaj wymagają działania np. na dość dużych strukturach danych (pod względem rozmiaru), natomiast niezbyt złożonych pod względem różnorodności cech. Przykładem jest obliczanie rozkładu pola elektrostatycznego. Potencjał jest przechowywany w dość dużej tablicy (z punktu widzenia komputerów starszych generacji), ale zawierająca zmienne jednego typu.

Język FORTAN77 był tworzony w latach 50-tych, kiedy wyzwaniem było nawet określanie wzoru funkcji bez konieczności "ręcznego manipulowania" układami liczącymi ówczesnych "mózgów elektronowych". Pamięć była liczona w kilobajtach. Bajt nie zawsze miał 8 bitów.

Dla porównania, język Java powstawał na początki lat 90-tych XX wieku. Mechanizm "odśmiecania" miał polegać na tym, że programista jedynie tworzy nowe obiekty, natomiast program co jakiś czas zatrzyma swoje działanie i zaczyna "analizować", czy dany obiekt jest wykorzystywany, czy też nie. Piszący te słowa nie czuje się na siłach być sędzią. Należy jedynie zwrócić uwagę, że język Java jest niejednokrotnie stosowany do tworzenia "rosochatych" struktur obiektowych uruchamianych na wydajnych serwerach, natomiast osoby wykonujące obliczenia numeryczne stosują "tradycyjne" narzędzia, które robią to, co im się rozkarze.

Pamięć jest to nic innego, jak tylko ciąg bitów, które zależnie od interpretacji, mogą dla programu stanowić liczbę całkowitą, znak (jedną literkę), łańcuch (kilka literek) lub liczbę rzeczywistą (w notacji dziesiętnej z kropką). Aby wymusić interpretację ciągu bitów o określonej długości używamy tzw. typów zmiennej. Typ definiuje zwykle też długość zmiennej. Dzięki użyciu typów program wie, że np. zmienna x przechowuje jakąś liczbę całkowitą a zmienna y przechowuje liczbę rzeczywistą. Aby korzystać ze zmiennych musimy je uprzednio zadeklarować.

W nowszych standardach języka Fortran wykonuje się to w następujący sposób (według normy Fortran95):

  typ_zmiennej :: nazwa_zmiennej

lub (według standardu FORTRAN77) :

  typ_zmiennej nazwa_zmiennej

nazwy zmiennych

Nazwa zmiennej musi jak najwierniej opisywać obiektu rzeczywistego, który ta zmienna opisuje.

Zalecane nazwy zmiennych zależą od typu zmiennej.

1. zmienne liczbowej - można jej nadać formę orzekającą np. LICZBA_ELEKTRONOW, ZASIEG_RZUTU_KAMIENIA, PREDKOSC_SAMOLOTU_X.
2. zmienne logiczne - można np. DANE_SA_POPRAWNE, KONTYNUUJ_OBLICZENIA

Każda zmienna musi mieć dobrze opisane swoje znaczenie. Najlepiej na początku programu. Pozwala to uniknąć późniejszego zgadywania znaczenia zmiennej.

Każda zmienna powinna być używana zgodnie ze swoim przeznaczeniem. Wykorzystywanie jednej zmiennej przez różne elementy programu nie związane ze sobą powoduje problemy ze zrozumieniem działania programu.

Typy zmiennej

Typ zmiennej może odnosić się do różnego rodzaju danych, które mają być przechowywane w zmiennej.

Liczby

Typ zmiennej	Opis	Przykładowe wartości
integer	liczba całkowita	15, -6500, 200000000
real	liczba zmiennoprzecinkowa pojedynczej precyzji	3.1415, -5.5, .7e3, 12.5E-5
double precision	liczba zmiennoprzecinkowa podwójnej precyzji	3.1415D0, -5.5D0, .7d3, 12.5D-5
complex	liczby zespolone (kombinacja części rzeczywistej i urojonej)	(3.1415, -5.5), (1.4, 7.1E4)

Zmienne liczbowe mogą być podawane w różnych systemach liczbowych. Domyślnie przyjmowany jest dziesiętny, jednak, aby kompilator wiedział, że używasz innego systemu, przyjmuje się następujące założenia:

Zapis	System
Z"liczba" lub Z'liczba'	szesnastkowy
O"liczba" lub O'liczba'	ósemkowy
B"liczba" lub B'liczba'	binarny

Język Fortran dopuszcza także definiowanie przez programistę rozmiaru zmiennej. Uzyskuje się to poprzez dodanie w deklaracji zmiennej następującej konstrukcji:

real*4 nazwa_zmiennej

  lub

real   nazwa_zmiennej           -domyślny typ

  lub

real(kind=4)::nazwa_zmiennej

oznacza 4-bajtową liczbę rzeczywistą. Natomiast, aby uzyskać typ podwójnej precyzji używamy konstrukcji:

real*8 nazwa_zmiennej.

  lub

real(kind=8)::nazwa_zmiennej

w niektórych kompilatorach możemy uzyskać poczwórną precyzje.

real(kind=16)::nazwa_zmiennej

Wartości logiczne

Do przechowywania wartości logicznych także przeznaczono specjalny typ danych.

Typ	Opis	Możliwe wartości
logical	Przechowywanie wartości logicznej	.TRUE. lub .FALSE.

Znaki i łańcuchy

Przechowywanie pojedynczych znaków odbywa się przy pomocy typu CHARACTER. Natomiast deklarowanie łańcucha polega na dodaniu * oraz długości łańcucha (w znakach). Oznacza to, że aby przechować np. nazwę "pl.Wikibooks" musimy napisać tak:

character*12 :: nazwa="pl.Wikibooks"
print *, nazwa

Uwagi, dotyczące długości poszczególnych typów danych:

• dla typu integer możliwe jest zaalokowanie 1, 2, 4 lub 8 bajtów
• dla typu real odpowiednio 4 lub 8
• dla typu Complex 8 lub 16
• dla typu character nie ma ograniczeń długości

Stałe

Język Fortran umożliwia także deklarację zmiennych, których zawartości nie da się zmieniać. Są to tzw. stałe. Deklaruje się je podobnie do zmiennych, z tą jednak różnicą, że przy nazwie typu dodajemy słowo parameter. Dla standardu Fortran 95 wygląda to następująco:

   typ, parameter :: nazwa = wartość

Natomiast według Fortran 77 wygląda to tak:

  typ nazwa
  parameter (nazwa=wartość)

Uwaga: kompilator języka Fortran nie zasygnalizuje błędu, jeśli stałej w kodzie programu przypiszesz inną wartość! Np.

   integer, parameter :: p = 3
   print *, "p=",p
   parameter p = 9
   print *, "p=",p

Tablice

Czasami zdarza się, że potrzebujemy przechować więcej niż jedną wartość danego typu (np. real). Język Fortran umożliwia nam zestawianie kilku zmiennych w tzw. tablicę. Definiuje się ją następująco:

  typ zmienna(wymiar)

gdzie wymiar oznacza ilość zmiennych tego samego rodzaju. W tym przypadku będzie to tablica jednowymiarowa. Możemy jednak używać tablic wielowymiarowych, np. 2x2:

  real tablica(2,2)

Nie należy jednak definiować tablicy o zbyt dużej ilości wymiarów - niesie to ze sobą duże zużycie pamięci.

Sposoby deklaracji tablic

W przeciwieństwie do np. języka C, język Fortran umożliwia programiście deklarację tablicy na wiele różnych sposobów. Oto niektóre z nich:

Sposób pierwszy:

  real tablica(10)

Sposób drugi:

  real tablica 
  dimension tablica(10)

Sposób trzeci:

  integer index
  parameter (index=10)
  real tablica(index)

Sposób czwarty:

  real tablica(0:9)

W specyfikacji F95, deklaracja różni się tylko tym, że używany jest dwukropek (::).

Modyfikowanie zawartości tablicy

Aby zmodyfikować jakiś element tablicy, musimy znać jego położenie. Do tego celu służy tzw. indeks. Aby zmodyfikować pierwszy i drugi element tablicy piszemy:

  tablica(1) = 0.4
  tablica(2) = 0.3

Odczyt zawartości jakiegoś elementu tablicy dokonuje się w analogiczny sposób:

  print *, "Tablica[1]=", tablica(1)

Instrukcje sterujące

Logika

Na początku warto zastanowić się, na podstawie czego komputer może podejmować decyzję. Zwykle odbywa się to na podstawie jednej z dwóch wartości - prawdy, oznaczanej w Fortranie jako .TRUE. oraz fałszu, oznaczanego jako .FALSE.. Mamy również pewien zbiór operacji logicznych. Oto one:

operacja	nazwa
.NOT.	negacja
.AND.	koniunkcja
.OR.	alternatywa
.EQV.	równoważność
.NEQV.	zaprzeczenie równoważności, alternatywa wykluczająca

Działanie tych operatorów najlepiej zademonstruje ta tabelka:

A	B	.NOT. A	A .AND. B	A .OR. B	A .EQV. B	A .NEQV. B
.TRUE.	.TRUE.	.FALSE.	.TRUE.	.TRUE.	.TRUE.	.FALSE.
.TRUE.	.FALSE.	.FALSE.	.FALSE.	.TRUE.	.FALSE.	.TRUE.
.FALSE.	.TRUE.	.TRUE.	.FALSE.	.TRUE.	.FALSE.	.TRUE.
.FALSE.	.FALSE.	.TRUE.	.FALSE.	.FALSE.	.TRUE.	.FALSE

Porównując dwie liczby możemy np. ocenić ich wzajemną relację, tzn. czy liczba a jest większa, mniejsza a może równa. W języku Fortran możemy do tego celu użyć dwóch grup operatorów. Jedna grupa znana jest zapewne programistom, tworzącym swe programy w językach C oraz Pascal (tzn. >, <, = (lub == w C), >=, <=). Oprócz nich w języku Fortran możemy także używać:

operator	opis
.LT.	ang. less than - inaczej <
.LE.	ang. less equal - inaczej <=
.GT.	ang. greater than - inaczej >
.GE.	ang. greater equal - inaczej >=
.EQ.	ang. equal - inaczej == (lub = w Pascalu)
.NE.	ang. not equal - inaczej != (lub <> w Pascalu)

GOTO

Jest to pierwsza instrukcja, jaką poznasz. Jezyk Fortran dawniej wręcz wymuszał użycie konstrukcji GOTO. Aż do wersji Fortranu 66 brakowało konstrukcji pętli WHILE. Trzeba było sobie radzić przez skok do początku refrenu pętli właśnie za pomocą konstrukcji GOTO. W Fortranie 77 wystąpienie błędu operacji wejścia/wyjścia powoduje skok do wskazanego miejsca w programie.

Jedyną zaletą instrukcji GOTO jest możliwość dowolnego kształtowania przebiegu sterowania w programie. Niestety odbywa się to prawie zawsze kosztem czytelności kodu. Konstrukja GOTO powinna być stosowana z umiarem, aby nie stracić kontroli nad rozumieniem programu.

Czytając wprowadzenie do tego podręcznika zapamiętałeś (a jeśli nie, to masz tutaj link), że w języku Fortran (do wersji 77 włącznie) ma znaczenie liczba spacji. Wiesz także, że pierwsze 1-5 spacji przeznaczone jest na pewną liczbę z zakresu od 1 do 99999. Owe liczby nie są tylko po to, aby numerować linijki kodu źródłowego (zresztą i tak czasami byłoby ich za mało). Oznaczają one mniej więcej to, co etykiety w języku C. To dzięki nim możemy określić punkt w kodzie programu, do którego możemy potem "przeskoczyć". Do "skakania" po kodzie programu służy instrukcja GOTO. Oto przykład użycia:

 program skok
   goto 10
   write (*,*) "Skakanka..."
10 continue
end program skok

Efekt działania tego programu jest oczywisty... program po prostu zakończy swe działanie. W kodzie programu została także użyta instrukcja CONTINUE, która powoduje po prostu dalsze wykonywanie programu.

IF

Nasz program powinien mieć możliwość reagowania na zawartość np. zmiennych. Przyjrzyjmy się zatem instrukcji IF. Służy ona do zdefiniowania czynności, które mają być wykonane w momencie prawdziwości jakiegoś warunku. Użycie instrukcji IF wygląda mniej więcej tak:

  IF (warunek) instrukcje do wykonania

Ważne jest przy tym, aby instrukcje te były wpisane w tej samej linijce, co IF - w przeciwnym wypadku kompilator zasygnalizuje błąd.

IF - THEN

Jedna linijka to mało. Czasami potrzebujemy wykonać tak dużo instrukcji, że po prostu nie zmieszczą się w jednej linijce. Do tego celu powstała konstrukcja IF - THEN. Ogólnie rzecz biorąc jej zastosowanie wygląda tak:

 IF (warunek) THEN
   instrukcje do wykonania
 END IF

IF - THEN - ELSE

W tworzeniu programu zdarzają się też przypadki, w których program powinien zareagować także na sytuację przeciwną do warunku. Wtedy z pomocą przychodzi konstrukcja IF - THEN - ELSE:

 IF (warunek) THEN
   instrukcje do wykonania
 ELSE
   instrukcje do wykonania w przeciwnym wypadku
 END IF

SELECT - CASE

Jeśli musimy zareagować na większą ilość warunków, to zamiast powtarzać konstrukcję if-else lepiej użyć select-case. Użycie tej konstrukcji jest bardzo proste:

 select case (wyrażenie)
               case (warunek1)
                 instrukcje do wykonania w przypadku wyrażenie == warunek1
               case (warunek2) 
                 instrukcje do wykonania w przypadku wyrażenie == warunek2
               [case default
                 instrukcje do wykonania w innych przypadkach ]
 end select 

Zastosowanie tej pętli w praktyce jest bardzo proste. Przeanalizujmy następujący przykład:

 program test
   implicit none
 
   integer :: i
   i = 123
   select case (i)
         case (123, 125)
            print *, "i=123 lub i=125"
         case (10:30)
            print *, "i zawiera się w przedziale od 10 do 30"
         case default
            print *, "inny przypadek"
   end select
 
 end program test

Pętle

Może się zdarzyć, że w twoim programie jakaś czynność (bądź kilka czynności) będzie musiała być wykonana kilka razy pod rząd. Oczywiście nie ma sensu kilka razy kopiować i wklejać tego samego kodu. W takich przypadkach z pomocą przychodzą nam pętle. Pętla jest to instrukcja, która umożliwia wielokrotne powtarzanie tego samego kodu. W języku Fortran wyróżnia się kilka rodzajów pętli. Zostaną one omówione poniżej.

do

Najprostszą pętlą jest pętla do. Wygląda ona tak:

  [nazwa] do zmienna=wartość początkowa, wartość końcowa [,skok co]
    instrukcje
  end do [nazwa]

Aby np. policzyć do dziesięciu, licząc po dwa możemy napisać coś takiego:

  do i=0, 10, 2
    print *, "Doliczyłem do ",i
  end do

Jak widzisz, nie musisz wcześniej deklarować zmiennej i. Kompilator automatycznie użyje typu integer. Minusem tej pętli jest to, że krokiem może być tylko liczba całkowita. Za to wielkim plusem jest automatyczne sprawdzanie zakresów. Np. pisząc pętlę od 0 do 10 z krokiem 3 ostatnią wartością będzie 9.

do-if-exit

Pętla ta wykonuje się w nieskończoność, dopóki nie wystąpi instrukcja exit. Instrukcja ta jest zwykle efektem spełnienia jakiegoś warunku. Zwykle wygląda to tak:

 [nazwa] do
    instrukcje
    if (warunek logiczny) exit
    instrukcje
 end do [nazwa]

W przeciwieństwie do pętli omówionej powyżej, możemy tutaj użyć typu real jako licznika. Oto przykład:

 real :: p=0
   do
     p = p+0.5
     if (p>10) exit
     print *, "A teraz jest: ",p
   end do

Podstawowe działania matematyczne

Operatory matematyczne

Język Fortran posiada specjalną grupę operatorów, które służą tylko do działań matematycznych. Są to m.in.:

operator	działanie
+	dodawanie
-	odejmowanie
*	mnożenie
/	dzielenie
**	potęgowanie

Oprócz nich, w skład specyfikacji języka Fortran wchodzą także funkcje matematyczne, które zostaną omówione poniżej.

ABS

Oblicza wartość bezwzględną z danej liczby. Przykład użycia:

  program abcd
    real :: x
    x = abs (-0.45)
    print *, "|-0.45|=",x
  end program abcd

ACOS

Jest to instrukcja, obliczająca wartość arcus cosinus dla podanego argumentu. Funkcja zwróci wynik w radianach. Przykład użycia:

 program abc
   real :: x
   x = acos (0.9)
   print *, "arccos(0.9)=",x
 end program abc

dACOS

Jest to instrukcja, obliczająca wartość arcus cosinus z liczby o podwójnej precyzji dla podanego argumentu. Funkcja zwróci wynik o podwójnej precyzji w radianach. Przykład użycia:

 program Dabc
   real (kind=8):: x,a
   a=0.9
   x = dacos (a)
   print *, "arccos(0.9)=",x
 end program Dabc

dACOSd

Jest to instrukcja, obliczająca wartość arcus cosinus z liczby o podwójnej precyzji dla podanego argumentu. Funkcja zwróci wynik o podwójnej precyzji w stopniach. Przykład użycia:

 program Dabcd
   real (kind=8):: x,a
   a=0.9
   x = dacosd (a)
   print *, "arccos(0.9)=",x,stopnie'
 end program Dabcd

Procedury i funkcje

Tworząc programy niejednokrotnie zdarzy Ci się powtarzać kilkakrotnie ten sam fragment kodu. Będzie on dotyczył różnego rodzaju czynności. Może także się zdarzyć, że będziesz potrzebował użyć języka Fortran w projekcie, który będzie tworzony przy użyciu języka C. W podobnych przypadkach użyjesz funkcji. Funkcję można zdefiniować jako wydzielony fragment programu wyspecjalizowany do wykonywania określonej czynności. W tytule tego rozdziału zostało także użyte słowo procedura. Jest to z kolei pewien przypadek funkcji, kiedy nie zwraca ona żadnej wartości – np. wyniku obliczeń. Różni się ona przy tym sposobem deklaracji oraz wywołania.

Korzystanie z funkcji

Ucząc się trudnej sztuki programowania z tego podręcznika spotkałeś się już z funkcjami. Dobrym przykładem mogą tu być funkcje write oraz print, które służą do obsługi wyjścia programu. Funkcję wywołuje się w następujący sposób (elementy w nawiasach kwadratowych są nieobowiązkowe):

  [zmienna =] nazwa_funkcji([argumenty funkcji])

W języku Fortran istnieje także możliwość przypisania funkcji pewnej wartości i korzystania z niej jako ze zmiennej. Oto jej deklaracja:

  nazwa_funkcji([argumenty funkcji]) = wartość

Deklarowanie funkcji

W języku Fortran funkcję definiuje się w sposób następujący:

  [typ danych] FUNCTION nazwa_funkcji ([argumenty funkcji])
    instrukcje...
  END

Zwracanie wartości

W przeciwieństwie do np. C, w Fortranie wartość, która ma zostać zwrócona, jest przypisywana nazwie funkcji. Natomiast słowo RETURN powoduje natychmiastowe wyjście z funkcji. Wygląda to mniej więcej tak:

  real function kwadrat (a)
     real, intent(in) :: a
     kwadrat = a**2
     return
  end function

Funkcja rekurencyjna

W języku Fortran stworzenie funkcji rekurencyjnej nie jest takie proste, a dodatkowo nie jest zgodne ze standardem f77. Aby funkcja mogła wywołać samą siebie, musimy użyć słowa recursive:

  recursive function nazwa
    nazwa()
  end function nazwa

Procedura

Oprócz funkcji, wyróżniamy jeszcze procedurę. Definiuje się ją tak:

  subroutine nazwa_procedury ([argumenty])
    instrukcje
    [return]
  end subroutine nazwa_procedury

Aby wywołać procedurę, musisz użyć instrukcję call:

  call nazwa_procedury ([argumenty])

Podstawowe operacje wejścia i wyjścia

Język Fortran posiada własne mechanizmy zarządzania wejściem i wyjściem. W przeciwieństwie do języków niskopoziomowych nie korzysta bezpośrednio z zestawu funkcji dostarczanych przez system operacyjny. Dlatego też w Fortranie samemu można definiować takie elementy, jak np. uchwyt pliku, który w innych językach (np. C) otrzymuje się od funkcji otwierającej plik.

Podstawowe funkcje

open

Aby móc wykonywać jakiekolwiek operacje na pliku (np. odczytywanie lub zapis do pliku), musimy go najpierw otworzyć, czyli powiadomić system operacyjny komputera, że dany plik będzie używany przez nasz program. W języku Fortran otwarcie pliku wiąże się także z przypisaniem mu identyfikatora (czyli dodatniej liczby całkowitej), który posłuży do identyfikacji pliku w kodzie programu. Otwarcie pliku może nastąpić także z różnymi opcjami. Na przykład, jeśli chcemy tylko odczytywać dane z pliku, to nasz plik powinien zostać otwarty w trybie tylko do odczytu (ro, read only).

Język Fortran do otwierania plików korzysta z funkcji open. Najogólniej dany plik można otworzyć tak:

  open (20, file="sciezka/nazwa_pliku", iostat=stat)

Takie wywołanie funkcji oznacza „otwórz plik 'sciezka/nazwa_pliku' i nadaj mu identyfikator 20”. Od tego momentu funkcje odczytujące i zapisujące dane do pliku mogą korzystać z pliku.

Odnajdowanie błędów

ftnchek

Jednym z użytecznych programów do odnajdowania błędów w kodzie napisanym w języku Fortran jest program ftnchek.

Dla przykładu sprawdźmy plik test.f:

       program test
       call nie_ma(0.4)
       print*,'zapomnialem ostatni apostrof
       end

komenda

ftnchek test.f

daje następującą informację:

FTNCHEK Version 3.3 November 2004

File test.f:
     3         print*,'zapomnialem ostatni apostrof
                                                    ^
Error near line 3 col 46 file test.f: Closing quote missing from string

1 syntax error detected in file test.f

Warning: Subprogram NIE_MA never defined
   Invoked in module TEST line 2 file test.f

Pokazuje on jeden błąd w linii 3 w kolumnie 46 (brakuje apostrof (quote)), i uważa, że subroutine nie_ma (lub NIE_MA) nie jest zdefiniowany.

Linki zewnętrzne

• źródła ftnchek

Iloczyn macierzy

Poniższy program w FORTRAN-77 sprawdza wymiary macierzy, następnie, jeżeli wymiary macierzy umożliwiają wykonanie operacji mnożenia, pobiera od użytkownika zawartość macierzy i wyświetla macierz będącą iloczynem wprowadzonych macierzy.

     PROGRAM iloczyn macierzy
     REAL A(10,10), B(10,10), C(10,10)
     INTEGER Aw,Ak,Bw,Bk,Cw,Ck,i,j,k
     PRINT *,'Wprowadz wymiary macierzy A (w,k)'
     READ *,Aw,Ak
     PRINT *,'Wprowadz wymiary macierzy B (w,k)'
     READ *,Bw,Bk
     IF (Ak.NE.Bw) THEN
     PRINT *,'Nie zgadzaja sie wymiary macierzy'
     STOP
     ENDIF
     
     Cw=Aw
     Ck=Bk
     
     PRINT *,'Wprowadz wiersze macierzy A'
     DO i=1,Aw
     READ *,(A(i,j),j=1,Ak)
     ENDDO
     
     PRINT *,'Wprowadz wiersze macierzy B'
     DO i=1,Bw
     READ *,(B(i,j),j=1,Bk)
     ENDDO
     
     DO i=1,Cw
       DO j=1,Ck
         C(i,j)=0
         DO k=1,Ak
          C(i,j)=C(i,j)+A(i,k)*B(k,j)
         ENDDO
       ENDDO
     ENDDO
     
     
     PRINT *,'Macierz wynikowa  ='
     DO i=1,Cw
     PRINT *,(C(i,j),j=1,Ck)
     ENDDO
     
     END

Metoda najmniejszych kwadratów

Poniższy program w FORTRAN-77 przybliża punkty pomiarowe prostą o równaniu y = ax + b wyliczając wartości współczynników a i b oraz ich niepewności.

     PROGRAM metoda_najmniejszych_kwadratow
     
     REAL x(20), y(20), a, b, xSredn, D, 
    1      yDelta, aDelta, bDelta
     INTEGER n
 
     PRINT *, 
     PRINT *, 
     PRINT *, 'Program dopasowuje prosta do zbioru punktow'
     PRINT *, 'doswiadczalnych wykorzystujac metode najmniejszych'
     PRINT *, 'kwadratow, ponadto oblicza odchylenia standardowe'
     PRINT *, 'obydwu parametrow prostej.'
     PRINT *, 
 
     PRINT *, 'Wprowadz liczbe punktow dosw. (min=3,maks=20)..'
     READ *, n
     IF ( (n.GT.20) .OR. (n.LT.3) ) THEN
       PRINT *, 'Liczba spoza zakresu !!'
       STOP
     ENDIF
 
     PRINT *, 'Wprowadz wspolrzedne punktow (na przemian: odcieta'
     PRINT *, 'i rzedna oddzielone spacja lub ENTER bez nawiasow'
     PRINT *, 'i przecinkow, wartosci calkowite od dziesietnych'
     PRINT *, 'oddzielone kropka)...'
     READ *, (x(i), y(i), i=1, n)      
 
     xSredn=0
     DO i=1, n
       xSredn = xSredn + x(i)
     ENDDO
     xSredn = xSredn / n
     
     D=0
     DO i=1, n
       D = D + ( x(i) - xSredn )**2  
     ENDDO
     IF (D.EQ.0) THEN
       PRINT *, 'Wprowadzone punkty sugeruja, ze szukana prosta'
       PRINT *, 'bedzie rownolegla do osi Oy, co uniemozliwia'
       PRINT *, 'obliczenie wartosci wspolczynnikow a i b rownania.'
       STOP
     ENDIF
  
     a=0
     DO i=1, n
       a = a + y(i) * ( x(i) - xSredn )
     ENDDO
     a = a / D
 
     b=0
     DO i=1, n
       b = b + ( y(i) - a*x(i) )
     ENDDO
     b = b / n
 
     yDelta = 0
     DO i=1, n
       yDelta = yDelta + ( y(i) - a*x(i) - b )**2
     ENDDO
     yDelta = yDelta / (n-2)
     yDelta = SQRT(yDelta)
 
     aDelta = yDelta / SQRT( D )
     bDelta = yDelta * SQRT( 1/n + (xSredn**2)/D )
 
     PRINT *, 'Wprowadzone punkty najlepiej przybliza prosta:' 
     PRINT *, '     y =', a, ' x +', b, '  ,'
     PRINT *, 'przy czym bledy wspolczynnikow a i b maja wartosc odp.:'
     PRINT *, '     ', aDelta, '  ,  ', bDelta
 
 
     END

Indeksowanie tabel

W językach C oraz Fortran tabela jest spójnym obszarem pamięci przechowującym "szereg" elementów o jednakowym typie (i rozmiarze).

Aby uzyskać dostęp do elementu w tablicy (odczyt / zapis wartości) w językach C oraz Fortran stosowane są różne strategie.

Tablice alokowane statycznie (na stosie)

Jeżeli w kodzie programu jest zdefiniowana tablica (jedno lub wielowymiarowa), wówczas podczas uruchamiania programu tablica ta jest alokowana na stosie.

Uzyskanie dostępu do elementów tablicy jest możliwe dzięki indeksom. Tablica jednowymiarowa ma jeden indeks, natomiast tablica wielowymiarowa ma kilka indeksów (w zależności od wymiaru tablicy).

Tablice jednowymiarowe

W języku C tablica jednowymiarowa jest zawsze indeksowana od zera do wartości (rozmiar_tablicy - 1). Poniżej zamieściłem przykładowy program w języku ANSI C, gdzie podczas wywoływania programu głównego (funkcja main) na stosie jest alokowana tablica statyczna o zadanym rozmiarze (TAB_SIZE). Następnie tablica ta jest wypełniana w pętli for. Dostęp do elementów tablicy możliwy jest dzięki indeksowi i. Dla pierwszego elementu tablicy indeks ten ma wartość 0, dla drugiego elementu wartość 1 itd. Druga pętla wypisuje na ekranie zawartość wypełnionej tablicy.

/* bilioteka do komunikacji z uzytkownikiem */
#include "stdio.h"

/* rozmiar tablicy zdefiniowany "na sztywno" (makro preprocesora) */
#define TAB_SIZE 10

/* program glowny */
int main(void)
{
    /*w języku ANSI C najpierw są definicje zmiennych a potem instrukcje */

    /* definicja naszej tablicy przechowującej liczby całkowite o rozmiarze TAB_SIZE */
    int tab[TAB_SIZE];

    /* definicja indeksu wykorzystywanego przy operacjach na tablicy */
    unsigned int i = 0;

 
    /* teraz będą instrukcje */

    printf("Program testujący wypełnianie tablicy i wypisujący jej zawartosc.\n");
   
    /* wypełnienie tablicy wartościami 0 .. (TAB_SIZE -1) */

    printf("Wypełnianie tablicy...");

    /* trawersowanie tablicy */
    for(i = 0; i < TAB_SIZE; i++)
    {
       /* Wypełnienie tablicy wartościami równymi wartościom indeksu */
      tab[i] = i;
    }
    /* teraz już tablica została wypełniona*/
   printf("ok\n");

    /* wypisanie zawartości tablicy */

    printf("Wyswietlanie zawartosci tablicy...\n");

    /* trawersowanie tablicy */
    for(i = 0; i < TAB_SIZE; i++)
    {
        /* wypisanie wartości przechowywanej w tablicy */
        printf("tab[%u] == %d\n", i, tab[i]);
    }
    /* teraz już tablica została wyświetlona */
   
    printf("Wyswietlanie zakonczono.\n");

    printf("Koniec programu.\n");

    return 0;
}/* main */

Wynik działania programu:

Program testujący wypełnianie tablicy i wypisujący jej zawartosc.
Wypełnianie tablicy...ok
Wyswietlanie zawartosci tablicy...
tab[0] == 0
tab[1] == 1
tab[2] == 2
tab[3] == 3
tab[4] == 4
tab[5] == 5
tab[6] == 6
tab[7] == 7
tab[8] == 8
tab[9] == 9
Wyswietlanie zakonczono.
Koniec programu.

W języku Fortran tablica jednowymiarowa jest indeksowana domyślnie od jednego. Może być też indeksowana od dowolnej liczby całkowitej (nawet ujemnej). Oczywiście w sensownym zakresie wartości. Na angielskojęzycznej wersji Wikibooks (Fortran 77 Tutorial) są dostępne przykłady takiego indeksowania.

Poniżej napisałem "mini -przykład" (skompilował się na gfortran, więc może jako tako). Tablica WEIRD jest indeksowana od -4 do +5. Dostęp do elementów tablicy jest realizowany przy pomocy indeksu I. Tablica jest wypełniana w pętli DO. Kolejna pętla DO wyświetla zawartość tablicy. Wyświetlanie mieszaniny tekstu i sformatowanych liczb jest realizowane przy pomocy formatu pod etykietą 900.

      PROGRAM P1

      IMPLICIT NONE

      REAL    WEIRD(-4:5)
      INTEGER I
      INTEGER N1
      INTEGER N2

      N1 = -4
      N2 = +5
    
      WRITE(*,*) 'WYPELNIANIE TABLICY WEIRD WARTOSCIAMI I * 10.0 ...'

      DO 100 I = N1, N2
         WEIRD(I) = I * 10.0
100   CONTINUE

      WRITE(*,*) 'OK'


      WRITE(*,*) 'WYPISYWANIE TABLICY WEIRD...'

      DO 200 I = N1, N2
         WRITE(*,900) I, WEIRD(I)
200   CONTINUE

      WRITE(*,*) 'ZAKONCZONO'

      WRITE(*,*) 'KONIEC PROGRAMU'


900   FORMAT('WEIRD(', I2, ')  = ', F6.2)

      ENDPROGRAM P1

Wynik działania programu:

 WYPELNIANIE TABLICY WEIRD WARTOSCIAMI I * 10.0 ...
 OK
 WYPISYWANIE TABLICY WEIRD...
WEIRD(-4)  = -40.00
WEIRD(-3)  = -30.00
WEIRD(-2)  = -20.00
WEIRD(-1)  = -10.00
WEIRD( 0)  =   0.00
WEIRD( 1)  =  10.00
WEIRD( 2)  =  20.00
WEIRD( 3)  =  30.00
WEIRD( 4)  =  40.00
WEIRD( 5)  =  50.00
 ZAKONCZONO
 KONIEC PROGRAMU

Tablice wielowymiarowe

Tablice wielowymiarowe wykorzystują kilka indeksów. Pomiędzy językiem C a Fortranem istnieje różnica.

Jak już napisałem, w programie tablica jest przedstawiona jako struktura, gdzie położenie komórki może zostać wyznaczone przez podanie jej indeksów. Dla tablicy 2 wymiarowej będą to indeksy rzędu i kolumny. W przypadku tablicy 3 wymiarowej będą to indeksy rzędu, kolumny i warstwy.

W zasadzie sposób indeksowania tablicy mógłby być kwestią "formalną" (zależną od jakiejś specyfikacji, standardu). Jest tylko jeden aspekt związany z wydajnością programu. We współczesnych komputerach jednym z podstawowych problemów natury technicznej jest szybkość przekazywania danych pomiędzy rozmaitymi podzespołami. Np. pomiędzy procesorem CPU a pamięcią RAM. To dlatego obecnie procesory posiadają rozmaite pamięci podręczne (np. cache L1, L2, L3). Jeżeli procesor będzie mógł efektywnie wykorzystywać te pamięci, wówczas wydajność aplikacji wzrośnie.

Skupię się na przypadku tablicy przechowującej proste typy danych (np. liczby o podwójnej precyzji). Jeżeli mamy taką tablicę i chcemy wykonywać na niej stosunkowo szybkie operacje, to czas dostępu do pojedynczych elementów może być sprawą ważną. Np. chcemy wyznaczyć średnią arytmetyczną liczb rzeczywistych przechowywanych w tablicy. Operacja dodawania jest wykonywana bardzo szybko, natomiast sięganie do pamięci RAM może zająć ponad 100 taktów procesora (obecnie pewnie jest jeszcze inaczej). Z tego powodu współczesne komputery posiadają funkcjonalność "prefetch" - ładowanie z wyprzedzeniem. Jeżeli kompilator "widzi", że program chce przetwarzać komórki tabeli leżące w pamięci tuż obok siebie, to może efektywniej ładować te dane do pamięci cache procesora (zawczasu). Pozwala to osiągnąć maksymalną wydajność. Generalnie są to sprawy związane z wewnętrznymi układami sterującymi procesorem. Procesorowi łatwiej jest optymalnie wypełnić pamięci cache, jeżeli ma kilka tablic danych "prostych", niż np. jedną tablicę danych złożonych (np. rekord, struktura, obiekt). Zmiana sposobu organizacji pamięci może istotnie wpłynąć na wydajność aplikacji.

W języku C tablice są indeksowane "wierszowo". W każdym wierszu tabeli komórki sąsiadują ze sobą (pod katem posiadanego adresu w pamięci). Jeżeli chcemy szybko przetworzyć tablicę dwuwymiarową, to najefektywniejsze powinno być pobieranie danych wierszami. Generalnie chodzi o "ostatni z indeksów komórki".

Czyli trawersowanie takiej tablicy w C powinno przebiegać następująco. Pętla zewnętrzna przetwarza rzędy. Pętla wewnętrzna przetwarza dany rząd. W przypadku tablicy 3 wymiarowej na samym początku byłaby jeszcze pętla przetwarzająca warstwy.

W języku Fortran tablice są indeksowanie w sposób odmienny. To właśnie "pierwszy z indeksów komórki" (wiersz) wskazuje na grupę komórek sąsiadujących ze sobą ("adresowo"). Zatem "wydajne" trawersowanie tablicy w Fortranie powinno przebiegać następująco. Pętla zewnętrzna wskazuje na kolejne kolumny. Pętla wewnętrzna przetwarza daną kolumnę (iteracja po wierszach przy ustalonej kolumnie). W przypadku tablicy 3-wymiarowej na samym końcu byłby jeszcze indeks wskazujący na warstwę.

Zagadnienie indeksowania jest także ważne w przypadku łączenia ze sobą kodu w różnych językach programowania (np. Fortran i C). W praktyce konieczne jest uwzględnienie kolejności indeksów.

Przykład wzorowany na dokumentacji programu VisItusers.org (C vs Fortran memory order). Demonstruje analogie pomiędzy reprezentacją tablicy statycznej w Fortranie i C. Mamy tablicę 3D o wymiarach NX, NY,NZ. Można utożsamić NX z indeksem kolumny, NY - z adresem wiersza i NZ - z numerem warstwy. Tablica jest zdefiniowana jako VALUES(NX,NY,NZ). Pierwszy indeks (NX) jest przetwarzany w pętli "wewnętrznej". Drugi (NY) w pętli "środkowej", a trzeci (NZ) w pętli "zewnętrznej". Takie przetwarzanie tabeli powoduje ładowanie całego bloku pamięci bez "skakania po indeksach". Tablica jest obszarem pamięci o kolejno rosnących adresach elementów. Przy pomocy wywołania funkcji w C można sprawdzić, że te kolejne (według rosnących adresów w pamięci komputera) komórki pamięci przechowują kolejno rosnące wartości.

Program wypełnia tablicę kolejno rosnącymi wartościami i wyświetla je na ekranie. Indeks NX można utożsamiać z

      PROGRAM P2

      IMPLICIT NONE

      INTEGER NX
      INTEGER NY
      INTEGER NZ
      
      PARAMETER (NX = 3)
      PARAMETER (NY = 4)
      PARAMETER (NZ = 5)

      INTEGER VALUES(NX,NY,NZ)

      INTEGER I
      INTEGER J
      INTEGER K
      INTEGER SIZE
      INTEGER INDEX
 
      SIZE = NX*NY*NZ

      INDEX = 0


      DO 30 K=1, NZ

        DO 20 J=1, NY

          DO 10 I=1, NX

            VALUES(i,j,k) = INDEX
            INDEX = INDEX + 1

10        CONTINUE
20      CONTINUE
30    CONTINUE
 

      DO 60 K=1, NZ

        WRITE(*,700) K

        DO 50 J=1, NY
          
          WRITE(*,800) J

          DO 40 I=1, NX
            
            WRITE(*,*) VALUES(i,j,k)
            
40        CONTINUE
50      CONTINUE
60    CONTINUE

 
      STOP

700   FORMAT('====WARSTWA ', I1)
800   FORMAT('    KOLUMNA ', I1)

      ENDPROGRAM P2

W przypadku języka C w deklaracji takiej tablicy indeksy musiałyby być zapisane w odwrotnej kolejności (indeks i (od 0 do (NX-1)) z prawej strony, 'ostatni').

/*parametry NZ, NY, NX muszą być zdefiniowane. (np makra preprocesora)*/

int index = 0;

/* definicja tablicy */
int values[NZ][NY][NX];

/* przetwarzanie tablicy */
for(k = 0; k < NZ; ++k)
{
    for(j = 0; j < NY; ++j)
    {
        for(i = 0; i < NX; ++i)
        {
            values[k][j][i] = index++;
        }
    }
}

Tablice alokowane dynamicznie (na stercie)

W języku C dynamiczna alokacja pamięci polega na alokacji segmentu pamięci o rozmiarze n elementów określonego typu składowego. Np. 24 elementów typu int. Dostęp do elementów tablicy jest realizowany poprzez wskaźnik. Możemy sobie np. wyobrazić, że taki obszar pamięci przechowuje 4 wierszy po 6 elementów typu int (4 wiersze po 6 kolumn). Pierwsze 6 elementów tego bloku pamięci będzie odpowiadało pierwszemu wierszowi, kolejne 6 elementów będzie odpowiadało drugiemu wierszowi itd. Warto to rozrysować na kartce w kratkę. Reprezentacja pamięci w komputerze jest zawsze "liniowa". Indeksowanie jest sprawą "trochę umowną". Co ciekawe, taką "tablicę 2D" można narysować w konfiguracji "pierwszy wiersz umieszczony najniżej" lub też "pierwszy wiersz umieszczony najwyżej".

Inne dialekty języka Fortran

FORTRAN-77

W języku FORTRAN 77 i wcześniejszych, pozycja znaku w lini kodu wpływała na jego znaczenie. Instrukcje języka umieszczano między 7 a 72 kolumną. Zatem program hello.f (zwróć uwagę na rozszerzenie) będzie wyglądał tak:

C To jest program przykładowy w FORTRAN-77  
      program hello
        write (*,*) "Hello world"
      end program hello

Uwaga - znaki odstępu (spacje) na początku linijki kodu mają znaczenie! Kompilacja i uruchomienie wygląda tak:

gfortran hello.f -o hello
./hello

Oto ściąga, która wyjaśnia co oznaczają odpowiednie odstępy:

Odległość (w spacjach)	Zawartość	Znaczenie
1	znak C lub *	Komentarz, lub kontynuacja komentarza
1 do 5	liczba pomiędzy 1 do 99999	numer linijki (działa jako etykieta w instrukcji skoku)
6		wyrażenia, rozpoczynające określony blok kodu
7 do 72	różne wyrażenia	instrukcje Fortranu
73 do 80		komentarz

Licencja

Version 1.2, November 2002

Copyright (C) 2000,2001,2002  Free Software Foundation, Inc.
51 Franklin St, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301  USA
Everyone is permitted to copy and distribute verbatim copies
of this license document, but changing it is not allowed.

0. PREAMBLE

The purpose of this License is to make a manual, textbook, or other functional and useful document "free" in the sense of freedom: to assure everyone the effective freedom to copy and redistribute it, with or without modifying it, either commercially or noncommercially. Secondarily, this License preserves for the author and publisher a way to get credit for their work, while not being considered responsible for modifications made by others.

This License is a kind of "copyleft", which means that derivative works of the document must themselves be free in the same sense. It complements the GNU General Public License, which is a copyleft license designed for free software.

We have designed this License in order to use it for manuals for free software, because free software needs free documentation: a free program should come with manuals providing the same freedoms that the software does. But this License is not limited to software manuals; it can be used for any textual work, regardless of subject matter or whether it is published as a printed book. We recommend this License principally for works whose purpose is instruction or reference.

1. APPLICABILITY AND DEFINITIONS

This License applies to any manual or other work, in any medium, that contains a notice placed by the copyright holder saying it can be distributed under the terms of this License. Such a notice grants a world-wide, royalty-free license, unlimited in duration, to use that work under the conditions stated herein. The "Document", below, refers to any such manual or work. Any member of the public is a licensee, and is addressed as "you". You accept the license if you copy, modify or distribute the work in a way requiring permission under copyright law.

A "Modified Version" of the Document means any work containing the Document or a portion of it, either copied verbatim, or with modifications and/or translated into another language.

A "Secondary Section" is a named appendix or a front-matter section of the Document that deals exclusively with the relationship of the publishers or authors of the Document to the Document's overall subject (or to related matters) and contains nothing that could fall directly within that overall subject. (Thus, if the Document is in part a textbook of mathematics, a Secondary Section may not explain any mathematics.) The relationship could be a matter of historical connection with the subject or with related matters, or of legal, commercial, philosophical, ethical or political position regarding them.

The "Invariant Sections" are certain Secondary Sections whose titles are designated, as being those of Invariant Sections, in the notice that says that the Document is released under this License. If a section does not fit the above definition of Secondary then it is not allowed to be designated as Invariant. The Document may contain zero Invariant Sections. If the Document does not identify any Invariant Sections then there are none.

The "Cover Texts" are certain short passages of text that are listed, as Front-Cover Texts or Back-Cover Texts, in the notice that says that the Document is released under this License. A Front-Cover Text may be at most 5 words, and a Back-Cover Text may be at most 25 words.

A "Transparent" copy of the Document means a machine-readable copy, represented in a format whose specification is available to the general public, that is suitable for revising the document straightforwardly with generic text editors or (for images composed of pixels) generic paint programs or (for drawings) some widely available drawing editor, and that is suitable for input to text formatters or for automatic translation to a variety of formats suitable for input to text formatters. A copy made in an otherwise Transparent file format whose markup, or absence of markup, has been arranged to thwart or discourage subsequent modification by readers is not Transparent. An image format is not Transparent if used for any substantial amount of text. A copy that is not "Transparent" is called "Opaque".

Examples of suitable formats for Transparent copies include plain ASCII without markup, Texinfo input format, LaTeX input format, SGML or XML using a publicly available DTD, and standard-conforming simple HTML, PostScript or PDF designed for human modification. Examples of transparent image formats include PNG, XCF and JPG. Opaque formats include proprietary formats that can be read and edited only by proprietary word processors, SGML or XML for which the DTD and/or processing tools are not generally available, and the machine-generated HTML, PostScript or PDF produced by some word processors for output purposes only.

The "Title Page" means, for a printed book, the title page itself, plus such following pages as are needed to hold, legibly, the material this License requires to appear in the title page. For works in formats which do not have any title page as such, "Title Page" means the text near the most prominent appearance of the work's title, preceding the beginning of the body of the text.

A section "Entitled XYZ" means a named subunit of the Document whose title either is precisely XYZ or contains XYZ in parentheses following text that translates XYZ in another language. (Here XYZ stands for a specific section name mentioned below, such as "Acknowledgements", "Dedications", "Endorsements", or "History".) To "Preserve the Title" of such a section when you modify the Document means that it remains a section "Entitled XYZ" according to this definition.

The Document may include Warranty Disclaimers next to the notice which states that this License applies to the Document. These Warranty Disclaimers are considered to be included by reference in this License, but only as regards disclaiming warranties: any other implication that these Warranty Disclaimers may have is void and has no effect on the meaning of this License.

2. VERBATIM COPYING

You may copy and distribute the Document in any medium, either commercially or noncommercially, provided that this License, the copyright notices, and the license notice saying this License applies to the Document are reproduced in all copies, and that you add no other conditions whatsoever to those of this License. You may not use technical measures to obstruct or control the reading or further copying of the copies you make or distribute. However, you may accept compensation in exchange for copies. If you distribute a large enough number of copies you must also follow the conditions in section 3.

You may also lend copies, under the same conditions stated above, and you may publicly display copies.

3. COPYING IN QUANTITY

If you publish printed copies (or copies in media that commonly have printed covers) of the Document, numbering more than 100, and the Document's license notice requires Cover Texts, you must enclose the copies in covers that carry, clearly and legibly, all these Cover Texts: Front-Cover Texts on the front cover, and Back-Cover Texts on the back cover. Both covers must also clearly and legibly identify you as the publisher of these copies. The front cover must present the full title with all words of the title equally prominent and visible. You may add other material on the covers in addition. Copying with changes limited to the covers, as long as they preserve the title of the Document and satisfy these conditions, can be treated as verbatim copying in other respects.

If the required texts for either cover are too voluminous to fit legibly, you should put the first ones listed (as many as fit reasonably) on the actual cover, and continue the rest onto adjacent pages.

If you publish or distribute Opaque copies of the Document numbering more than 100, you must either include a machine-readable Transparent copy along with each Opaque copy, or state in or with each Opaque copy a computer-network location from which the general network-using public has access to download using public-standard network protocols a complete Transparent copy of the Document, free of added material. If you use the latter option, you must take reasonably prudent steps, when you begin distribution of Opaque copies in quantity, to ensure that this Transparent copy will remain thus accessible at the stated location until at least one year after the last time you distribute an Opaque copy (directly or through your agents or retailers) of that edition to the public.

It is requested, but not required, that you contact the authors of the Document well before redistributing any large number of copies, to give them a chance to provide you with an updated version of the Document.

4. MODIFICATIONS

You may copy and distribute a Modified Version of the Document under the conditions of sections 2 and 3 above, provided that you release the Modified Version under precisely this License, with the Modified Version filling the role of the Document, thus licensing distribution and modification of the Modified Version to whoever possesses a copy of it. In addition, you must do these things in the Modified Version:

• A. Use in the Title Page (and on the covers, if any) a title distinct from that of the Document, and from those of previous versions (which should, if there were any, be listed in the History section of the Document). You may use the same title as a previous version if the original publisher of that version gives permission.
• B. List on the Title Page, as authors, one or more persons or entities responsible for authorship of the modifications in the Modified Version, together with at least five of the principal authors of the Document (all of its principal authors, if it has fewer than five), unless they release you from this requirement.
• C. State on the Title page the name of the publisher of the Modified Version, as the publisher.
• D. Preserve all the copyright notices of the Document.
• E. Add an appropriate copyright notice for your modifications adjacent to the other copyright notices.
• F. Include, immediately after the copyright notices, a license notice giving the public permission to use the Modified Version under the terms of this License, in the form shown in the Addendum below.
• G. Preserve in that license notice the full lists of Invariant Sections and required Cover Texts given in the Document's license notice.
• H. Include an unaltered copy of this License.
• I. Preserve the section Entitled "History", Preserve its Title, and add to it an item stating at least the title, year, new authors, and publisher of the Modified Version as given on the Title Page. If there is no section Entitled "History" in the Document, create one stating the title, year, authors, and publisher of the Document as given on its Title Page, then add an item describing the Modified Version as stated in the previous sentence.
• J. Preserve the network location, if any, given in the Document for public access to a Transparent copy of the Document, and likewise the network locations given in the Document for previous versions it was based on. These may be placed in the "History" section. You may omit a network location for a work that was published at least four years before the Document itself, or if the original publisher of the version it refers to gives permission.
• K. For any section Entitled "Acknowledgements" or "Dedications", Preserve the Title of the section, and preserve in the section all the substance and tone of each of the contributor acknowledgements and/or dedications given therein.
• L. Preserve all the Invariant Sections of the Document, unaltered in their text and in their titles. Section numbers or the equivalent are not considered part of the section titles.
• M. Delete any section Entitled "Endorsements". Such a section may not be included in the Modified Version.
• N. Do not retitle any existing section to be Entitled "Endorsements" or to conflict in title with any Invariant Section.
• O. Preserve any Warranty Disclaimers.

If the Modified Version includes new front-matter sections or appendices that qualify as Secondary Sections and contain no material copied from the Document, you may at your option designate some or all of these sections as invariant. To do this, add their titles to the list of Invariant Sections in the Modified Version's license notice. These titles must be distinct from any other section titles.

You may add a section Entitled "Endorsements", provided it contains nothing but endorsements of your Modified Version by various parties--for example, statements of peer review or that the text has been approved by an organization as the authoritative definition of a standard.

You may add a passage of up to five words as a Front-Cover Text, and a passage of up to 25 words as a Back-Cover Text, to the end of the list of Cover Texts in the Modified Version. Only one passage of Front-Cover Text and one of Back-Cover Text may be added by (or through arrangements made by) any one entity. If the Document already includes a cover text for the same cover, previously added by you or by arrangement made by the same entity you are acting on behalf of, you may not add another; but you may replace the old one, on explicit permission from the previous publisher that added the old one.

The author(s) and publisher(s) of the Document do not by this License give permission to use their names for publicity for or to assert or imply endorsement of any Modified Version.

5. COMBINING DOCUMENTS

You may combine the Document with other documents released under this License, under the terms defined in section 4 above for modified versions, provided that you include in the combination all of the Invariant Sections of all of the original documents, unmodified, and list them all as Invariant Sections of your combined work in its license notice, and that you preserve all their Warranty Disclaimers.

The combined work need only contain one copy of this License, and multiple identical Invariant Sections may be replaced with a single copy. If there are multiple Invariant Sections with the same name but different contents, make the title of each such section unique by adding at the end of it, in parentheses, the name of the original author or publisher of that section if known, or else a unique number. Make the same adjustment to the section titles in the list of Invariant Sections in the license notice of the combined work.

In the combination, you must combine any sections Entitled "History" in the various original documents, forming one section Entitled "History"; likewise combine any sections Entitled "Acknowledgements", and any sections Entitled "Dedications". You must delete all sections Entitled "Endorsements."

6. COLLECTIONS OF DOCUMENTS

You may make a collection consisting of the Document and other documents released under this License, and replace the individual copies of this License in the various documents with a single copy that is included in the collection, provided that you follow the rules of this License for verbatim copying of each of the documents in all other respects.

You may extract a single document from such a collection, and distribute it individually under this License, provided you insert a copy of this License into the extracted document, and follow this License in all other respects regarding verbatim copying of that document.

7. AGGREGATION WITH INDEPENDENT WORKS

A compilation of the Document or its derivatives with other separate and independent documents or works, in or on a volume of a storage or distribution medium, is called an "aggregate" if the copyright resulting from the compilation is not used to limit the legal rights of the compilation's users beyond what the individual works permit. When the Document is included in an aggregate, this License does not apply to the other works in the aggregate which are not themselves derivative works of the Document.

If the Cover Text requirement of section 3 is applicable to these copies of the Document, then if the Document is less than one half of the entire aggregate, the Document's Cover Texts may be placed on covers that bracket the Document within the aggregate, or the electronic equivalent of covers if the Document is in electronic form. Otherwise they must appear on printed covers that bracket the whole aggregate.

8. TRANSLATION

Translation is considered a kind of modification, so you may distribute translations of the Document under the terms of section 4. Replacing Invariant Sections with translations requires special permission from their copyright holders, but you may include translations of some or all Invariant Sections in addition to the original versions of these Invariant Sections. You may include a translation of this License, and all the license notices in the Document, and any Warranty Disclaimers, provided that you also include the original English version of this License and the original versions of those notices and disclaimers. In case of a disagreement between the translation and the original version of this License or a notice or disclaimer, the original version will prevail.

If a section in the Document is Entitled "Acknowledgements", "Dedications", or "History", the requirement (section 4) to Preserve its Title (section 1) will typically require changing the actual title.

9. TERMINATION

You may not copy, modify, sublicense, or distribute the Document except as expressly provided for under this License. Any other attempt to copy, modify, sublicense or distribute the Document is void, and will automatically terminate your rights under this License. However, parties who have received copies, or rights, from you under this License will not have their licenses terminated so long as such parties remain in full compliance.

10. FUTURE REVISIONS OF THIS LICENSE

The Free Software Foundation may publish new, revised versions of the GNU Free Documentation License from time to time. Such new versions will be similar in spirit to the present version, but may differ in detail to address new problems or concerns. See http://www.gnu.org/copyleft/.

Each version of the License is given a distinguishing version number. If the Document specifies that a particular numbered version of this License "or any later version" applies to it, you have the option of following the terms and conditions either of that specified version or of any later version that has been published (not as a draft) by the Free Software Foundation. If the Document does not specify a version number of this License, you may choose any version ever published (not as a draft) by the Free Software Foundation.

How to use this License for your documents

To use this License in a document you have written, include a copy of the License in the document and put the following copyright and license notices just after the title page:

Copyright (c)  YEAR  YOUR NAME.
Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document
under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2
or any later version published by the Free Software Foundation;
with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts.
A copy of the license is included in the section entitled "GNU
Free Documentation License".

If you have Invariant Sections, Front-Cover Texts and Back-Cover Texts, replace the "with...Texts." line with this:

with the Invariant Sections being LIST THEIR TITLES, with the
Front-Cover Texts being LIST, and with the Back-Cover Texts being LIST.

If you have Invariant Sections without Cover Texts, or some other combination of the three, merge those two alternatives to suit the situation.

If your document contains nontrivial examples of program code, we recommend releasing these examples in parallel under your choice of free software license, such as the GNU General Public License, to permit their use in free software.