Liczby zespolone/Dodawanie

Dodawanie liczb zespolonych

Wykonując jakiekolwiek działania na liczbach zespolonych należy pamiętać, że mamy do czynienia z określeniem pozycji punktu w przestrzeni [np. z=(a,b)], czyli tak zwanym wielomianem [a konkretnie dwumianem - w tym przypadku mamy miano określające część rzeczywistą Re(z)=a oraz miano określające część urojoną Im(z)=b]. Działania na liczbach zespolonych wykonywane są więc tak samo jak działania na wielomianach i rządzą się tymi samymi prawami.

Suma postaci geometrycznej

Dla dwóch liczb zespolonych:

$z_{1}=(a,b)$ oraz $z_{2}=(c,d)$

ich suma wynosi

$z_{1}+z_{2}=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$

Suma postaci algebraicznej

Powyższe wynika z łączności dodawania, bowiem algebraicznie:

$z_{1}=(a,b)=a+bi$ oraz $z_{2}=(c,d)=c+di$

stąd:

$z_{1}+z_{2}=(a,b)+(c,d)=a+bi+c+di=a+c+bi+di=(a+c)+i\cdot (b+d)=(a+c,b+d)$

Warto tutaj zauważyć, że dodawanie liczb zespolonych jest przemienne toteż $z_{2}+z_{1}=z_{1}+z_{2}$.

Suma liczby zespolonej z jej sprzężeniem

Mając liczbę zespoloną $z_{1}=(a,b)=a+bi$ i jej sprzężenie ${\overline {z_{1}}}=(a,-b)=a-bi$ suma liczby zespolonej z jej sprzężeniem wyniesie:

$z_{1}+{\overline {z_{1}}}=(a,b)+(a,-b)=a+bi+a-bi=2a=(2a,0)$