Liczby zespolone/Postać wykładnicza

Postać wykładnicza

Euler zauważył, że mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej jest dość charakterystyczne. Jeden czynnik poddawany jest normalnej operacji, a drugi zachowuje się podobnie do wykładnika potęgi. Przypomnijmy sobie, że mnożąc dwie liczby, podnoszone do potęgi y, posiadające tę samą podstawę n, opatrzoną różnymi parametrami x: $(x_{1})n^{y_{1}}\cdot (x_{2})n^{y_{2}}$ otrzymamy wynik $(x_{1}\cdot x_{2})n^{y_{1}+y_{2}}$. Podobieństwo jest zauważalne - przy tej operacji przecież mnożymy dwa parametry x i dodajemy parametry y.

Przeprowadzając skomplikowane dowody matematyczne, na złożonych obliczeniowo szeregach i własnościach logarytmów, udało mu się uzyskać potężne narzędzie łączące ze sobą prawa arytmetyki i algebry - zespolony eksponencjalny (wykładniczy) opis rzeczywistych funkcji trygonometrycznych. Oczywiście, pominiemy wszystkie te niezwykle trudne do ogarnięcia obliczenia i intrygująco brzmiące nazwy, którymi parają się zawodowi matematycy, i przejdziemy do sedna sprawy.

Euler dowiódł, że wartości funkcji trygonometrycznych można zapisać w szczególnej postaci zespolonych potęg liczby o podstawie e (której symbol e nadano właśnie na cześć Eulera):

:$\sin \psi ={e^{i\psi }-e^{-i\psi } \over 2i}$

$\cos \psi ={e^{i\psi }+e^{-i\psi } \over 2}$

(funkcje trygonometryczne można przedstawić jako zespolone potęgi podstawy logarytmu naturalnego - liczby e)

Stąd wystarczy tylko przeanalizować znany nam wcześniej fragment postaci trygonometrycznej: $\cos \psi +i\sin \psi ={e^{i\psi }+e^{-i\psi } \over 2}+i{e^{i\psi }-e^{-i\psi } \over 2i}={{e^{i\psi }+e^{-i\psi }+e^{i\psi }-e^{-i\psi }} \over 2}=e^{i\psi }$