Liczby zespolone/Tablice

Tablice

Po zapoznaniu się podłożami z definicji, twierdzeń i wzorów - niezmiernie pomocne w przygotowaniu do następnej części podręcznika (wprowadzającej do części praktycznej operacji na liczbach zespolonych), będzie powtórzenie sobie najważniejszych rzeczy i zebranie ich w postaci najprostszych tablic matematycznych.

Jednostka urojona

to liczba której kwadrat wynosi -1 - oznacza się literką i lub j

$i^{2}=-1$

(kwadrat jednostki urojonej jest ujemny i równy minus jeden)

Postać algebraiczna liczby zespolonej

to ogólna postać liczby

$z=a+bi(a,b\in R^{+})$

(postać algebraiczna (ogólna) liczby zespolonej, gdzie a i b przybierają dowolne wartości rzeczywiste)

$a=Re(z)$

(a jest częścią rzeczywistą (łac. realis) liczby zespolonej)

$b=Im(z)$

(b jest częścią urojoną (łac. imaginarius) liczby zespolonej)

Interpretacja geometryczna liczby zespolonej

to przedstawienie liczby jako punktu o współrzędnych kartezjańskich na płaszczyźnie liczb zespolonych

$z=(a,b)\!$

(zapis liczby zespolonej jako pary współrzędnych kartezjańskich)

$a=Re(z)$

(a jest współrzędną osi odciętych (oś liczb rzeczywistych))

$b=Im(z)$

(b jest współrzędną osi rzędnych (oś liczb urojonych))

Sprzężenie liczby zespolonej

to odbicie symetryczne punktu względem osi odciętych

.

Moduł liczby zespolonej

to wartość bezwzględna tej liczby - odległość od początku osi układu współrzędnych.

$z={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

(moduł liczby zespolonej $z=a+bi$)

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

to przedstawienie liczby jako punktu o współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie liczb zespolonych

$z=|z|\cdot \left[\cos(\varphi )+i\sin(\varphi )\right]$

($|z|$ to długość promienia wodzącego, $\varphi =\arg {z}$ - argument liczby zespolonej (miara łukowa kąta między osią biegunową rzeczywistą a promieniem wodzącym)

$|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

(moduł liczby zespolonej = długość promienia wodzącego)

$\cos \alpha ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

(zależność między postacią trygonometryczną a współrzędnymi kartezjańskimi)

$\sin \alpha ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

(zależność między postacią trygonometryczną a współrzędnymi kartezjańskimi)

Postać wykładnicza liczby zespolonej

to uproszczone przedstawienie liczby zespolonej z użyciem współrzędnych biegunowych

:$\sin \psi ={e^{i\psi }-e^{-i\psi } \over 2i}$

$\cos \psi ={e^{i\psi }+e^{-i\psi } \over 2}$

(funkcje trygonometryczne można przedstawić jako zespolone potęgi podstawy logarytmu naturalnego - liczby e)

Dodatek

Funkcje trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

$\sin \alpha ={\frac {Im(z)}{\left|z\right|}}$

$\cos \alpha ={\frac {Re(z)}{\left|z\right|}}$

$tg\alpha ={\frac {Im(z)}{Re(z)}}\left(Re(z)\neq 0\right)$

$ctg\alpha ={\frac {Re(z)}{Im(z)}}\left(Im(z)\neq 0\right)$

Tabela wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych miar kąta

x [ rad ]	$0$	${\frac {\pi }{12}}$	${\frac {\pi }{8}}$	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {\pi }{2}}$	${\frac {2\pi }{3}}$	${\frac {3\pi }{4}}$	${\frac {5\pi }{6}}$	$\pi \!$	${\frac {5\pi }{4}}$	${\frac {3\pi }{2}}$	$2\pi \!$
x [ deg ]	0°	15°	22,5°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	225°	270°	360°
$\sin {x}\!$	$0\!$	${\sqrt {6}}-{\sqrt {2}} \over 4\!$	${\sqrt {2-{\sqrt {2}}}} \over 2\!$	$1 \over 2\!$	${\sqrt {2}} \over 2\!$	${\sqrt {3}} \over 2\!$	$1\!$	${\sqrt {3}} \over 2\!$	${\sqrt {2}} \over 2\!$	$1 \over 2\!$	$0\!$	$-{\sqrt {2}} \over 2\!$	$-1\!$	$0\!$
$\cos {x}\!$	$1\!$	${\sqrt {6}}+{\sqrt {2}} \over 4\!$	${\sqrt {2+{\sqrt {2}}}} \over 2\!$	${\sqrt {3}} \over 2\!$	${\sqrt {2}} \over 2\!$	$1 \over 2\!$	$0\!$	$-1 \over 2\!$	$-{\sqrt {2}} \over 2\!$	$-{\sqrt {3}} \over 2\!$	$-1\!$	$-{\sqrt {2}} \over 2\!$	$0\!$	$1\!$