Liczby zespolone/Tablice

Tablice

Po zapoznaniu się podłożami z definicji, twierdzeń i wzorów - niezmiernie pomocne w przygotowaniu do następnej części podręcznika (wprowadzającej do części praktycznej operacji na liczbach zespolonych), będzie powtórzenie sobie najważniejszych rzeczy i zebranie ich w postaci najprostszych tablic matematycznych.

Jednostka urojona

to liczba której kwadrat wynosi -1 - oznacza się literką i lub j

$i^2=-1$

(kwadrat jednostki urojonej jest ujemny i równy minus jeden)

Postać algebraiczna liczby zespolonej

to ogólna postać liczby

$z=a+bi(a,b\in R^{+})$

(postać algebraiczna (ogólna) liczby zespolonej, gdzie a i b przybierają dowolne wartości rzeczywiste)

$a=Re(z)$

(a jest częścią rzeczywistą (łac. realis) liczby zespolonej)

$b=Im(z)$

(b jest częścią urojoną (łac. imaginarius) liczby zespolonej)

Interpretacja geometryczna liczby zespolonej

to przedstawienie liczby jako punktu o współrzędnych kartezjańskich na płaszczyźnie liczb zespolonych

$z=(a,b)$

(zapis liczby zespolonej jako pary współrzędnych kartezjańskich)

$a=Re(z)$

(a jest współrzędną osi odciętych (oś liczb rzeczywistych))

$b=Im(z)$

(b jest współrzędną osi rzędnych (oś liczb urojonych))

Sprzężenie liczby zespolonej

to odbicie symetryczne punktu względem osi odciętych

.

Moduł liczby zespolonej

to wartość bezwzględna tej liczby - odległość od początku osi układu współrzędnych.

$z=\sqrt{a^2+b^2}$

(moduł liczby zespolonej $z=a+bi$)

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

to przedstawienie liczby jako punktu o współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie liczb zespolonych

$z=|z|\cdot [\cos (\phi )+i\sin (\phi )]$

($|z|$ to długość promienia wodzącego, $\phi =\arg z$ - argument liczby zespolonej (miara łukowa kąta między osią biegunową rzeczywistą a promieniem wodzącym)

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

(moduł liczby zespolonej = długość promienia wodzącego)

$\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$

(zależność między postacią trygonometryczną a współrzędnymi kartezjańskimi)

$\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

(zależność między postacią trygonometryczną a współrzędnymi kartezjańskimi)

Postać wykładnicza liczby zespolonej

to uproszczone przedstawienie liczby zespolonej z użyciem współrzędnych biegunowych

:$\sin \psi =\frac{e^{i\psi }-e^{-i\psi }}{2i}$

$\cos \psi =\frac{e^{i\psi }+e^{-i\psi }}{2}$

(funkcje trygonometryczne można przedstawić jako zespolone potęgi podstawy logarytmu naturalnego - liczby e)

Dodatek

Funkcje trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

$\sin \alpha =\frac{Im(z)}{\left|z\right|}$

$\cos \alpha =\frac{Re(z)}{\left|z\right|}$

$tg\alpha =\frac{Im(z)}{Re(z)}(Re(z)\ne 0)$

$ctg\alpha =\frac{Re(z)}{Im(z)}(Im(z)\ne 0)$

Tabela wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych miar kąta

x [ rad ]	$0$	$\frac{\pi }{12}$	$\frac{\pi }{8}$	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{\pi }{2}$	$\frac{2\pi }{3}$	$\frac{3\pi }{4}$	$\frac{5\pi }{6}$	$\pi$	$\frac{5\pi }{4}$	$\frac{3\pi }{2}$	$2\pi$
x [ deg ]	0°	15°	22,5°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	225°	270°	360°
$\sin x$	$0$	$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{-\sqrt{2}}{2}$	$-1$	$0$
$\cos x$	$1$	$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{-1}{2}$	$\frac{-\sqrt{2}}{2}$	$\frac{-\sqrt{3}}{2}$	$-1$	$\frac{-\sqrt{2}}{2}$	$0$	$1$