Logika i teoria mnogości/Aksjomat wyboru

Kontrowersje

Aksjomat wyboru wśród innych aksjomatów teorii mnogości wywołuje wśród matematyków wiele kontrowersji. Jest to bowiem aksjomat, który definiuje istnienie zbioru bez podania jego konstrukcji. W matematyce pojawił się dość wcześnie, jednak jego sformułowanie podał dopiero w roku 1904 Ernst Zermelo (praca [1]). Właśnie wtedy rozpoczęło się najwięcej dyskusji na ten temat. Uważano bowiem, że dowody, które korzystały z pewnika wyboru, miały, z uwagi na charakter aksjomatu, inną naturę, aniżeli dowody bez pewnika. Jego zadziwiające konsekwencje pokazali Stefan Banach i Alfred Tarski, udowodnili bowiem, że przy użyciu pewnika wyboru da się rozłożyć kulę na skończoną liczbę części, a następnie złożyć z nich przez pewne przekształcenia, dwie identyczne z pierwszą kulą. Stąd też rozróżnienie przy definiowaniu systemu i opartej na nim teorii zbiorów na teorię mnogości ZF (model bez pewnika wyboru), w której czasami przyjmuje się zaprzeczenie aksjomatu wyboru i ZFC (model z dodanym pewnikiem wyboru).

Definicja

Kwantyfikatorowo:

$(\forall _{X,Y\in {\mathcal {A}}})\left((X\neq \emptyset )\wedge ((X\neq Y)\Rightarrow (X\cap Y=\emptyset ))\Rightarrow (\exists _{S})(\forall _{X\in {\mathcal {A}}})(\exists _{x})(\forall _{y})((y\in S\cap X)\equiv (y=x))\right)$

Aksjomat wyboru zwyczajowo oznacza się skrótem AC (z ang. Axiom of Choice). Twierdzenie, których dowody będą używały pewnika wyboru, będziemy oznaczali przez $^{AC}$

Sformułowania i twierdzenia równoważne

Dla każdej rodziny $\{U_{s}\}_{s\in S}$ zbiorów niepustych istnieje funkcja f określona na zbiorze S taka, że dla każdego $s\in S:\ f(s)\in A_{s}$

Zbiór wartości tej funkcji nazywamy selektorem.

Twierdzenie
Twierdzenie Zermelo (o dobrym uporządkowaniu). Dla każdego zbioru A istnieje relacja < dobrze porządkująca zbiór A

Twierdzenie
Lemat Kuratowskiego-Zorna. Jeśli dla każdego łańcucha $A\subseteq X$, gdzie X jest zbiorem uporządkowanym, istnieje element maksymalny, to X też ma element maksymalny.

Dla dowolnej rodziny zbiorów niepustych, jej produkt jest zbiorem niepustym.

Wykażemy teraz równoważność tych zdań. Aby to zrobić należy udowodnić kolejne implikacje. Niech więc na początek dane będzie

Twierdzenie
Twierdzenie Zermelo implikuje, że dla każdej rodziny zbiorów niepustych, parami rozłącznych, istnieje selektor.

Dowód. Niech ${\mathcal {A}}=\{A_{t}\}_{t\in T}$ będzie dowolną rodziną parami rozłącznych zbiorów niepustych. Niech ${\mathcal {U}}=\bigcup {\mathcal {A}}$. Z twierdzenia o dobrym porządku istnieje dobry porządek < na zbiorze ${\mathcal {U}}$. Niech teraz $f:T\rightarrow {\mathcal {U}}$ będzie funkcją taką, że f(t) będzie najmniejszym elementem w sensie relacji < zbioru $A_{t}$. Ponieważ ${\mathcal {A}}$ jest rodziną zbiorów parami rozłącznych, więc f(T) jest selektorem tej rodziny. $\ \ \Box$

Bibliografia

[1] Beweis dass jede Menge wohlgeordnet werden kann, Math. Ann. 59 (1904), 514-516.