Logika i teoria mnogości/Algebra zbiorów

Podstawowe wiadomości

Jeśli a jest elementem zbioru $A$ , zapisujemy to $a\in A$ .

Zamiast $\neg a\in A$ , w skrócie zapisujemy $a\notin A$ .

$a,b,...,f\in A$ jest skrótem zapisu $a\in A\land b\in A\land ...\land f\in A$ .

Zbiory definiuje się poprzez określenie ich elementów. Z aksjomatu jednoznaczności wynika, że jeśli dwa zbiory mają te same elementy, to są identyczne. Elementy zbioru można określić przez ich wyliczenie, w ten sposób $\{a,b,c,d\}$ to zbiór zawierający jedynie a, b, c i d. Zbiór można również zdefiniować za pomocą warunku, który muszą spełniać jego elementy. Mając więc jakiś warunek (własność) $\Phi$ np. podzielność przez 7 można zdefiniować zbiór $A$ w następujący sposób :

$x\in A\Leftrightarrow \Phi (x)$

Tak zdefiniowany zbiór $A$ można zapisać również :

$A=\{x:\Phi (x)\}$ (co czytamy "zbiór $A$ to zbiór takich x, że spełniony jest warunek $\Phi (x)$ ")

Zbiór elementów x należących do zbioru $B$ i spełniających warunek $\Phi$ oznaczamy przez

$\{x\in B:\Phi (x)\}$

Rodziny zbiorów

Zbiory również mogą być elementami innych zbiorów. Nazywa się je rodzinami zbiorów.

Przyjmuje się, że nie istnieje taka rodzina zbiorów $\{A_{n}:n\in \mathbb {N} \}$ , że $A_{n+1}\in A_{n}$ , skąd w szczególności wynika $\neg (A\in A)$ .

Inkluzja

Piszemy $A\subset B$ , jeśli każdy element zbioru A jest też elementem zbioru B, tzn. :

$A\subset B\Leftrightarrow \forall x~(x\in A\implies x\in B)$

Mówimy wtedy, że zbiór A jest podzbiorem zbioru B. Jeśli ponadto $A\not =B$ , to A jest podzbiorem właściwym zbioru B. Relacja $A\subset B$ nazywana jest inkluzją. Ma ona następujące własności: