Mentalizm/W jaki sposób mamią nas liczby i statystki

Dane statystyczne i wielkie liczby nie tyle kłamią, co potrafią omamić nas swoją powierzchownością i zwieść na manowce rzeczywistości. Zwykle wierzymy danym statystycznych, chociaż nasze mózgi nie są nauczone przetwarzania ich w prawidłowy sposób. To dlatego na podstawie statystyk łatwo dochodzimy do wniosków, które nie mają nic wspólnego z rzeczywistością. Z drugiej strony, gdy jakieś dane nie pasują do naszych poglądów na temat otaczającej rzeczywistości, bardzo łatwo bagatelizujemy te dane, odwołując się np. do znanych cytatów o różnych typach kłamstw, wśród których statystyka miałaby zajmować poczytne miejsce. W rzeczywistości jednak ogromna część naszej wiedzy, w tym najbardziej rzetelne badania naukowe, opierają się na danych statystycznych.

Przykłady źle interpretowanych danych statystycznych

Przez kilka modułów książki zanudzałem Cię drogi czytelniku i droga czytelniczko osobami Jezusa i Buddy, będącymi filarami dzisiejszych największych religii i wszystko tylko po to, żeby zarekomendować Ci medytację jako sposób na walkę ze stresem i wzmocnienie umysłu, potwierdzone współczesnym i starożytnym doświadczeniem. Trochę celowo dodałem nieco atrakcyjności temu prozaicznemu stwierdzeniu ubarwiając je tak znanymi postaciami o których pisałem. Stwierdzenie, jakoby Jezus był świadomym czy nieświadomym czynionych przez siebie pseudo-uzdrowień i cudów człowiekiem mentalistą, miała Cię zaintrygować i sprawić, aby sama medytacja wydała Ci się jeszcze bardziej atrakcyjną czynnością. Czy mi się to udało?

Teraz będę jeszcze bardziej Cię zajmował różnymi sprawami, nie zawsze związanymi stricte z tym, co Ciebie interesuje. W moim rozumieniu jednak sprawami ważnymi, o których chciałbym Ci powiedzieć. Być może wiesz już, jak łatwo nasz umysł ulega złudzeniom i np. hiperbolizuje wspomnienia. Świadomość tego faktu pozwala Ci z pewnością uniknąć tej pułapki i nie stosować jej w praktyce. To jednak nic, jest tego o wiele więcej, luk w naszym myśleniu, które jeśli znamy możemy łatwo wypełnić czym tylko nam się podoba i w efekcie zmanipulować ignorantów w tej dziedzinie, a więc przeważającą część ludzkości. Luki te znane są licznym mentalistom i chętnie przez nich wykorzystywane do wprawiania widowni w osłupienie.

Dane statystyczne w medycynie

Wyobraź sobie prostą rzecz. Pojawia się zmutowany, śmiertelny wirus, który atakuje i zabija jedną osobę na dziesięć tysięcy. Być może obawiasz się tej choroby, więc pragniesz poddać się testowi, który wykaże obecność wirusa, a który słynie ze swojej skuteczności - w 99% daje prawidłowy wynik niezależnie od faktu, czy ktoś jest zarażony czy też nie. Oznacza to, że w jednym przypadku na sto diagnoza będzie błędna, niezależnie od tego, czy ktoś zachorował czy nie.

Akurat gdy piszę te słowa na świecie coraz bardziej daje się we znaki epidemia wirusa Ebola, która atakuje nie tylko ludzi, ale też naszych braci szympansów. W dodatku w Stanach Zjednoczonych pojawiły się ogniska odry, choroby, na którą znamy szczepionkę już od lat. Rodzice omamieni spreparowanymi informacjami w Internecie odmawiają szczepień swoich pociech w niesłusznej obawie o ich zdrowie. Efektem są takie pomniejsze pandemie. Jak widzisz, ryzyko wystąpienia pandemii jakieś choroby o zasięgu globalnym wcale nie jest takie małe, a przykład, który chcę zademonstrować jest na czasie. W rzeczywistości mamy szansę 1:2 na pojawienie się takiej pandemii przed rokiem 2040, jak wyczytałem w jakiejś gazecie, no ale wróćmy do naszego przykładu.

To klasyczne zadanie ze statystyki, które potrafi ogłupić - czy jeśli uzyskasz wynik pozytywny testu mówiący o tym, że jesteś zarażony wirusem, to czy jest to dla Ciebie powód do zmartwień? Jakie w takim przypadku jest prawdopodobieństwo, że rzeczywiście jesteś nosicielem śmiertelnego wirusa?

Nieuważny obserwator śledząc ten wyimaginowany scenariusz żywcem wyjęty z testu na inteligencję MENSy, mógłby dojść do błędnego wniosku, że na 99% jesteś zarażony, gdyż taka jest skuteczność testu sprawdzającego. Nie sądzę jednak, abyś był takim ignorantem i tak dalece pominął lub pominęła istotny element układanki, tym bardziej po lekturze innych modułów książki, jakim jest informacja o tym, że choroba dotyka zaledwie jednej osoby na dziesięć tysięcy. Dysponując więc tymi danymi można stwierdzić, że szansa iż jesteś zarażony, nawet w przypadku pozytywnego wyniku testu, jest nieco mniejsza niż jeden procent.

Jestem przekonany, że potrafisz dokładnie przeanalizować i przeliczyć choćby w myślach wszystkie te dane i znaleźć wyjaśnienie tego faktu. Dla porządku jednak opiszę to dokładniej, gdyż dla większości ludzi jest to sprzeczne z intuicją.

Pozytywny wynik testu oznacza, że należysz do tych 99 osób spośród stu, u których prawidłowo zdiagnozowano obecność wirusa, lub jesteś tą jedną, u której diagnoza okazała się błędna i jesteś zdrowy (wbrew pozorom to się zdarza, co ma często związek np. z faktem, że pobrane do badań próbki krwi/tkanek są niemiarodajne wg norm statystycznych). Przeciętny umysł dostrzega jedynie tę informację i nie potrafi logicznie połączyć jej z inną, że zachorowalność wynosi jeden na dziesięć tysięcy, więc nieświadomie sądzi, iż szansa, że zachorował w takim przypadku to 99%.

Zapomnijmy jednak na moment o teście, bo dzięki temu łatwo zauważyć, że szansa iż jesteś zdrowy jest dużo większa, rzędu 9999:1. Gdyby temu testowi poddało się losowe milion ludzi, czyli taka liczba, w której należy się spodziewać około stu rzeczywistych nosicieli, to 99 spośród tej setki zostanie zdiagnozowanych prawidłowo jak wynika z dokładności testu. Jednakże patrząc z drugiej strony, czyli na 999 900 ludzi którzy są zdrowi jak ryby, spośród nich jeden procent (9999) zostanie oznaczonych jako nosiciele śmiertelnego wirusa, jeden procent, bo tyle wynosi niedokładność naszego wyimaginowanego testu.

Spójrz więc na to jeszcze raz - czy należysz do tych 99 chorych, czy tych 9999 błędnie zdiagnozowanych jako chorych? Patrząc na to z takiej perspektywy zasadność wykonywania testu nie istnieje, jest jedynie stratą czasu, pieniędzy i cennej krwi do badania, którą możesz wykorzystać zdobywając tytuł honorowego krwiodawcy, tabliczkę czekolady i ulgi podatkowe z tym związane. Od początku, gdy tylko wykonasz test, mimo, że wynik jest pozytywny, szansa, że masz tę wyimaginowaną chorobę wynosi 0,99%.

Ten skrajny przykład, który przez swoją strukturę miał podnieść Twój poziom czujności, jest tylko jednym z setek możliwych implikacji naszej skłonności do ulegania tego typu mentalnym pułapkom. Gdyby dotyczyło to jedynie łamigłówek, problem nie byłby duży. Jednakże gdy sprawy dotykają takich rzeczy jak śmiertelne choroby i ocena ich prawdopodobieństwa czy ryzyka, wtedy sprawy nabierają powagi i pojawia się rzeczywiste życiowe niebezpieczeństwo.

Rzućmy okiem na inny, ciekawy przykład medycznych statystyk, tym razem rzeczywisty. Badania epidemiologiczne pokazują, że jedzenie mięsa, szczególnie jeśli jest to przetworzone, czerwone mięsa, zwiększa ryzyko nowotworów układu pokarmowego. Każde 25 g takiego mięsa, czyli zaledwie dwa plastry szynki, jedzone regularnie każdego dnia, zwiększają ryzyko raka jelita o 49%. Wydaje się to ogromną wartości i rzeczywiście wygląda na to, że mięso nie jest zbyt zdrowym dla człowieka pokarmem. Jednakże w dietetyce i badaniach epidemiologicznych nic nie jest takie proste, jak wygląda na pierwszy rzut oka. Masa czynników zwiększa lub zmniejsza ryzyko nowotworów w układzie pokarmowym, dlatego trudno jest jednoznacznie ocenić, co jak działa. Tym bardziej, że działania niektórych pokarmów czy substancji nie rozumiemy.

Wiemy np. że jedzenie owoców lub warzyw znacznie zmniejsza to ryzyko, nadużywanie alkoholu trochę zwiększa, a jedzenie przetworzonego mięsa zwiększa znacznie. Rak też częściej pojawia się u osób genetycznie podatnych. Ale co to tak naprawdę oznacza, że masz o 50% większą szansę dostać raka jelita, niż Twoi koledzy i koleżanki na wegetariańskiej diecie? Zobacz, jak wyglądają te statystyki, jeśli poda się je w wartościach bezwzględnych. Jeżeli wierzyć danym zawartym w Wikipedii, to w Polsce każdego roku na raka jelita grubego choruje 19 kobiet lub 29 mężczyzn, na sto tysięcy ludzi. W dodatku bardzo rzadko poniżej 40. roku życia.

W przeciętnej populacji masz więc tylko około jednej szansy na 4000, że zachorujesz na raka jelita grubego i to pod warunkiem, że masz już ponad czterdzieści lat. To bardzo mała szansa. Przestań jeść mięso, a ryzyko to zmaleje do jednej szansy na 5000 tysięcy. To mniej, ale wciąż obie szanse są bardzo małe. Pamiętaj, że to przybliżone liczby, ale dobrze pokazują one, jak łatwo mamią nas dane statystyczne, jeśli pokazuje się je za pomocą wartości względnych. Oczywiście mięso wg badań nie należy do najzdrowszych produktów żywnościowych (wyjątkiem są ryby), w dodatku hodowla zwierząt bardzo obciąża środowisko naturalne, dlatego raczej nie zachęcam Cię do jego jedzenia.

Wróćmy jednak do dalszych przykładów statystycznych.

Kto jest gorszym kierowcą: kobiety, czy mężczyźni?

W Polsce mężczyźni powodują około 96% wszystkich wypadków i kolizji na drodze. Różnica ta wynika głównie z faktu, że mężczyźni jeżdżą samochodami częściej niż kobiety. Z drugiej strony mężczyźni, szczególnie młodzi, wywołują o połowę więcej poważnych i śmiertelnych wypadków, niż kobiety.

Ludzie na podstawie statystyk wysuwają czasem zbyt daleko idące wnioski, ulegając łatwo efektowi potwierdzenia, czyli szukając informacji, które potwierdzają to, co już wiedzą. To smutne, po wielu ludzi na podstawie źle zinterpretowanych danych wyciąga błędne wnioski np. co do wyższości jakiejś grupy nad inną itp. Aby Ci to unaocznić posłużę się teraz rzeczywistymi danymi statystycznymi dotyczącymi ludzi.

Być może nie wiesz o tym, że w Polsce i praktycznie w każdym innym państwie świata to mężczyźni są karani za większość wypadków i przestępstw drogowych. Rzuć proszę okiem na dane statystyczne udostępnione w krótkim raporcie opublikowanym na oficjalne stronie internetowej polskiej policji. Zgodnie z tymi danymi w roku 2010 wśród wszystkich osób skazanych za przestępstwa drogowe 95,8% stanowili mężczyźni. To olbrzymia przewaga i na podstawie tej informacji łatwo możesz dojść do konkluzji, że mężczyźni najwyraźniej nie nadają się na kierowców. To nie baby za kierownicą powinniśmy się bać, ale chłopa! Może powinno się zakazać mężczyznom prowadzenia samochodów, co ocaliłoby życie wielu ludziom ginącym w wypadkach?. Oczywiście byłoby to zbytnim uproszczeniem i dowodem na całkowitą ignorancję w sprawie danych statystycznych. Przyjrzymy się z bliższa tej informacji.

W naszej kulturze kierowca to raczej męski zawód. To chłopcy marzą o tym, by w przyszłości prowadzić wielkie samochody, dziewczynki raczej nie. Wynika to z pewnych stereotypów zakorzenionych w kulturze, ale skutkiem tego jest znaczna różnica w ilości kobiet i mężczyzn kierowców. Jeżeli więc mamy więcej kierowców płci męskiej i spędzają oni więcej czasu za kółkiem, to siłą rzeczy powinni oni powodować więcej wypadków i innych przestępstw drogowych. I rzeczywiście wg danych statystycznych dla USA mężczyźni jeżdżą średnio 74% więcej niż kobiety. W przeliczeniu na ilość przejechanej drogi kobiety uczestniczą w 5,7 stłuczkach, natomiast mężczyźni w 5,1. Gdyby ktoś usłyszał o tych danych znowu łatwo mógłby dość do przekonania, że to kobiety są gorszymi kierowcami i to im należy uniemożliwić prowadzenie samochodu. W niektórych państwach rzeczywiście zakazuje się kobietom prowadzenia auta, np. w Arabii Saudyjskiej. Ale jeśli czytasz uważnie to domyślasz się pewnie, że nawet to nie jest jeszcze koniec historii. W każdym razie wiesz już, że te same dane łatwo przedstawić w taki sposób, by udowodnić twierdzenie dowolnej ze stron. Wystarczy tylko trochę się wysilić.

No ale spójrzmy jeszcze nieco głębiej. No bo stłuczki to tak naprawdę nic wielkiego, nie dzieje się nikomu wielka krzywda. Może kobiety jeżdżą średnio mniej od mężczyzn, mają więc mniejszą wprawę, przez co powodują te 10% więcej kolizji. W rzeczywistości w wieku 20-35 lat kobiety i mężczyźni w Stanach Zjednoczonych uczestniczą w takiej samej ilości stłuczek, nastolatki płci męskiej powodują o 20% więcej takich wypadków niż ich koleżanki rówieśniczki, zapewne przez brawurę i popisywanie się, a dopiero kobiety powyżej 35. roku życia powodują nieco więcej stłuczek niż mężczyźni, prawdopodobnie właśnie przez mniejszą wprawę w prowadzeniu samochodu.

Jak wyglądają te dane, gdyby przyjrzeć się strukturze tych wypadków, tzn. kto na drodze zabija i poważnie rani więcej ludzi? Potrzebnych danych dostarczyła analiza przeprowadzona wśród amerykańskich kierowców, w Stanach Zjednoczonych w latach 90. XX wieku. Jak się okazuje, w przeliczeniu na przejechane kilometry mężczyźni powodują o 50% śmiertelnych wypadków drogowych i co ciekawe, kobiety przyczyniają się do 26% więcej wypadków o mniejszych skutkach i 16% więcej kolizji. Wygląda więc na to, że panowie są o wiele bardziej niebezpiecznymi kierowcami. Znowu nie jest to cała prawda. Np. powyżej 60. roku życia zgodnie z tą analizą kobiety i mężczyźni wywołują tyle samo śmiertelnych wypadków. Widocznie młodsi mężczyźni, popychani kulturą maczyzmu, jeżdżą brawurowo zwiększając ryzyko poważnego wypadku. Najgorsi są najmłodsi kierowcy płci męskiej, ale pośród dorosłych ludzi różnice w ilości spowodowanych wypadków nie są tak duże pomiędzy płciami, by zasadne były stereotypy.

Przytoczone dane statystyczne o kierowcach można by jeszcze długo wałkować i podchodzić do nich z każdej strony. Np. warto by sprawdzić, jaki odsetek społeczeństwa w ogóle powoduje wypadki i kolizje. Przecież nie każdy kierowca słyszał zarzuty w tej kwestii. Wielu kierowców jeździ bezproblemowo. Takie dane bezwzględne przestają wyglądać już tak imponująco. To dlatego zwykle do wiadomości podaje się względne statystki, co wyolbrzymia prawdę i prowadzi do dziwnych konkluzji. Dla przykładu, zgodnie z danymi przytaczanymi przez Centralną Ewidencję Pojazdów i Kierowców, w 2011 roku 20 mln Polaków w kraju posiadało prawo jazdy, z czego 40% to kobiety. Natomiast rok wcześniej zanotowano 1815 poważnych wypadków drogowych, z czego 88,7% spowodowali mężczyźni. Oznacza to, że każdego roku tylko niecały 0,01% wszystkich upoważnionych do prowadzenia samochodu kierowców wywołuje jakiś poważny w skutkach wypadek drogowy. To mniej niż jedna osoba na 10 tysięcy kierowców. Zastanów się teraz, jaką sprawiedliwością byłoby na podstawie tej jednej osoby na 10 tysięcy uniemożliwić prowadzenie samochodu pozostałym kierowcom, którzy nie powodują takich wielkich problemów?

Czy kobiety grają gorzej w szachy?

Kilka dekad temu László Polgár stwierdził, że wychowa swoje córki na szachowe mistrzynie. Zdjęcie przedstawia dwie z jego trzech córek. Wszystkie trzy osiągnęły szachowe arcymistrzostwo.

Spójrz proszę na statystyki dotyczące szachów. Pośród stu najlepszych arcymistrzów grających w ten stary, ale jary sport, widnieje zazwyczaj tylko jedno nazwisko kobiety. Na podstawie tej informacji sporo ludzi dochodzi bardzo daleko idących wniosków, np. że kobiety są głupsze od mężczyzn. Wcześniejszym przykładem starałem się unaocznić Ci, jak dalece złudne mogą być takie stwierdzenia. Podobnie rzecz ma się z kobietami i szachami.

Pomijam tutaj nawet sprawę, czy szachy są sportem wymagającym inteligencji. Rzeczywiście badania wskazują na to, że ludzie grający w szachy mają średnio wyższy iloraz inteligencji od ludzi, którzy szachami się nie zajmują. Szachy powszechnie też uważa się za sport, który wymaga myślenia, analizowania i ogólnie dużych zasobów myślowych. W praktyce jednak, jeżeli zbada się sprawę dogłębniej, inteligencja nie jest tym czynnikiem, który czyni z człowieka arcymistrza szachowego. W rzeczywistości mistrzostwo w szachach (i nie tylko) opiera się w największym stopniu na około 200-300 tysiącach trwale zapamiętanych mnemonach informacji, w tym przypadku sekwencji i możliwych ruchów szachowych. Wprawny gracz posługuje się tą bogatą wiedzą tak, jak Ty czy ja posługujemy się językiem.

W jednym ze wcześniejszych modułów, Możliwości ludzkiego mózgu i umysłu, przytoczyłem hipotezę dr Woźniaka o tym, ile informacji może zapamiętać człowiek w ciągu życia. Przeciętny człowiek może zapamiętać mniej więcej tyle dodatkowych informacji, ile pamięta przeciętny, szachowy arcymistrz. Nauczenie się tego wymaga ogromnej ilości czasu i przynajmniej kilku lat ciężkiej, zmotywowanej i ukierunkowanej praktyki. Nauka ta wymaga ogromnych ilości czasu, którym być może nie dysponują kobiety. Wymaga też pewnych specyficznych cech osobowości, które częściej występują wśród mężczyzn, w dużej mierze z powodu specyficznych stereotypów płciowych. Wreszcie szachy uznawane są za sport typowo męski, przez co kobiety zajmują się grą niechętnie i tylko około 5% aktywnych graczy jest płci żeńskiej. Kobiety po prostu nie lubią szachów, dlatego grają w nie rzadko i rzadko osiągają poziom arcymistrzowski. Analogicznie mężczyźni, którzy częściej jeżdżą samochodami mają większą szansę spowodować wypadek drogowy.

Badacze sprawdzili pośród graczy niemieckich, czy dysproporcja ta wpływa na różnicę w ilości arcymistrzyń i arcymistrzów. Okazało się, że wyjaśnia ona 96% tej różnicy. Innymi słowy jest mniej szachowych mistrzyń, ponieważ kobiety szachami się nie zajmują. Kobiety do gry w szachy i wielu innych aktywności zniechęcają głównie stereotypy płciowe, które nie mają pokrycia w rzeczywistości.

Kilka dekad temu pewien węgierski pedagog ogłosił w jednej z książek, że szuka żony, która pomoże mu wychować dzieci na szachowych mistrzów. Wkrótce ożenił się on z Ukrainką, która urodziła mu trzy córki. Rodzice nie trudzili się, by posyłać dziewczynki do szkoły. Sami zajmowali się ich edukacją, która obejmowała m.in. 10 godzin dziennego treningu gry w szachy. Siostry Polgar osiągnęły później w szachach chyba wszystko, co możliwe, zdobyły tytuł arcymistrzów, a jedna z nich wielokrotnie wbijała się nawet do pierwszej trójki światowego rankingu w szachy.

Jak mamią nas liczby?

Środowisko naukowe, o którym już wkrótce, mam nadzieję ku Twojej uciesze opowiem Ci nieco więcej, bardzo chętnie bada i sprawdza nasze umysłowe luki, jak pozwolę sobie to nazwać. Oto kolejny przykład dla Ciebie. Wyobraź sobie, że ktoś rzucił kilkakrotnie monetą i zapisał kolejne wyniki. Potem sfałszował jeszcze dwie tury i zapisał je obok. Twoim zadaniem jest określenie, który ciąg wyników jest bardziej prawdopodobny:

1. OOROORO
2. RRRRRRR
3. OOOOOOO

Większość ludzi niemająca pojęcia o statystyce jest przekonana, że pierwszy z ciągów jest bardziej prawdopodobny niż dwa kolejne, gdzie z rzędu siedmiokrotnie wypadła ta sama strona monety, awers lub rewers. Tak podpowiada im intuicja. Jednakże jeżeli moneta jest równomiernie wyważona, a rzuty zupełnie losowe, to szansa że wypadł którykolwiek z układów jest taka sama. W jednym ze swoich programów Derren Brown na oczach kamery wyrzucił dziesięciokrotnie pod rząd monetą orła lub reszkę - już nie pamiętam którą jej stronę. W każdym razie wyczyn wydawał się być czymś niesamowitym, ale on sam przyznał się potem jak tego dokonał. Po prostu próbował, aż mu się udało, a cała zabawa zabrała mu około dziesięciu godzin czasu. Niezwykle cierpliwy to człowiek.

Dlaczego więc ludzie sądzą, że pewne układy mają większą szansę pojawienia się niż inne? Zresztą dotyczy to nie tylko monet, ale np. wyników losowań lotto. Lotto to właściwie taki dodatkowy podatek dla statystycznych ignorantów, gdyż prawdopodobieństwo że zginie się z wypadku samochodowym lub od uderzenia pioruna (1:3000), czy nawet to, że samolot rozbije się na dachu naszego domu (1:250 000) lub zginiemy w katastrofie kolejowej (1:500 000) jest wielokrotnie wyższe niż trafienie szóstki w losowaniu (1:14 000 000). Ludzie nieświadomie twierdzą, że moneta lub bile mają coś na kształt pamięci, prowadzi to jednakże do czegoś co można nazwać paradoksem hazardzisty. Gdy bowiem wyrzucimy dziesięciokrotnie pod rząd monetą reszkę to wydaje nam się, że szansa iż kolejnym razem wypadnie orzeł jest dużo większa niż ta, że wypadnie reszka. To oczywiście bzdura. Moneta nie ma pamięci.

Wszystko to wynika z faktu, którego uczą nas w szkołach - przy nieskończonej liczbie wyników należy oczekiwać, że ilość awersów i rewersów lub kolejnych liczb w totolotku będzie taka sama. Przy wielkiej liczbie wyników powinna być do siebie zbliżona. To wszystko. Mimo to dużą popularnością cieszą się systemy opracowywane przez ludzi którzy twierdzą, że posiedli wiedzą o tym, jak wygrać w lotto. Najczęściej opierają się one właśnie o fałszywą wiarę w to, że monety czy bile losowane w lotto mają jakąś pamięć. Nie ma to nic wspólnego z rzeczywistością.

Heurystyka zakotwiczenia

Aby unaocznić Ci kolejny puzzel do układanki będącej odpowiedzią na pytanie dlaczego ludzie nie są racjonalni, proponuję Ci, o ile jeszcze masz chęci i ochotę, proste zadanie które wymyślił Massimo Piattelli-Palmarini, zajmujący się głównie kognitywistyką profesor psychologii. Oto proste działanie i masz tylko chwilkę, aby podać przybliżony jego wynik. Cała zabawa polega na tym, by oszacować, czyli właściwie spróbować zgadnąć iloczyn tych liczb, gdyż masz tylko pięć sekund na wykonanie działania:

$1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8\times =$

Jeżeli zapamiętasz swoją odpowiedź i porównasz ją z odpowiedziami kilku swoich znajomych, być może odkryjesz dużą zbieżność tym bardziej, że prawdopodobnie są oni na równym poziomie intelektualnym z Tobą, gdyż mamy tendencję do dobierania sobie znajomych nam podobnych.

Aby zrozumieć na czym polega to, do czego zmierzamy, należy wykonać kolejne działanie matematycznie, również w bardzo ograniczonym czasie pięciu sekund:

$8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=$

Wg badań Piattelliego-Palmariniego wyniki podawane przez ludzi w drugim działaniu (oczywiście jeśli nie podano im najpierw pierwszego z nich, dlatego jeśli zapragniesz wykonać to doświadczenie, powinieneś mieć dwie grupy ludzi i każdej z nich zapytać o jedno z tych działań) są zdecydowanie wyższe, a i tak niższe od rzeczywistego wyniku 40320. Dzieje się tak dlatego, że do wyższego szacunku nakłania nas układ liczb. Być może Daniel Tammet lub inny sawant-kalkulator potrafiłby podać prawidłowy wynik w czasie pięciu sekund, ale przeciętna istota ludzka dokonując w pamięci obliczeń grzęźnie znacznie wcześniej, przy piątej, góra czwartej liczbie tego działania z pewnym niskim wynikiem. Mając w pamięci tę liczbę ustalamy sobie jakby miarę, która jest bardzo ograniczona i potem dokonując szacunku nie oddalamy się od niej zbytnio.

Ma to tak dalekie konsekwencje, że udowodniono iż adwokat sugerując w trakcie rozprawy długość wyroku może wpłynąć w ten sposób na sędziego i ławę przysięgłych i zmanipulować ich, aby dali karę mniejszą niż adekwatna do czynów. Jednocześnie gdy sugerowany okres czasu jest większy, sędzia może potem orzec wyrok nawet znacznie zawyżony.

Tę powszechną pułapkę myślową określa się mianem heurystyki zakotwiczenia. Przykłady można mnożyć w nieskończoność: historia o mędrcu, któremu sułtan chciał się odwdzięczyć za jego nauki i doradztwo. Ten poprosił, aby na szachownicy ustawiono na pierwszym polu jedno ziarno pszenicy, na drugim dwa, na trzecim cztery i tak dalej, podwajając tę liczbę na każdym kolejnym z sześćdziesięciu czterech pól szachownicy. Sułtan nieświadomie przystał na tę propozycję udowadniając między innymi to, że piastowanie wysokich stanowisk i urzędów, nawet tak dalece odpowiedzialnych, niekoniecznie musi wiązać się z inteligencją i znajomością. Już nawet nie mówię tutaj o samej matematyce i wzroście wykładniczym, gdyż pewnie temu złudzeniu uległby każdy, kto wcześniej nie słyszał tej historii lub podobnej. Władca jednak mógł wykazać się sprytem i przenikliwością i zastanowić się, dlaczego jego mędrzec wychodzi do niego z tak absurdalną prośbą, więc pewnie gdzieś tkwi haczyk.

No i haczyk rzeczywiście tkwił, bo na ostatnim polu szachownicy należałoby umieścić 9¹⁹ ziaren, czyli grubo ponad 3,5 mld ton, co znacznie przekraczało możliwości konsumpcyjne doradcy sułtana, a nawet przekracza roczną produkcję zbóż współczesnego świata ponad dwukrotnie.

Natomiast zagadka ze składaniem arkusza papieru, np. strony gazety pewnie już Cię tak nie zaskoczy jak poprzednia, bo pewnie doskonale wiesz , że nie sposób złożyć ją więcej niż siedmiokrotnie. Jeżeli nie było okazji ku temu, by to sprawdzić zrobili to za Ciebie Pogromcy Mitów. W tym popularnym programie emitowanym na kanale Discovery Channel, złożyli oni z niemałym trudem przy pomocy walca i wózka widłowego arkusz papieru o powierzchni boiska do futbolu amerykańskiego jedenastokrotnie. Nie próbuj tego w domu. Za to spróbować możesz też sztuczki z papierem toaletowym, pewnym studentom udało się go złożyć w ten sposób trzynastokrotnie.

Załóżmy jednak, na potrzeby chwili, że złożyliśmy arkusz papieru stokrotnie. Jaką grubość osiągnie? Większość ludzi podałaby jakiś niewielki rozmiar, porównując np. do cegły czy większego pudełka. Co sprytniejsi i bystrzejsi mogliby dojść do wniosku, że będzie miała taką grubość jak odległość Księżyca od Ziemi, czyli prawie 400 tysięcy kilometrów. Prawda jest jednak taka, że przy tej ilości załamań papieru osiągnąłby on grubość około 6,7 mld lat świetlnych, przy czym średnica znanego obecnie Wszechświata wynosi około 92 mld l.ś.

Pewnie większość zapytanych ludzi stwierdziłaby, ulegając błędowi poznawczemu mówiącemu o przecenianiu własnej osoby, że racjonalnie podchodzi do spraw prawdopodobieństwa i statystyki. Ta wiedza jest dziś ogólnie dostępna, ale nie korzystamy z niej nieświadomie ulegając podobnym złudzeniom i błędom.

Paradoks Monty'ego Halla

Pokażę Ci jeszcze kilka z nich, choćby klasyczny przykład działania sprzecznego z racjonalnością czyli paradoks Monty'ego Halla. Prawdopodobnie zademonstrowano go po raz pierwszy w książce Calcul des probabilites wyrosłej spod pióra Josepha Bertranda w 1889 roku. Sto lat później Marilyn von Savant, amerykańska felietonistka i pisarka austriackiego pochodzenia zanotowana w Księdze Rekordów Guinnessa jako osoba obdarzona najwyższym ilorazem inteligencji (220), wywołała burzę kontrowersji podając na łamach magazynu „Parade” prawidłowe rozwiązanie tego paradoksu. Marylin udowodniła, że wielu matematyków się myli.

Już śpieszę z wyjaśnieniem, na czym polega ów paradoks. Być może pamiętasz popularny w latach 90. w Polsce teleturniej o nazwie Idź na całość, prowadzony przez Zygmunta Chajzera, gdzie często należało wybrać jedną z tzw. “bramek” czyli kurtyn, spośród trzech dostępnych. Za jedną z tych bramek kryła się nagroda, za dwoma pozostałymi kot o imieniu Zonk, który symbolizował przegraną w tym programie. Niech jeszcze małym treningiem dla Twojej wyobraźni będzie moja prośba o przypomnienie sobie i podkoloryzowanie w umyśle prostej sytuacji. Zygmunt, czy ktokolwiek inny prosi Cię o wybranie jednej z bramek informując, że spośród tych trzech tylko za jedną znajduje się nagroda główna - stos korzennych ciasteczek z marcepanem. Kiedy dokonujesz już wyboru, Zygmunt podkręca poziom napięcia, usuwając jedną dwóch pozostałych bramek. Teraz pyta się Ciebie, czy chcesz pozostać przy swoim pierwszym wyborze i iść na całość, czy może zmienić go na drugą z dostępnych teraz bramek. Pytanie brzmi, co należy zrobić, aby zwiększyć prawdopodobieństwo wygranej? Pozostać przy pierwszej bramce, czy zmienić decyzję?

Zastanów się dobrze nad odpowiedzią, gdyż stos ciasteczek z marcepanem to nie lada nagroda. Ale odłóżmy żarty na bok. Większość ludzi, w tym także niektórzy matematycy i logicy nie znający wcześniej tego paradoksu, pójdzie za głosem intuicji i raczej pozostanie przy pierwszym wyborze. Mając przed sobą dwie możliwości błędnie uznają, że prawdopodobieństwo wynosi w tym przypadku 50%, więc nie ma potrzeby zmieniać wyboru. To błąd.

Prawidłowa odpowiedź na pytanie co zrobić, aby zwiększyć szanse wygranej brzmi - zmienić swój pierwszy wybór, co udowodniła Marylin i co potrafią szybko zrozumieć najbardziej inteligentni ludzie. Gdy zmieni się wybór, szansa wygranej wynosi 2/3, wzrasta więc dwukrotnie, niż gdyby pozostać przy pierwotnym wyborze. Dlaczego?

Aby to lepiej zrozumieć przyjmijmy założenie, że to ja wykonuję pracę Zygmunta i wiem dokładnie, gdzie jest umieszczony stos korzennych ciasteczek z marcepanem. Dla uproszczenia sprawy umieszczam go zawsze za bramką o numerze 3, więc ta bramka zawsze wygrywa, o czym Ty jednak nie wiesz. Masz 2/3 szansy na to, że wybierzesz bramkę nr 1 lub nr 2 i dostaniesz Zonka (już abstrahując od faktu, czy ta maskotka czerwono-czarnego kota Zonka nie byłaby dla Ciebie czasem większą nagrodą od stosu marcepanowych ciasteczek), a więc przegrasz. Masz też 1/3 szansy na wygraną, a więc wybranie bramki numer 3.

Jeśli wybierzesz błędnie, co zrobisz w dwóch z trzech przypadków, to w moim drugim ruchu, gdy odrzucam jedną z pozostałych bramek, mam ograniczony wybór - gdy wybierzesz bramkę 1 ja odrzucę 2 i zostawię 3, gdyż nie będę miał innego wyboru. Gdy wybierzesz bramkę 2, ja odrzucę 1 i zostawię zwycięską 3. W przypadku więc Twojego błędnego wyboru mogę odrzucić tylko jedną błędną bramkę i zostawić w spokoju tę zwycięską, o numerze 3. W tym przypadku lepiej więc dla Ciebie, abyś po odrzuceniu przeze mnie jednej bramki zmienił swój wybór, gdyż zawsze zmienisz go na bramkę nr 3. Paradoksalnie więc prawdopodobieństwo 2/3, czyli takie, że wybierzesz błędnie, jest równoznaczne z prawdopodobieństwem zwycięskiego wyboru po jego zmianie.

Dwukrotnie mniej prawdopodobna jest sytuacja, gdy za pierwszym razem wybierasz poprawnie bramkę numer 3. Zrobisz to w jednej próbie na trzy. Wtedy ja mogę odrzucić bramkę numer 1 lub bramkę numer dwa, a Ty nie możesz zmieniać swojej pierwotnej decyzji. Cały haczyk polega na tym, że szansa iż wybierzesz dobrze już za pierwszym razem jest dwukrotnie mniejsza, niż że spudłujesz. Jeśli tego nie pojmujesz, w co wątpię, przeczytaj proszę jeszcze raz dwa wcześniejsze akapity.

Na cały problem tego paradoksu można spojrzeć z jeszcze innej perspektywy. Gdybyśmy dysponowali setką takich bramek zamiast trzema, to podczas Twojego pierwszego wyboru szansa, że trafisz wynosi zaledwie jeden do stu. Bardziej więc prawdopodobne, że pandemia śmiertelnego wirusa zdziesiątkuje naszą cywilizację w ciągu trzech najbliższych dekad. A teraz ja robię coś takiego - otwieram dziewięćdziesiąt osiem bramek, które są puste i pytam, czy w tej sytuacji chcesz zmienić swój wybór. Naturalnie jako prowadzący wiem, gdzie znajduje się wygrana. Gdybyśmy mieli rząd bramek i Ty wybrałbyś lub wybrałabyś bramkę numer 1, a ja otworzył pozostałe oprócz powiedzmy bramki numer 52, to czyż nie wydaje się wtedy bardziej prawdopodobne, że to właśnie w tej bramce znajduje się główna nagroda? Za pierwszym razem miałeś tylko 1% szansy, że wybierzesz właściwie, natomiast teraz, gdy odrzuciłem pozostałe bramki, na 99% w tej jednej, o numerze 52, znajduje się nagroda. Na 100% w jednym z tych dwóch pudełek pozostała nagroda.

Tak samo więc przy trzech bramkach szansa trafienia za pierwszym razem wynosi 1/3 i szansa na to, że w bramce, którą ja zostawiłem znajduje się nagroda: 2/3. Jestem przekonany, że wiele frajdy sprawi Ci popisywanie się tym zadaniem wśród znajomych.

Podsumowanie

Powtórzę jeszcze raz: gdyby te kognitywne pułapki stanowiły jedynie ciekawe ćwiczenie umysłowe czy dobry temat dla popularnych teleturniejów, to wszystko byłoby w porządku. Problem polega na tym, że większość ludzi pada ofiarą własnej ignorancji w dziedzinie prawdopodobieństwa w znacznie ważniejszych przypadkach, będących nawet sprawą życia lub śmierci gdy dotyczą prawników i lekarzy.

Współczesna psychologia dochodzi powoli do zaskakujących wniosków, iż sposób w jaki widzimy w umyśle obrazy, czyli nasze wyobrażenia, wpływają znacząco na to, jak się z nimi utożsamiamy. W ten sposób można nawet kształtować własny charakter i zachowanie o czym będzie mowa w dalszych modułach. W każdym razie, gdy łatwo jest nam sobie coś wyobrazić, bo np. jest to znajome, desygnat tego wyobrażenia staje się nam znacznie bliższy niż innego, którego wyobrazić sobie nie sposób. Ponieważ np. często widzimy w telewizji czy gazecie zdjęcia i opisy katastrof lotniczych, co zresztą może być źródłem fobii, bardziej boimy się latać niż chociażby jeździć pociągiem czy samochodem. Ma to szczególnie znaczenie w naszym kraju, gdzie przez długi okres czasu katastrofa samolotu rządowego i śmierć setki ludzi w Smoleńsku nie schodziła z ekranów i stron tytułowych gazet. Kłóci się to ze statystyką, gdyż samoloty, pomijając aspekt ekologiczny lotu, są najbezpieczniejszym środkiem transportu.

W ten sposób emocje zwyciężają nad rozumem, słoń jest silniejszy od jeźdźca, rezultaty balansują na granicy ryzyka.

Literatura uzupełniająca

• Taleb, Nassim. Fooled by randomness: The hidden role of chance in life and in the markets. 2004.