Analiza matematyczna/Układy równań różniczkowych/Przykład 2.1

Dany jest układ równań:

${\begin{cases}x'(t)=-5x-2y\\y'(t)=x-7y\end{cases}}$

W zapisie macierzowym $\mathbb {X} '=\mathbb {A} \cdot \mathbb {X}$ powyższy układ wygląda następująco:

${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-5&-2\\1&-7\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$

Jest to układ równań liniowych jednorodny z dwiema niewiadomymi funkcjami $x(t)$ oraz $y(t)$, zależnymi od jednej zmiennej niezależnej $t$.

Wartości własne macierzy współczynników

Rozwiązanie tego układu zaczniemy od znalezienia wartości własnych $\lambda$ macierzy współczynników $\mathbb {A}$:

$det\left[\mathbb {A} -\lambda I\right]=0$

$det{\begin{bmatrix}-5-\lambda &-2\\1&-7-\lambda \end{bmatrix}}=$

$=(-5-\lambda )(-7-\lambda )-(-2)=$

$=35+5\lambda +7\lambda +\lambda ^{2}+2=$

$\Delta =144-148=-4$

${\sqrt {\Delta }}=\pm 2i$

$\lambda _{1}={\frac {-12+2i}{2}}=-6+i$

$\lambda _{2}={\frac {-12-2i}{2}}=-6-i$

szukany wyznacznik macierzy ma postać:

$=\lambda ^{2}+12\lambda +37$

Zatem rozwiązaniem równania kwadratowego

$\lambda ^{2}+12\lambda +37=0$

jest sprzężona para liczb zespolonych $\lambda _{1}=-6+i$ oraz $\lambda _{2}=-6-i$

Zespolone wartości własne

Szukamy wektorów własnych $\mathbb {V}$ odpowiadających zespolonej 1-krotnej wartości własnej $\lambda _{1}=-6+i$ wraz z wartością sprzężoną do niej $\lambda _{2}=-6-i$.

W poniższych obliczeniach możemy pominąć sprzężoną wartość własną $\lambda _{2}=-6-i$ bez żadnych negatywnych skutków dla wyniku ostatecznego.

$\left[\mathbb {A} -\lambda _{1}I\right]\cdot \mathbb {V} =0$

zatem

${\begin{bmatrix}-5-\lambda _{1}&-2\\1&-7-\lambda _{1}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}-5+6-i&-2\\1&-7+6-i\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}2-2i&-4\\2&-2-2i\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}$

co ostatecznie daje układ równań:

${\begin{cases}(2-2i)v_{1}-4v_{2}=0\\2v_{1}+(-2-2i)v_{2}=0\end{cases}}$

Bliżej zajmiemy się pierwszym równaniem. Niech $v_{2}=s$ będzie dowolnym parametrem. Wyznaczymy zatem wartość $v_{1}$ w zależności od parametru $s$.

$(2-2i)v_{1}-4s=0$

$v_{1}={\frac {4s}{2-2i}}={\frac {2s}{1-i}}$

Mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika otrzymujemy:

$v_{1}={\frac {2s}{1-i}}\cdot {\frac {1+i}{1+i}}={\frac {2s(1+i)}{1+1}}=s(1+i)$

Ostatecznie otrzymujemy:

${\begin{cases}v_{1}=s(1+i)\\v_{2}=s\end{cases}}$

Znając wektor własny odpowiadający wartościom własnym $\lambda _{1},\lambda _{2}$

$V=s{\begin{bmatrix}1+i\\1\end{bmatrix}}$

możemy wyznaczyć rozwiązanie ogólne układu jednorodnego:

$\mathbb {X} _{OJ}=s{\begin{bmatrix}1+i\\1\end{bmatrix}}\cdot e^{(-6+i)t}$

Wzór Eulera

$e^{i\varphi }=\cos {\varphi }+i\sin {\varphi }$

Korzystając ze wzoru Eulera, otrzymamy:

$=s{\begin{bmatrix}1+i\\1\end{bmatrix}}\cdot (\cos {t}+i\sin {t})e^{-6t}=$

$=s{\begin{bmatrix}\cos {t}+i\sin {t}+i\cos {t}-\sin {t}\\\cos {t}+i\sin {t}\end{bmatrix}}\cdot e^{-6t}=$

W pierwszym wierszu grupujemy części rzeczywiste oraz urojone

$=s{\begin{bmatrix}-\sin {t}+\cos {t}+i(\sin {t}+\cos {t})\\\cos {t}+i\sin {t}\end{bmatrix}}\cdot e^{-6t}$

Rozwiązanie ogólne układu jednorodnego

Ostateczny wynik otrzymujemy, rozkładając ww. wektor na sumę dwóch wektorów zawierających odpowiednio części rzeczywiste oraz urojone (jednostka urojona $i$ została włączona do stałej $C_{2}$).

$\mathbb {X} _{OJ}=\left(C_{1}{\begin{bmatrix}-\sin {t}+\cos {t}\\\cos {t}\end{bmatrix}}+C_{2}{\begin{bmatrix}\sin {t}+\cos {t}\\\sin {t}\end{bmatrix}}\right)e^{-6t}$

W postaci macierzy Wrońskiego otrzymujemy następujące rozwiązanie:

$\mathbb {X} _{OJ}={\begin{bmatrix}-\sin {t}+\cos {t}&\sin {t}+\cos {t}\\\cos {t}&\sin {t}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}C_{1}\\C_{2}\end{bmatrix}}e^{-6t}$

Wyznacznik macierzy Wrońskiego

Dla pewności możemy sprawdzić, czy $W(t)\neq 0$.

$W(t)=det{\begin{bmatrix}-\sin {t}+\cos {t}&\sin {t}+\cos {t}\\\cos {t}&\sin {t}\end{bmatrix}}=...$