Dany jest układ równań:
W zapisie macierzowym
powyższy układ wygląda następująco:
Jest to układ równań liniowych jednorodny z dwiema niewiadomymi funkcjami
oraz
, zależnymi od jednej zmiennej niezależnej
.
Wartości własne macierzy współczynników[edytuj]
Rozwiązanie tego układu zaczniemy od znalezienia wartości własnych
macierzy współczynników
:
szukany wyznacznik macierzy ma postać:
Zatem rozwiązaniem równania kwadratowego
jest sprzężona para liczb zespolonych
oraz
Zespolone wartości własne[edytuj]
Szukamy wektorów własnych
odpowiadających zespolonej 1-krotnej wartości własnej
wraz z wartością sprzężoną do niej
.
W poniższych obliczeniach możemy pominąć sprzężoną wartość własną
bez żadnych negatywnych skutków dla wyniku ostatecznego.
zatem
co ostatecznie daje układ równań:
Bliżej zajmiemy się pierwszym równaniem. Niech
będzie dowolnym parametrem. Wyznaczymy zatem wartość
w zależności od parametru
.
Mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika otrzymujemy:
Ostatecznie otrzymujemy:
Znając wektor własny odpowiadający wartościom własnym
możemy wyznaczyć rozwiązanie ogólne układu jednorodnego:
Wzór Eulera
Korzystając ze wzoru Eulera, otrzymamy:
W pierwszym wierszu grupujemy części rzeczywiste oraz urojone
Rozwiązanie ogólne układu jednorodnego[edytuj]
Ostateczny wynik otrzymujemy, rozkładając ww. wektor na sumę dwóch wektorów zawierających odpowiednio części rzeczywiste oraz urojone (jednostka urojona
została włączona do stałej
).
W postaci macierzy Wrońskiego otrzymujemy następujące rozwiązanie:
Wyznacznik macierzy Wrońskiego[edytuj]
Dla pewności możemy sprawdzić, czy
.