Analiza matematyczna/Układy równań różniczkowych/Przykład 2.1

Dany jest układ równań:

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }(t)=-5x-2y\\ y^{\prime }(t)=x-7y\end{array}$

W zapisie macierzowym ${𝕏}^{\prime }=𝔸\cdot 𝕏$ powyższy układ wygląda następująco:

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-5& -2\\ 1& -7\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$

Jest to układ równań liniowych jednorodny z dwiema niewiadomymi funkcjami $x(t)$ oraz $y(t)$, zależnymi od jednej zmiennej niezależnej $t$.

Wartości własne macierzy współczynników

Rozwiązanie tego układu zaczniemy od znalezienia wartości własnych $\lambda$ macierzy współczynników $𝔸$:

$det[𝔸-\lambda I]=0$

$det\left[\begin{array}{cc}-5-\lambda & -2\\ 1& -7-\lambda \end{array}\right]=$

$=(-5-\lambda )(-7-\lambda )-(-2)=$

$=35+5\lambda +7\lambda +{\lambda }^2+2=$

$\mathrm{\Delta }=144-148=-4$

$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=\pm 2i$

${\lambda }_1=\frac{-12+2i}{2}=-6+i$

${\lambda }_2=\frac{-12-2i}{2}=-6-i$

szukany wyznacznik macierzy ma postać:

$={\lambda }^2+12\lambda +37$

Zatem rozwiązaniem równania kwadratowego

${\lambda }^2+12\lambda +37=0$

jest sprzężona para liczb zespolonych ${\lambda }_1=-6+i$ oraz ${\lambda }_2=-6-i$

Zespolone wartości własne

Szukamy wektorów własnych $𝕍$ odpowiadających zespolonej 1-krotnej wartości własnej ${\lambda }_1=-6+i$ wraz z wartością sprzężoną do niej ${\lambda }_2=-6-i$.

W poniższych obliczeniach możemy pominąć sprzężoną wartość własną ${\lambda }_2=-6-i$ bez żadnych negatywnych skutków dla wyniku ostatecznego.

$[𝔸-{\lambda }_{1}I]\cdot 𝕍=0$

zatem

$\left[\begin{array}{cc}-5-{\lambda }_1& -2\\ 1& -7-{\lambda }_1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}-5+6-i& -2\\ 1& -7+6-i\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}2-2i& -4\\ 2& -2-2i\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$

co ostatecznie daje układ równań:

$\{\begin{array}{c}(2-2i)v_1-4v_2=0\\ 2v_1+(-2-2i)v_2=0\end{array}$

Bliżej zajmiemy się pierwszym równaniem. Niech $v_2=s$ będzie dowolnym parametrem. Wyznaczymy zatem wartość $v_1$ w zależności od parametru $s$.

$(2-2i)v_1-4s=0$

$v_1=\frac{4s}{2-2i}=\frac{2s}{1-i}$

Mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika otrzymujemy:

$v_1=\frac{2s}{1-i}\cdot \frac{1+i}{1+i}=\frac{2s(1+i)}{1+1}=s(1+i)$

Ostatecznie otrzymujemy:

$\{\begin{array}{c}{v}_1=s(1+i)\\ v_2=s\end{array}$

Znając wektor własny odpowiadający wartościom własnym ${\lambda }_1,{\lambda }_2$

$V=s\left[\begin{array}{c}1+i\\ 1\end{array}\right]$

możemy wyznaczyć rozwiązanie ogólne układu jednorodnego:

${𝕏}_{OJ}=s\left[\begin{array}{c}1+i\\ 1\end{array}\right]\cdot e^{(-6+i)t}$

Wzór Eulera

$e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi$

Korzystając ze wzoru Eulera, otrzymamy:

$=s\left[\begin{array}{c}1+i\\ 1\end{array}\right]\cdot (\cos t+i\sin t)e^{-6t}=$

$=s\left[\begin{array}{c}\cos t+i\sin t+i\cos t-\sin t\\ \cos t+i\sin t\end{array}\right]\cdot e^{-6t}=$

W pierwszym wierszu grupujemy części rzeczywiste oraz urojone

$=s\left[\begin{array}{c}-\sin t+\cos t+i(\sin t+\cos t)\\ \cos t+i\sin t\end{array}\right]\cdot e^{-6t}$

Rozwiązanie ogólne układu jednorodnego

Ostateczny wynik otrzymujemy, rozkładając ww. wektor na sumę dwóch wektorów zawierających odpowiednio części rzeczywiste oraz urojone (jednostka urojona $i$ została włączona do stałej $C_2$).

${𝕏}_{OJ}=(C_1\left[\begin{array}{c}-\sin t+\cos t\\ \cos t\end{array}\right]+C_2\left[\begin{array}{c}\sin t+\cos t\\ \sin t\end{array}\right])e^{-6t}$

W postaci macierzy Wrońskiego otrzymujemy następujące rozwiązanie:

${𝕏}_{OJ}=\left[\begin{array}{cc}-\sin t+\cos t& \sin t+\cos t\\ \cos t& \sin t\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{C}_1\\ C_2\end{array}\right]e^{-6t}$

Wyznacznik macierzy Wrońskiego

Dla pewności możemy sprawdzić, czy $W(t)\ne 0$.

$W(t)=det\left[\begin{array}{cc}-\sin t+\cos t& \sin t+\cos t\\ \cos t& \sin t\end{array}\right]=\mathrm{...}$