Analiza matematyczna/Układy równań różniczkowych/Przykład 2.1

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Dany jest układ równań:

W zapisie macierzowym powyższy układ wygląda następująco:

Jest to układ równań liniowych jednorodny z dwiema niewiadomymi funkcjami oraz , zależnymi od jednej zmiennej niezależnej .

Wartości własne macierzy współczynników[edytuj]

Rozwiązanie tego układu zaczniemy od znalezienia wartości własnych macierzy współczynników :

szukany wyznacznik macierzy ma postać:

Zatem rozwiązaniem równania kwadratowego

jest sprzężona para liczb zespolonych oraz

Zespolone wartości własne[edytuj]

Szukamy wektorów własnych odpowiadających zespolonej 1-krotnej wartości własnej wraz z wartością sprzężoną do niej .

W poniższych obliczeniach możemy pominąć sprzężoną wartość własną bez żadnych negatywnych skutków dla wyniku ostatecznego.

zatem

co ostatecznie daje układ równań:

Bliżej zajmiemy się pierwszym równaniem. Niech będzie dowolnym parametrem. Wyznaczymy zatem wartość w zależności od parametru .

Mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika otrzymujemy:

Ostatecznie otrzymujemy:

Znając wektor własny odpowiadający wartościom własnym

możemy wyznaczyć rozwiązanie ogólne układu jednorodnego:

Wzór Eulera

Korzystając ze wzoru Eulera, otrzymamy:

W pierwszym wierszu grupujemy części rzeczywiste oraz urojone

Rozwiązanie ogólne układu jednorodnego[edytuj]

Ostateczny wynik otrzymujemy, rozkładając ww. wektor na sumę dwóch wektorów zawierających odpowiednio części rzeczywiste oraz urojone (jednostka urojona została włączona do stałej ).

W postaci macierzy Wrońskiego otrzymujemy następujące rozwiązanie:

Wyznacznik macierzy Wrońskiego[edytuj]

Dla pewności możemy sprawdzić, czy .