Dany jest układ równań:
W zapisie macierzowym
powyższy układ wygląda następująco:
Jest to układ równań liniowych jednorodny z trzema niewiadomymi funkcjami
,
oraz
, zależnymi od jednej zmiennej niezależnej
.
Wartości własne macierzy współczynników[edytuj]
Rozwiązanie tego układu zaczniemy od znalezienia wartości własnych
macierzy
:
szukany wyznacznik macierzy ma postać:
Zatem rozwiązaniem równania:
są liczby
,
oraz
Rzeczywiste wartości własne[edytuj]
Szukamy wektorów własnych
odpowiadających rzeczywistej 1-krotnej wartości własnej
.
zatem:
następnie:
co ostatecznie daje układ równań:
Z ostatniego równania mamy
. Podstawiając tę wartość do równania pierwszego, otrzymamy, że
, gdzie
jest dowolnym parametrem. Podsumowując, otrzymamy:
co w zapisie wektorowym wygląda następująco:
Zespolone wartości własne[edytuj]
Szukamy wektorów własnych
odpowiadających zespolonej 1-krotnej wartości własnej
wraz z rozwiązaniem sprzężonym do niej
.
W poniższych obliczeniach możemy pominąć sprzężoną wartość własną
bez żadnych negatywnych skutków dla wyniku ostatecznego.
zatem:
co ostatecznie daje układ równań:
Z drugiego równania wyznaczamy
, gdzie s jest dowolnym parametrem rzeczywistym. Z powyższej zależności oraz z równania pierwszego wyznaczymy współrzędne wektora własnego odpowiadającego parze sprzężonych zespolonych wartości własnych.
co w zapisie wektorowym wyrazimy jako