Analiza matematyczna/Układy równań różniczkowych/Przykład 5.1

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Dany jest układ równań:

W zapisie macierzowym powyższy układ wygląda następująco:

Jest to układ równań liniowych jednorodny z trzema niewiadomymi funkcjami , oraz , zależnymi od jednej zmiennej niezależnej .

Wartości własne macierzy współczynników[edytuj]

Rozwiązanie tego układu zaczniemy od znalezienia wartości własnych macierzy :

szukany wyznacznik macierzy ma postać:

Zatem rozwiązaniem równania:

są liczby , oraz

Rzeczywiste wartości własne[edytuj]

Szukamy wektorów własnych odpowiadających rzeczywistej 1-krotnej wartości własnej .

zatem:

następnie:

co ostatecznie daje układ równań:

Z ostatniego równania mamy . Podstawiając tę wartość do równania pierwszego, otrzymamy, że , gdzie jest dowolnym parametrem. Podsumowując, otrzymamy:

co w zapisie wektorowym wygląda następująco:

Zespolone wartości własne[edytuj]

Szukamy wektorów własnych odpowiadających zespolonej 1-krotnej wartości własnej wraz z rozwiązaniem sprzężonym do niej .

W poniższych obliczeniach możemy pominąć sprzężoną wartość własną bez żadnych negatywnych skutków dla wyniku ostatecznego.

zatem:

co ostatecznie daje układ równań:

Z drugiego równania wyznaczamy , gdzie s jest dowolnym parametrem rzeczywistym. Z powyższej zależności oraz z równania pierwszego wyznaczymy współrzędne wektora własnego odpowiadającego parze sprzężonych zespolonych wartości własnych.

co w zapisie wektorowym wyrazimy jako