25% Status

Wikibooks:Brudnopis/Persino/Szczególna teoria względności/Podstawy teorii względności

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności

Podstawy transformacji Galileusza i Lorentza[edytuj]

Prawa transformacyjne położenia ciała w czasoprzestrzeni z jednego układu współrzędnych do drugiego są:

(1)

gdzie:

  • położenie ciała w starym układzie współrzędnych:, a także wielkości primowane w stosunku do poprzedniego mamy w postaci: jako położenie ciała w nowym układzie współrzędnych,
  • jeśli potraktować czas jako zerową współrzędną w (n+1)-wymiarowej czasoprzestrzeni.

Różniczka zmiany położenia danego ciała w czasie, korzystając z definicji różniczki zupełnej z analizy matematycznej jest przedstawiona:

(2)

Załóżmy, że macierz występująca w (2) jest stałą o charakterze macierzowym, stąd dojdziemy, że ona opisuje układy płaskie (tensor Minkowskiego ) i inercjalne (). Ciało, które ma położenie w starym układzie współrzędnych w czasoprzestrzeni , po przesunięciu tego układu o wektor , wtedy to ciało ma położenie , co tą transformację możemy pisać:

(3)
  • gdzie jest pewną stałą wektorową, a wektor jest to położenie ciała w układzie przed przesunięciem, a po przesunięciu.

Jak zachodzi w starym układzie współrzędnych (3) (bez primów) to podobnie jest dla nowego układu współrzędnych (tylko, że z primami).

Możemy wykorzystać (3) bez primów i z primami do wzoru na nieskończenie małą zmianę położenia ciała w czasoprzestrzeni w nowym układzie współrzędnych względem jego starego wychodząc ze wzoru (2) dla pamiętając, że zachodzi i , stąd:

(4)

W układzie według teorii Einsteina wynika, że równanie (2) nie zależy od tego o jaki wektor przesuniemy stary i wektor nowy układ współrzędnych, postać transformacji (1) dla transformujące się do i transformujące się do jest z dokładnością do stałej wektorowej taka sama (bo ta pochodna dla dowolnego jest stałą w (2), dlatego że zachodzi (4) (końcowy wzór)), zatem przedostatni wzór w (4) opisuje to samo, co wzór (2), pamiętając o udowodnionej stałości pochodnej: , wtedy ta postać transformacji spełnia zasadę jednorodności przestrzeni i czasu, a transformacja ze starego układu współrzędnych do nowego przedstawia się:

Definicja Transformacje tensora położenia w czasoprzestrzeni płaskiej
Transformacje współrzędnych ciała ze starego układu odniesienia do nowego w przestrzeni n-wymiarowej, pamiętając, że czas jest współrzędną, przedstawiają się n+1 wzorami:
(5)
(6)
(7)
(8)

---------------------------------------------------------------------

(9)

Na podstawie wzoru (6), (7), (8) i (9) transformacja współrzędnych ze starego układu do nowego piszemy:

(10)
  • gdzie .

Wektor wodzący ciała odniesienia względem którego będziemy określać położenie w nowym układzie współrzędnych z oczywistych powodów jest równa zero, zatem wzór (10) możemy napisać:

(11)

Jeśli we wzorze (11) wyznaczymy wielkość i podstawimy go do wzoru (10), wtedy dostajemy wzór na transformację położenia ciała w starym układzie odniesienia na nowy układ. Wiedząc jakie jest położenie w przestrzeni ciała odniesienia w starym układzie odniesienia i w tym układzie możemy otrzymać położenie ciała w nowym układzie odniesienia i wiedząc jakie jest położenie ciała w czasoprzestrzeni (n+1)-wymiarowej w starym układzie współrzędnych możemy otrzymać położenie ciała w nowym układzie współrzędnych znając położenie stałe nowego układu współrzędnych względem starego układu współrzędnych, wtedy:

(12)

Wzór (12) jest spełniony, gdy stary i nowy układ współrzędnych są układami ogólnie nieprostokątnymi, w którym dla czasoprzestrzeni mamy .

Tożsamość na część macierzy transformacji M na Mx0[edytuj]

Wyprowadźmy wzór na wielkość Mx0 zakładając stałość macierzy , wiemy jednak przecież, że prędkość ciała odniesienia, względem którego będziemy określać położenie w nowym układzie współrzędnych jest napisana , i dalej zróżniczkujmy wzór (10) względem czasu w starym układzie współrzędnych i wyznaczmy z niego tą wspomnianą macierz:

(13)

Z końcowych rozważań (13) możemy napisać, że pierwszą kolumnę bez zerowego wiersza macierzy transformacji przedstawiamy:

 dla 
(14)

Następny rozdział: (błąd). Poprzedni rozdział: (błąd).

Podręcznik: Szczególna teoria względności.