Wikibooks:Brudnopis/Persino/Szczególna teoria względności/Podstawy teorii względności

Szczególna teoria względności

Podstawy teorii względności

Spis treści
1Podstawy transformacji Galileusza i Lorentza 2Tożsamość na część macierzy transformacji M na M_x0

Podstawy transformacji Galileusza i Lorentza

Prawa transformacyjne położenia ciała w czasoprzestrzeni z jednego układu współrzędnych do drugiego są:

{\vec {X}}^{'}={\vec {f}}({\vec {X}})\;

(1)

gdzie:

położenie ciała w starym układzie współrzędnych: ${\vec {X}}=[ct,x_{1},x_{2},x_{3},..,x_{i},...,x_{n}]^{T}\;$ , a także wielkości primowane w stosunku do poprzedniego mamy w postaci: ${\vec {X}}^{'}=[ct^{'},x_{1}^{'},x_{2}^{'},x_{3}^{'},..,x_{i}^{'},...,x_{n}^{'}]^{T}\;$ jako położenie ciała w nowym układzie współrzędnych,
jeśli potraktować czas jako zerową współrzędną w (n+1)-wymiarowej czasoprzestrzeni.

Różniczka zmiany położenia danego ciała w czasie, korzystając z definicji różniczki zupełnej z analizy matematycznej jest przedstawiona:

d{\vec {X}}^{'}={{\partial {\vec {f}}({\vec {X}})} \over {\partial {\vec {X}}}}d{\vec {X}}\;

(2)

Załóżmy, że macierz występująca w (2) jest stałą o charakterze macierzowym, stąd dojdziemy, że ona opisuje układy płaskie (tensor Minkowskiego $\eta _{\mu \nu }\;$ ) i inercjalne ( ${\vec {V}}={\mbox{const}}\;$ ). Ciało, które ma położenie w starym układzie współrzędnych w czasoprzestrzeni ${\vec {X}}_{P}\;$ , po przesunięciu tego układu o wektor $-{\vec {C}}\;$ , wtedy to ciało ma położenie ${\vec {X}}\;$ , co tą transformację możemy pisać:

{\vec {X}}={\vec {X}}_{P}+{\vec {C}}\;

(3)

gdzie ${\vec {C}}=[c^{0},c^{1},c^{2},c^{3},...,c^{i},...,c^{n}]^{T}\;$ jest pewną stałą wektorową, a wektor ${\vec {X}}_{P}\;$ jest to położenie ciała w układzie przed przesunięciem, a ${\vec {X}}\;$ po przesunięciu.

Jak zachodzi w starym układzie współrzędnych (3) (bez primów) to podobnie jest dla nowego układu współrzędnych (tylko, że z primami).

Możemy wykorzystać (3) bez primów i z primami do wzoru na nieskończenie małą zmianę położenia ciała w czasoprzestrzeni w nowym układzie współrzędnych względem jego starego wychodząc ze wzoru (2) dla ${\vec {X}}={\vec {X}}_{P}\;$ pamiętając, że zachodzi ${\vec {C}}=\operatorname {const} \;$ i ${\vec {C}}^{'}=\operatorname {const} ^{'}\;$ , stąd:

d{\vec {X}}_{P}^{'}={{\partial {\vec {f}}({\vec {X}}_{P})} \over {\partial {\vec {X}}_{P}}}d{\vec {X}}_{P}\Rightarrow d{\vec {X}}^{'}={{\partial {\vec {f}}({\vec {X}}_{P})} \over {\partial {\vec {X}}_{P}}}d{\vec {X}}\Rightarrow M={{\partial {\vec {f}}({\vec {X}})} \over {\partial {\vec {X}}}}={{\partial {\vec {f}}({\vec {X}}_{P})} \over {\partial {\vec {X}}_{P}}}=\left[\operatorname {const} _{\mu \nu }\right]_{n+1\times n+1}\;

(4)

W układzie według teorii Einsteina wynika, że równanie (2) nie zależy od tego o jaki wektor $-{\vec {C}}\;$ przesuniemy stary i wektor $-{\vec {C}}^{'}$ nowy układ współrzędnych, postać transformacji (1) dla ${\vec {X}}\;$ transformujące się do ${\vec {X}}^{'}\;$ i ${\vec {X}}_{P}\;$ transformujące się do ${\vec {X}}_{P}^{'}\;$ jest z dokładnością do stałej wektorowej taka sama (bo ta pochodna dla dowolnego ${\vec {X}}\;$ jest stałą w (2), dlatego że zachodzi (4) (końcowy wzór)), zatem przedostatni wzór w (4) opisuje to samo, co wzór (2), pamiętając o udowodnionej stałości pochodnej: ${{\partial {\vec {f}}({\vec {X}})} \over {\partial {\vec {X}}}}\;$ , wtedy ta postać transformacji spełnia zasadę jednorodności przestrzeni i czasu, a transformacja ze starego układu współrzędnych do nowego przedstawia się:

Definicja Transformacje tensora położenia w czasoprzestrzeni płaskiej (Def. 1)
Transformacje współrzędnych ciała ze starego układu odniesienia do nowego w przestrzeni n-wymiarowej, pamiętając, że czas jest współrzędną, przedstawiają się n+1 wzorami:

t^{'}={m^{0}}_{0}t+{{{m^{0}}_{1}x^{1}} \over {c}}+{{{m^{0}}_{2}x^{2}} \over {c}}+{{{m^{0}}_{3}x^{3}} \over {c}}+...+{{{m^{0}}_{n}x^{n}} \over {c}}+{{r^{0}} \over {c}}\;

(5)

{x^{'}}^{1}={m^{1}}_{0}ct+{m^{1}}_{1}x^{1}+{m^{1}}_{2}x^{2}+{m^{1}}_{3}x^{3}+...+{m^{1}}_{n}x^{n}+r^{1}\;

(6)

{x^{'}}^{2}={m^{2}}_{0}ct+{m^{2}}_{1}x^{1}+{m^{2}}_{2}x^{2}+{m^{2}}_{3}x^{3}+...+{m^{2}}_{n}x^{n}+r^{2}\;

(7)

{x^{'}}^{3}={m^{3}}_{0}ct+{m^{3}}_{1}x^{1}+{m^{3}}_{2}x^{2}+{m^{3}}_{3}x^{3}+...+{m^{3}}_{n}x^{n}+r^{3}\;

(8)

---------------------------------------------------------------------

{x^{'}}^{n}={m^{n}}_{0}ct+{m^{n}}_{1}x^{1}+{m^{n}}_{2}x^{2}+{m^{n}}_{3}x^{3}+...+{m^{n}}_{n}x^{n}+r^{n}\;

(9)

Na podstawie wzoru (6), (7), (8) i (9) transformacja współrzędnych ze starego układu do nowego piszemy:

{\vec {X}}_{p}^{'}=M_{p}{\vec {X}}_{p}+M_{x0}ct+{\vec {R}}_{p0}\wedge {\vec {X}}^{'}=MX+{\vec {R}}_{0}\;

(10)

gdzie ${\vec {X}}_{p}=[x_{1},x_{2},...,x_{n}]^{T}\;$ .

Wektor wodzący ciała odniesienia względem którego będziemy określać położenie w nowym układzie współrzędnych z oczywistych powodów jest równa zero, zatem wzór (10) możemy napisać:

0=M_{p}{\vec {X}}_{pu}+M_{x0}ct+{\vec {R}}_{p0}\wedge {\vec {R}}_{0}=-M{\vec {X}}_{0}\;

(11)

Jeśli we wzorze (11) wyznaczymy wielkość $M_{x0}ct+{\vec {R}}_{p0}\;$ i podstawimy go do wzoru (10), wtedy dostajemy wzór na transformację położenia ciała w starym układzie odniesienia na nowy układ. Wiedząc jakie jest położenie w przestrzeni ciała odniesienia w starym układzie odniesienia i w tym układzie możemy otrzymać położenie ciała w nowym układzie odniesienia i wiedząc jakie jest położenie ciała w czasoprzestrzeni (n+1)-wymiarowej w starym układzie współrzędnych możemy otrzymać położenie ciała w nowym układzie współrzędnych znając położenie stałe nowego układu współrzędnych ${\vec {R}}_{O}\;$ względem starego układu współrzędnych, wtedy:

{\vec {X}}_{p}^{'}=M_{p}\left({\vec {X}}_{p}-{\vec {X}}_{pu}\right)\wedge {\vec {X}}^{'}=M({\vec {X}}-{\vec {X}}_{0})\;

(12)

Wzór (12) jest spełniony, gdy stary i nowy układ współrzędnych są układami ogólnie nieprostokątnymi, w którym dla czasoprzestrzeni mamy $B=[{\vec {e}}_{0},{\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},\cdots ,{\vec {e}}_{n}]\;$ .

Tożsamość na część macierzy transformacji M na M_x0

Wyprowadźmy wzór na wielkość M_x0 zakładając stałość macierzy $M\;$ , wiemy jednak przecież, że prędkość ciała odniesienia, względem którego będziemy określać położenie w nowym układzie współrzędnych jest napisana ${{d{\vec {X_{u}}}} \over {dt}}={\vec {V}}\;$ , i dalej zróżniczkujmy wzór (10) względem czasu w starym układzie współrzędnych i wyznaczmy z niego tą wspomnianą macierz: