Wikijunior:Matematyka/Ciekawostki

Jeżeli poznałeś już tę część matematyki, której uczą w szkole podstawowej, są jeszcze rzeczy, które są tak samo łatwe, a które w szkole będą dopiero później.

Silnia

Silnię oblicza się przez pomnożenie kolejnych liczb od jednego do tej liczby, której silnię liczymy, np.

$4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24$

"Cztery silnia równa się jeden razy dwa razy trzy razy cztery równa się dwadzieścia cztery."

Jak widać, silnię oznacza się wykrzyknikiem i czyta po prostu "silnia".

Jeśli lubisz liczyć, możesz obliczać silnie coraz większych liczb. A jaki jest z niej pożytek? Można na przykład obliczyć, na ile sposobów Adam, Bartek, Czarek i Damian mogą usiąść na ławce: Na pierwszym miejscu od lewej może usiąść każdy z nich, czyli są cztery możliwości. Na drugim miejscu może usiąść każdy, który nie siadł na pierwszym, czyli są trzy możliwości (np. jeśli na pierwszym usiadł Bartek, to na drugim może usiąść Adam, Czarek albo Damian). Na trzecim miejscu może usiąść dwóch chłopców, którzy nie siedli na wcześniejszych i wreszcie na ostatnim miejscu może usiąść ostatni chłopiec. Wszystkie te liczby się mnoży i okazuje się, że obliczamy silnię. Tak samo pięciu chłopców może usiąść na pięć silnia sposobów i tak dalej.

Potęga

Potęgowanie polega na mnożeniu liczby przez siebie tyle razy, ile wskazuje druga liczba, np.

$2^{3}=2\cdot 2\cdot 2=8$. Niestety nie którzy zamiast mnożyć dwa razy dwa razy dwa, mnożą dwa razy trzy. I dzięki temu wynik będzie zły.

"Dwa do (potęgi) trzeciej równa się dwa razy dwa razy dwa równa się osiem."

$3^{2}=3\cdot 3=9$

"Trzy do potęgi drugiej równa się trzy razy trzy równa się dziewięć."

Potęgowanie to działanie podobne do dodawania i mnożenia. Można je nawet zapisać znakiem ${\hat {}}$, tak jak $+$ i $\cdot$. Ale potęgowanie nie jest przemienne.

Zamiast "do potęgi drugiej" można mówić "do kwadratu", ponieważ obliczając drugą potęgę liczymy pole kwadratu o danym boku. Tak samo "do potęgi trzeciej" to "do sześcianu", bo podnosząc do sześcianu znajdujemy objętość sześcianu o danej krawędzi.

Następny etap to pierwiastkowanie i logarytmowanie. Te działania mają się do potęgowania tak, jak odejmowanie do dodawania i dzielenie do mnożenia, ale są dwa, bo potęgowanie nie jest przemienne.

Pierwiastek

Pierwiastkowanie mówi, jaką liczbę trzeba podnieść do danej potęgi, żeby dostać odpowiedni wynik, np.

${\sqrt[{3}]{8}}=2$, bo $2^{3}=8$

"Pierwiastek trzeciego stopnia z ośmiu równa się dwa."

Zamiast ${\sqrt[{2}]{\;}}$ zwykle pisze się po prostu ${\sqrt {\;}}$ i mówi po prostu "pierwiastek" zamiast "pierwiastek drugiego stopnia".

${\sqrt {25}}=5$, bo $5^{2}=25$

"Pierwiastek z dwudziestu pięciu równa się pięć."

Pierwiastki (i logarytmy) z liczb całkowitych często nie są liczbami całkowitymi ani nawet ułamkami prostymi. Takie liczby nazywamy liczbami niewymiernymi. Można je zapisać jako ułamki dziesiętne nieokresowe, czyli w taki sposób, że po przecinku jest nieskończenie wiele cyfr i nie powtarza się jakiś okres.

Znajdowanie pierwiastków

Sprawdzając, czy liczba jest za duża, czy za mała, możemy znajdować przybliżenia pierwiastków. Na przykład pierwiastek z dwóch (${\sqrt {2}}$). $1^{2}=1$, a $2^{2}=4$, więc sprawdzamy $1{\frac {1}{2}}$. $\left(1{\frac {1}{2}}\right)^{2}=2{\frac {1}{4}}$, czyli trochę za dużo. Za to $\left(1{\frac {1}{4}}\right)^{2}=1{\frac {9}{16}}$, czyli za mało. Wiemy już, że

$1{\frac {1}{4}}<{\sqrt {2}}<1{\frac {1}{2}}$

Możesz liczyć dalej.

Porównywanie pierwiastków

Nawet bez zgadywania możemy porównać pierwiastki. Na przykład trzeci pierwiastek ze stu dwudziestu jeden i sześć:

${\sqrt[{3}]{121}}\,?\,6$

Jeśli ${\sqrt[{3}]{121}}$ podniesiemy do potęgi trzeciej, to dostaniemy 121, bo na tym polega pierwiastkowanie (Czyli, jak mądrze mówią matematycy, "z definicji"). Poza tym, jak możesz policzyć, $6^{3}=216$.

$121<216$

Jeśli pierwsza liczba jest mniejsza po podniesieniu do potęgi, to na początku też była mniejsza, czyli wiemy już, że

${\sqrt[{3}]{121}}<6$

Logarytm

Logarytmowanie mówi, do jakiej potęgi trzeba podnieść daną liczbę, żeby dostać odpowiedni wynik, np.

$\log _{2}8=3$, bo $2^{3}=8$

"Logarytm przy podstawie dwa z ośmiu równa się trzy."

Żeby liczyć logarytmy, które nie są całkowite, trzeba wiedzieć, co to są potęgi o wykładnikach ułamkowych. Otóż podniesienie liczby do potęgi jeden przez pewną liczbę to to samo, co obliczenie pierwiastka danego stopnia, np.

$25^{\frac {1}{2}}={\sqrt[{2}]{25}}=5$

"Dwadzieścia pięć do potęgi jedna druga równa się pierwiastek drugiego stopnia z dwudziestu pięciu równa się pięć."

Z tego wynika z kolei, że

$\log _{25}5={\frac {1}{2}}$

"Logarytm przy podstawie dwadzieścia pięć z pięciu równa się jedna druga."

Podniesienie do potęgi równej pierwszej liczbie przez drugą liczbę to to samo, co podniesienie pierwiastka stopnia równego drugiej liczbie do potęgi odpowiadającej pierwszej liczbie, np.

$8^{\frac {2}{3}}={\sqrt[{3}]{8}}^{2}=2^{2}=4$

Skoro już to wiemy, możemy napisać od razu, że

$\log _{8}4={\frac {2}{3}}$

Znajdowanie logarytmów

Obliczanie logarytmów metodą kolejnych przybliżeń jest trudniejsze niż pierwiastków, bo żeby sprawdzić, czy liczba jest za duża czy za mała, trzeba za każdym razem obliczyć pierwiastek.

Jest na to jednak inny sposób. Powiedzmy, że chcemy policzyć logarytm przy podstawie dwa z trzech. Najpierw wypisujemy potęgi podstawy logarytmu i liczby logarytmowanej, tak, że większe liczby są poniżej mniejszych:

$2^{1}=2$
	$3^{1}=3$
$2^{2}=4$
$2^{3}=8$
	$3^{2}=9$
$2^{4}=16$
	$3^{3}=27$
$2^{5}=32$
$2^{6}=64$
	$3^{4}=81$
$2^{7}=128$
	$3^{5}=243$
$2^{8}=256$

Teraz widzimy, że:

• $2^{1}<3^{1}$, czyli ${\sqrt[{1}]{2^{1}}}<3$, czyli $2^{\frac {1}{1}}<3$, czyli ${\frac {1}{1}}<\log _{2}3$
• $2^{2}>3^{1}$, czyli ${\sqrt[{1}]{2^{2}}}>3$, czyli $2^{\frac {2}{1}}>3$, czyli ${\frac {2}{1}}>\log _{2}3$
• $2^{3}<3^{2}$, czyli ${\sqrt[{2}]{2^{3}}}<3$, czyli $2^{\frac {3}{2}}<3$, czyli ${\frac {3}{2}}<\log _{2}3$

  (Oczywiście $2^{2}$ też jest mniejsze od $3^{2}$, czyli ${\frac {2}{2}}<\log _{2}3$, ale to właśnie jest oczywiste, więc porównujemy tylko te liczby, które są najbliżej siebie.)

Na tej zasadzie widzimy też, że ${\frac {4}{3}}$, ${\frac {6}{4}}$ i ${\frac {7}{5}}$ też są mniejsze od $\log _{2}3$, a ${\frac {5}{3}}$, ${\frac {7}{4}}$ i ${\frac {8}{5}}$ są większe. Teraz musimy jeszcze połapać się, które przybliżenie jest najlepsze.

Największa ze znalezionych liczb mniejszych od $\log _{2}3$:

${\frac {1}{1}}$ to 1.

${\frac {3}{2}}$ to inaczej $1{\frac {1}{2}}$, czyli lepiej (większa liczba).

${\frac {4}{3}}$ to $1{\frac {1}{3}}$, czyli gorzej (mniejsza liczba) niż ${\frac {3}{2}}$.

${\frac {6}{4}}$ to dokładnie ${\frac {3}{2}}$.

${\frac {7}{5}}$ to $1{\frac {2}{5}}$, a ${\frac {2}{5}}$ to mniej niż ${\frac {1}{2}}$.

Zatem najbliżej były ${\frac {3}{2}}$.

Najmniejsza ze znalezionych liczb większych od $\log _{2}3$:

${\frac {2}{1}}$ to 2.

${\frac {4}{2}}$ to znowu 2.

${\frac {5}{3}}$ to $1{\frac {2}{3}}$, czyli lepiej (mniej).

${\frac {7}{4}}$ to $1{\frac {3}{4}}$. Tym razem do całej dwójki brakuje tylko jednej czwartej, a nie jednej trzeciej, czyli jest gorzej (większa liczba).

${\frac {8}{5}}$ to $1{\frac {3}{5}}$. ${\frac {3}{5}}$ to ${\frac {9}{15}}$, a ${\frac {2}{3}}$ to ${\frac {10}{15}}$, czyli ${\frac {8}{5}}$ jest lepsze niż ${\frac {5}{3}}$.

Zatem najbliżej była ostatnia liczba, ${\frac {8}{5}}$.

Wreszcie możemy zapisać najlepsze przybliżenie, jakie znaleźliśmy:

${\frac {3}{2}}<\log _{2}3<{\frac {8}{5}}$

albo, z ułamkami dziesiętnymi (tym razem akurat nie ma z nimi kłopotów)

$1{,}5<\log _{2}3<1{,}6$

Jeśli chcesz lepsze przybliżenie, przedłuż tabelkę i sprawdź dalsze liczby. Jeśli nie ma dokładnego rozwiązania, to zawsze prędzej czy później dojdziesz to lepszego niż to, do którego doszedłeś wcześniej.